1、高考專(zhuān)題突破四 高考中的立體幾何問(wèn)題,考點(diǎn)自測(cè),課時(shí)作業(yè),題型分類(lèi)深度剖析,內(nèi)容索引,考點(diǎn)自測(cè),1.正三棱柱abca1b1c1中，d為bc中點(diǎn)，e為a1c1中點(diǎn)，則de與平面a1b1ba的位置關(guān)系為 a.相交 b.平行 c.垂直相交 d.不確定,答案,解析,如圖取b1c1中點(diǎn)為f，連接ef，df，de， 則efa1b1，dfb1b， 平面efd平面a1b1ba， de平面a1b1ba.,2.設(shè)x、y、z是空間不同的直線(xiàn)或平面，對(duì)下列四種情形： x、y、z均為直線(xiàn)；x、y是直線(xiàn)，z是平面；z是直線(xiàn)，x、y是平面；x、y、z均為平面. 其中使“xz且yzxy”為真命題的是 a. b. c. d.,

2、由正方體模型可知為假命題；由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可知為真命題.,答案,解析,3.(2016成都模擬)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖(左視圖中的弧線(xiàn)是半圓)，則該幾何體的表面積是 a.203 b.243 c.204 d.244,答案,解析,根據(jù)幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)正方體和一個(gè)半圓柱的組合體，其中正方體的棱長(zhǎng)為2，半圓柱的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為2，故該幾何體的表面積為4522 203.,4.(2016沈陽(yáng)模擬)設(shè)，是三個(gè)平面，a，b是兩條不同直線(xiàn)，有下列三個(gè)條件： a，b；a，b；b，a.如果命題“a，b，且_，則ab”為真命題，則可以在橫線(xiàn)處填入的條件是_.(把所有正確的序號(hào)填上),答案,

3、解析,或,由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可知，正確； 當(dāng)b，a時(shí)，a和b在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)，所以平行，正確.故應(yīng)填入的條件為或.,5.如圖，在三棱錐pabc中，d，e，f分別為棱pc，ac，ab的中點(diǎn).若paac，pa6，bc8，df5.則直線(xiàn)pa與平面def的位置關(guān)系是_；平面bde與平面abc的位置關(guān)系是_.(填“平行”或“垂直”),答案,解析,平行,垂直,因?yàn)閐，e分別為棱pc，ac的中點(diǎn)， 所以depa. 又因?yàn)閜a 平面def，de平面def， 所以直線(xiàn)pa平面def. 因?yàn)閐，e，f分別為棱pc，ac，ab的中點(diǎn)，pa6，bc8，,所以depa，de pa3，ef bc4.,又因?yàn)閐

4、f5，故df2de2ef2， 所以def90，即deef. 又paac，depa，所以deac.,因?yàn)閍cefe，ac平面abc，ef平面abc， 所以de平面abc，又de平面bde， 所以平面bde平面abc.,題型分類(lèi)深度剖析,例1(2016全國(guó)甲卷)如圖，菱形abcd的對(duì)角線(xiàn)ac與bd交于點(diǎn)o，點(diǎn)e，f分別在ad，cd上，aecf，ef交bd于點(diǎn)h，將def沿ef折到def的位置. (1)證明：achd；,題型一求空間幾何體的表面積與體積,證明,由已知得acbd，adcd， 故acef，由此得efhd，折后ef與hd保持垂直關(guān)系，即efhd，所以achd.,解答,所以oh1，dhdh3

5、，,故odoh. 由(1)知achd，又acbd，bdhdh， 所以ac平面dhd，于是acod， 又由odoh，acoho，所以od平面abc.,(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來(lái)求三棱錐的體積. (2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解. (3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀(guān)圖，然后根據(jù)條件求解.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2 ，內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切(如圖).求： (1)這個(gè)正三棱錐的表面積；,解答,(

6、2)這個(gè)正三棱錐內(nèi)切球的表面積與體積.,解答,設(shè)正三棱錐pabc的內(nèi)切球球心為o，連接op，oa，ob，oc，而o點(diǎn)到三棱錐的四個(gè)面的距離都為球的半徑r. vpabcvopabvopbcvopacvoabc,題型二空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系,例2(2016濟(jì)南模擬)如圖，在三棱柱abca1b1c1中，側(cè)棱垂直于底面，abbc，aa1ac2，bc1，e， f分別是a1c1，bc的中點(diǎn). (1)求證：平面abe平面b1bcc1；,證明,在三棱柱abca1b1c1中，bb1底面abc. 因?yàn)閍b平面abc， 所以bb1ab. 又因?yàn)閍bbc，bcbb1b， 所以ab平面b1bcc1. 又ab平面abe

