1、山西大學附中2020學年高二第一學期10月(總第二次)模塊診斷數(shù)學試題一.選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.）1.一個幾何體有6個頂點，則這個幾何體不可能是（ ）A. 三棱柱 B. 三棱臺 C. 五棱錐 D. 四面體【答案】D【解析】【分析】根據(jù)棱柱、棱臺、棱錐及四面體的圖形，即可得答案.【詳解】對于A，三棱柱是上下兩個三角形，有6個頂點，滿足題意；對于B，三棱臺是上下兩個三角形，有6個頂點，滿足題意；對于C，五棱錐是底面為五邊形及一個頂點，有6個頂點，滿足題意；對于D，四面體的頂點個數(shù)為4個，不滿足題意.故選D.【點睛】本題考

2、查了認識立體圖形，根據(jù)頂點及面的特點是解題關(guān)鍵2.下列說法正確的個數(shù)（ ）空間中三條直線交于一點，則這三條直線共面；梯形可以確定一個平面；如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角相等；且，則在上.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)，空間直線與平面位置關(guān)系逐一分析四個命題的真假，可得答案【詳解】對于，兩兩相交的三條直線，若相交于同一點，則不一定共面，故不正確；對于，梯形由于有上下兩底平行，則梯形是平面圖形，故正確；對于，若一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補，故不正確；對于，由公理3得：若，則，故正確.故選B.【點

3、睛】本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，熟練掌握空間點、線、面的位置關(guān)系是解答的關(guān)鍵3.已知，表示兩條不同直線，表示平面，則下列說法正確的是（ ）A. 若則 B. 若，則C. 若，則 D. 若 ，則【答案】B【解析】對于項、若，則，相交、平行、異面都有可能，故錯誤；對于項、若，則由線面垂直的定義可知，故正確；對于項、若，則或，故錯誤；對于項、若，則或與平面相交，故錯誤，故選【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題. 空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現(xiàn)實實物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原

4、命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價.4.下列關(guān)于簡單幾何體的說法中正確的是（ ）有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱；有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；在斜二測畫法中，與坐標軸不平行的線段的長度在直觀圖中有可能保持不變；有兩個底面平行且相似其余各面都是梯形的多面體是棱臺；空間中到定點的距離等于定長的所有點的集合是球面.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)多面體的性質(zhì)和幾何體的定義來判斷，采用舉反例的方法來以及對概念的理解進行否定，即可得出答案.【詳解】對于，不符合棱柱的結(jié)構(gòu)特征，若下面是一

5、個正三棱柱，上面是一個以正三棱柱上底面為底面的斜三棱柱，如圖：，故不正確；對于，棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的幾何體，故不正確；對于，長寬分別為3和的矩形的對角線，在直觀圖中長度不變，而正方形的對角線長度改變，故正確；對于，不符合棱臺的結(jié)構(gòu)特征，棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的，則應(yīng)保證各側(cè)棱延長后相交于一點，故不正確；對于，在平面內(nèi)滿足到定點的距離等于定長的所有點的集合為圓，在空間中，滿足到定點的距離等于定長的所有點的集合為球面，故正確.故選B.【點睛】本題考查的知識點是棱柱的幾何特征，棱錐的幾何特征，棱臺的幾何特征，熟練掌握幾何體結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)鍵，屬

6、于基礎(chǔ)題5.如圖,正方形的邊長為1,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（ ）A. 8 B. 6 C. D. 【答案】A【解析】【分析】由斜二測畫法的規(guī)則知在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，長度保持不變，已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長度為原來一半由于軸上的線段長度為，故在平面圖中，其長度為，且其在平面圖中的軸上，由此可以求得原圖形的周長【詳解】由斜二測畫法的規(guī)則知與軸平行的線段其長度不變以及與橫軸平行的性質(zhì)不變，正方形的對角線在軸上，可求得其長度為，故在平面圖中其在軸上，且其長度變?yōu)樵瓉淼?倍，長度為，其原來的圖形如圖所示：原圖形的周長是8

7、.故選A【點睛】本題考查了平面圖形的直觀圖,考查了數(shù)形結(jié)合思想,解答此題的關(guān)鍵是掌握平面圖形的直觀圖的畫法,能正確的畫出直觀圖的原圖形.6.已知正方體,為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求出向量與的向量坐標，利用數(shù)量積求出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示：設(shè)正方體的棱長為1，則，為的中點，；，.異面直線與所成角的余弦值為故選A.【點睛】本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，找出兩異面直線所成的角AEM（或其補角），是解題的關(guān)鍵如果異面直線所成的角不容易找，則可以通過

8、建立空間直角坐標系，利用空間向量來求解7.如圖是一個四面體的三視圖，這三個視圖均是腰長為2的等腰直角三角形，正視圖和俯視圖中的虛線是三角形的中線，則四面體的體積為（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由四面體的三視圖得該四面體為棱長為2的正方體中的三棱錐，其中是中點，由此能求出該四面體的體積【詳解】由四面體的三視圖得該四面體為棱長為2的正方體中的三棱錐，其中是中點，如圖所示：，三棱錐的高該四面體的體積為故選A.【點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯

9、”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.8.在中，若繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖象，所形成的幾何體一個大圓錐去掉一個小圓錐，幾何體的表面積是兩個圓錐表面積的和【詳解】依題意可知，旋轉(zhuǎn)體是一個大圓錐去掉一個小圓錐，如圖所示：，.所形成的幾何體的表面積是故選C.【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積，確定旋轉(zhuǎn)體的形狀是關(guān)鍵9.如圖，在空

10、間四邊形中，點分別是邊的中點，分別是邊上的點，則（ ）A. 與互相平行B. 與異面C. 與的交點可能在直線上，也可能不在直線上D. 與的交點一定在直線上【答案】D【解析】試題分析：由得,由點E、H分別是邊AB、AD的中點得 一定相交，在平面ACB中，GH在平面ACD中，兩面交線為AC直線，所以EF與GH的交點M一定在直線AC上考點：公理三兩面交線問題點評：公理三還可用來證明三點共線10.在正三棱柱中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則與側(cè)面所成角的大小為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在正三棱柱中，取的中點，連接，證明面，則是與側(cè)面所成的角，解直角三角形即可【詳解】在正

11、三棱柱中，取的中點，連接，則易證面.是與側(cè)面所成的角，即.故選A.【點睛】考查直線和平面所成的角，求直線和平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解，屬中檔題11.在正三棱錐中，三條側(cè)棱兩兩垂直且側(cè)棱長為1，則點到平面的距離為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】要求點P到平面ABC的距離，可根據(jù)等體積求解，即VA-PBC=VP-ABC，根據(jù)正三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為1，即可求得【詳解】設(shè)點到平面的距離為.三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為1，即點到平面的距離為.故選C.【點睛】本題以正三棱錐為載體，考查點面距離，解題的關(guān)鍵根據(jù)等體積

12、求解，即12.已知矩形 將沿矩形的對角線所在的直線進行翻折，在翻折過程中（ ）A. 存在某個位置，使得直線與直線垂直B. 存在某個位置，使得直線與直線垂直C. 存在某個位置，使得直線與直線垂直D. 對任意位置，三對直線“與”，“與”，“與”均不垂直【答案】B【解析】最簡單的方法是取一長方形動手按照其要求進行翻著，觀察在翻著過程，即可知選項B是正確的視頻二填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分.）13.已知長方體的長寬高分別為1,2,3，則其外接球的表面積為_【答案】【解析】長方體外接球的直徑是長方體的對角線長，外接球的表面積為，故答案為.14.已知半徑為1的球與正三棱柱的六個面都相切，則三

13、棱柱的體積為_.【答案】【解析】【分析】通過題意求出棱柱的高，底面邊長，底面面積，求出棱柱的體積【詳解】球與正三棱柱各個面都相切，所以三棱柱的高，底面邊長，底面面積為.三棱柱的體積為故答案為.【點睛】本題考查正三棱柱的內(nèi)切球與正三棱柱的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是通過內(nèi)切球與正三棱柱的關(guān)系求出正三棱柱的體積，考查計算能力，空間想象能力，是基礎(chǔ)題15.如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是3，則_. 【答案】1【解析】【分析】該幾何體是放倒的三棱柱，依據(jù)所給數(shù)據(jù)求解即可【詳解】由已知可知此幾何體是三棱柱，其高為3，底面是底邊長為2，底邊上的高為的等腰三角形，所以有，所以故答案為1.【點睛】由三視圖畫出

14、直觀圖的步驟和思考方法：首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體底面的直觀圖；觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.16.如圖，在正方體中，點是棱上的一個動點，平面交棱于點下列命題正確的為_. 存在點，使得/平面；對于任意的點，平面平面；存在點，使得平面；對于任意的點，四棱錐的體積均不變【答案】【解析】【分析】根據(jù)線面平行和線面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性質(zhì)分別進行判斷即可【詳解】當為棱上的一中點時，此時也為棱上的一個中點，此時/，滿足/平面，故正確；連結(jié)，則平面，因為平面，所以平面平面，故正確；平面，不可能存在點，使得平面，故錯誤；四棱