7、， 所以平面abe平面b1bcc1.,證明,(2)求證：c1f平面abe；,方法一如圖1，取ab中點(diǎn)g，連接eg，fg. 因?yàn)閑，f分別是a1c1，bc的中點(diǎn)，,因?yàn)閍ca1c1，且aca1c1， 所以fgec1，且fgec1， 所以四邊形fgec1為平行四邊形， 所以c1feg. 又因?yàn)閑g平面abe，c1f 平面abe， 所以c1f平面abe.,方法二如圖2，取ac的中點(diǎn)h，連接c1h，fh. 因?yàn)閔，f分別是ac，bc的中點(diǎn)，所以hfab， 又因?yàn)閑，h分別是a1c1，ac的中點(diǎn)， 所以ec1綊ah， 所以四邊形eahc1為平行四邊形， 所以c1hae， 又c1hhfh，aeaba， 所

8、以平面abe平面c1hf，又c1f平面c1hf， 所以c1f平面abe.,解答,(3)求三棱錐eabc的體積.,因?yàn)閍a1ac2，bc1，abbc，,所以三棱錐eabc的體積,(1)證明面面垂直，將“面面垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線(xiàn)面垂直”問(wèn)題，再將“線(xiàn)面垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線(xiàn)線(xiàn)垂直”問(wèn)題.證明c1f平面abe：()利用判定定理，關(guān)鍵是在平面abe中找(作)出直線(xiàn)eg，且滿(mǎn)足c1feg.()利用面面平行的性質(zhì)定理證明線(xiàn)面平行，則先要確定一個(gè)平面c1hf滿(mǎn)足面面平行，實(shí)施線(xiàn)面平行與面面平行的轉(zhuǎn)化. (2)計(jì)算幾何體的體積時(shí)，能直接用公式時(shí)，關(guān)鍵是確定幾何體的高，不能直接用公式時(shí)，注意進(jìn)行體積的轉(zhuǎn)化.,思維

9、升華,跟蹤訓(xùn)練2如圖，在三棱錐sabc中，平面sab平面sbc，abbc，asab.過(guò)a作afsb，垂足為f，點(diǎn)e，g分別是棱sa，sc的中點(diǎn). 求證：(1)平面efg平面abc；,證明,由asab，afsb知f為sb中點(diǎn)， 則efab，fgbc，又effgf，abbcb， 因此平面efg平面abc.,(2)bcsa.,證明,由平面sab平面sbc，平面sab平面sbcsb，af平面sab，afsb， 所以af平面sbc，則afbc. 又bcab，afaba，則bc平面sab， 又sa平面sab，因此bcsa.,題型三平面圖形的翻折問(wèn)題,例3(2015陜西)如圖1，在直角梯形 abcd中，ad

10、bc，bad ，abbc1，ad2，e是ad的中點(diǎn)，o是ac與be的交點(diǎn).將abe沿be折起到a1be的位置，如圖2. (1)證明：cd平面a1oc；,證明,幾何畫(huà)板展示,在題圖1中，連接ec， 因?yàn)閍bbc1，ad2， bad ， adbc，e為ad中點(diǎn)， 所以bc綊ed，bc綊ae， 所以四邊形bcde為平行四邊形，故有cdbe， 所以abce為正方形，所以beac， 即在題圖2中，beoa1，beoc，且a1ooco， 從而be平面a1oc，又cdbe， 所以cd平面a1oc.,(2)若平面a1be平面bcde，求平面a1bc與平面a1cd夾角的余弦值.,解答,由已知，平面a1be平面b

11、cde， 又由(1)知，beoa1，beoc， 所以a1oc為二面角a1bec的平面角，,如圖，以o為原點(diǎn)，以ob，oc，oa所在的直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 因?yàn)閍1ba1ebced1，bced，,設(shè)平面a1bc的法向量n1(x1，y1，z1)，平面a1cd的法向量n2(x2，y2，z2)，平面a1bc與平面a1cd夾角為，,平面圖形的翻折問(wèn)題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線(xiàn)面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.一般地，翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3(2016深圳模擬)如圖(1)，四邊形abcd為矩形，pd平面abcd，

12、ab1，bcpc2，作如圖(2)折疊，折痕efdc.其中點(diǎn)e，f分別在線(xiàn)段pd，pc上，沿ef折疊后，點(diǎn)p疊在線(xiàn)段ad上的點(diǎn)記為m，并且mfcf. (1)證明：cf平面mdf；,證明,因?yàn)閜d平面abcd，ad平面abcd， 所以pdad. 又因?yàn)閍bcd是矩形，cdad，pd與cd交于點(diǎn)d， 所以ad平面pcd. 又cf平面pcd， 所以adcf，即mdcf. 又mfcf，mdmfm，所以cf平面mdf.,解答,(2)求三棱錐mcde的體積.,幾何畫(huà)板展示,因?yàn)閜ddc，pc2，cd1，pcd60，,如圖，過(guò)點(diǎn)f作fgcd交cd于點(diǎn)g，,題型四立體幾何中的存在性問(wèn)題,例4(2016邯鄲第一中