15、錐的體積等于，設(shè)正方體的棱長為1.無論、在何點，三角形的面積為為定值，三棱錐的高，保持不變，三角形的面積為為定值，三棱錐的高為，保持不變.四棱錐的體積為定值，故正確.故答案為.【點睛】本題主要考查空間直線和平面平行或垂直的位置關(guān)系的判斷，解答本題的關(guān)鍵正確利用分割法求空間幾何體的體積的方法，綜合性較強，難度較大三.解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.如圖,直三棱柱中，,分別是的中點，若,求異面直線所成角的余弦值【答案】所成角余弦值為【解析】【分析】根據(jù)直三棱柱中，以及，將此三棱柱擴展為正方體，再取中點，連接，結(jié)合，可得所成角為或其補角，然后根據(jù)勾股

16、定理及余弦定理即可解答.【詳解】因為直三棱柱，且，所以可以把此三棱柱擴展為正方體，,取的中點,連接,因為,所以異面直線所成角為或其補角。設(shè)，所以 ，由余弦定理得 因為異面直線所成角范圍，所以異面直線所成角余弦值為【點睛】對于異面直線所成的角，一般是通過平移的方法形成異面直線所成的角（或其補角），再根據(jù)其所在三角形的邊角關(guān)系，計算其大小，要注意異面直線所成的角是銳角或直角，若計算出是鈍角時，其補角才是異面直線所成的角.18.如圖，已知正方體的棱長為3，分別為和上的點，.（1）求證：面；（2）求的長【答案】(1)見解析；（2）.【解析】【分析】（1）作，交于點，連接.通過相似比可得，從而可證面；（

17、2）通過相似求出，結(jié)合勾股定理即可求得.【詳解】（1）作,交于點,連接,因為正方體的棱長為3，所以，所以,因為,所以,又因為,所以,面； （2）由（），.可得同理,-【點睛】本題考查線面平行的判定以及線段長度，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，通過相似比推出線線平行，從而推出線面平行.19.如圖，是所在平面外一點，分別是的重心. （1）求證：平面平面；（2）求與的面積比.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）利用重心的性質(zhì)，以及面面平行的判定定理進行證明；（2）根據(jù)平面的相交，以及相似三角形的面積之比等于對應(yīng)邊的平方比，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的邊之比即可【詳解】（1）連接、，并延長分別交

18、BC、AB于點M，N，連接MN.、分別是PBC、PAB的重心，.平面ABC，平面ABC，平面ABC.同理，平面ABC.，且、平面，平面平面ABC. （2）由（1）知，.，.同理可得：，則.故與ABC的面積之比為.【點睛】本題主要考查面面平行的判定，要證“面面平行”，只需要證明“線面平行”，即證“線線平行”，故問題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行20.如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，分別是的中點（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值【答案】（1）見解析；（2）.【解析】試題分析：()由題意可證得，則平面，由線面垂直的性質(zhì)有，由三角形中位線的性質(zhì)可得，則()（方法一）為軸，以為軸，以為軸，建立空

19、間直角坐標系，計算可得平面的一個法向量，則直線與平面所成角的正弦值為.（方法二）由等體積法可得點到平面的距離，據(jù)此可得與平面所成角的正弦值為.試題解析：（）因為底面，平面，所以又因為正方形中，所以平面又因為平面，所以因為分別是、的中點，所以所以（）（方法一）由（）可知，兩兩垂直，以為軸，以為軸，以為軸，設(shè)，設(shè)平面的一個法向量，解得設(shè)直線與平面所成角為，則（方法二）設(shè)點到平面的距離為等體積法求出設(shè)直線與平面所成角為，21.如圖，在四棱錐中，,底面為梯形，且平面（1）證明：平面平面；（2）當異面直線與所成角為時，求四棱錐的體積【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】試題分析：(1)很明顯，由線面垂直的定義可知，則平面，結(jié)合面面垂直的判定定理可得平面平面.(2)取的中點，連接，由題意可得四邊形為平行四邊形，則，結(jié)合(1)的結(jié)論有，由幾何關(guān)系可證得平面.據(jù)此由體積公式計算可得.試題解析：（1），所以，因為平面平面,所以,因為，所以.因為，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）如圖，取的中點，連接，因為，所