13、學(xué)研究性考試)在直棱柱abca1b1c1中，aa1abac1，e，f分別是cc1，bc的中點(diǎn)，aea1b1，d為棱a1b1上的點(diǎn). (1)證明：dfae.,證明,aea1b1，a1b1ab， aeab. 又aa1ab，aa1aea， ab平面a1acc1. 又ac平面a1acc1，abac. 以a為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,即(x，y，z1)(1,0,0)，則d(，0,1)，,(2)是否存在一點(diǎn)d，使得平面def與平面abc所成的銳二面角的余弦值為 ?若存在，說(shuō)明點(diǎn)d的位置；若不存在，說(shuō)明理由.,解答,結(jié)論：存在一點(diǎn)d，使得平面def與平面abc所成的銳二面角的余弦值為 .,理由如下

14、： 由題意知平面abc的法向量為m(0,0,1). 設(shè)平面def的法向量為n(x，y，z)，,令z2(1)，則n(3,12，2(1).,存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)d，此時(shí)d為a1b1的中點(diǎn).,(1)對(duì)于線(xiàn)面關(guān)系中的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線(xiàn)面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿(mǎn)足的條件，若滿(mǎn)足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè). (2)對(duì)于探索性問(wèn)題用向量法比較容易入手.一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問(wèn)題，若有解且滿(mǎn)足題意則存在，若有解但不滿(mǎn)足題意或無(wú)解則不存在.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練4如圖，四棱柱abcda1b1c1d1中，側(cè)棱a1a底面

15、abcd，abdc，abad，adcd1，aa1ab2，e為棱aa1的中點(diǎn). (1)證明：b1c1ce；,證明,如圖，以點(diǎn)a為原點(diǎn)，分別以ad，aa1，ab所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得a(0,0,0)，b(0,0,2)，c(1,0,1)，b1(0,2,2)，c1(1,2,1)，e(0,1,0).,解答,(2)求二面角b1cec1的正弦值；,消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個(gè)法向量為m(3，2,1). 由(1)知，b1c1ce，又cc1b1c1，cc1cec，可得b1c1平面cec1，,設(shè)平面b1ce的法向量m(x，y，z)，,(3)設(shè)點(diǎn)m在線(xiàn)段c1e上，且直線(xiàn)a

16、m與平面add1a1所成角的正弦值為 ，求線(xiàn)段am的長(zhǎng).,解答,設(shè)為直線(xiàn)am與平面add1a1所成的角，則,課時(shí)作業(yè),1.(2016北京順義區(qū)一模)如圖所示，已知平面平面l，.a，b是直線(xiàn)l上的兩點(diǎn)，c，d是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且adl，cbl，da4，ab6，cb8.p是平面上的一動(dòng)點(diǎn)，且有apdbpc，則四棱錐pabcd體積的最大值是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,由題意知，pad，pbc是直角三角形， 又apdbpc，所以padpbc. 因?yàn)閐a4，cb8，所以pb2pa. 作pmab于點(diǎn)m，由題意知，pm. 令amt(0t6)，則pa2t24pa2(6t)2， 所以pa21

17、24t.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,2.(2016江西贛中南五校第一次聯(lián)考)已知m，n是兩條不同的直線(xiàn)，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是 a.若，則 b.若mn，m，n，則 c.若mn，m，n，則 d.若mn，m，則n,答案,解析,對(duì)于a，若，則或相交；對(duì)于b，若mn，m，n，則或相交；對(duì)于d，若mn，m，則n或n.故選c.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,3.(2016華中師大附中質(zhì)檢)已知三棱錐dabc的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且abac ，bc2，則二面角dbca的大小為_(kāi).,答案,解析,90,1,2,3,4,5,6,7,8,9,如圖，取bc的中點(diǎn)e， 連接ae，de，

18、abac，aebc. 又三棱錐dabc的三個(gè)側(cè)面與底面全等， bdcd，debc， 則aed是二面角dbca的平面角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,由ae2de2ad2，知aed90. 故二面角dbca的大小為90.,4.如圖梯形abcd中，adbc，abc90，adbcab234，e、f分別是ab、cd的中點(diǎn)，將四邊形adfe沿直線(xiàn)ef進(jìn)行翻折，給出四個(gè)結(jié)論： dfbc； bdfc； 平面dbf平面bfc； 平面dcf平面bfc. 在翻折過(guò)程中，可能成立的結(jié)論是_.(填寫(xiě)結(jié)論序號(hào)),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,因?yàn)閎cad，ad

19、與df相交不垂直，所以bc與df不垂直，則錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)d在平面bcf上的投影為點(diǎn)p，當(dāng)bpcf時(shí)就有bdfc，而adbcab234，可使條件滿(mǎn)足，所以正確； 當(dāng)點(diǎn)p落在bf上時(shí)，dp平面bdf，從而平面bdf 平面bcf，所以正確； 因?yàn)辄c(diǎn)d的投影不可能在fc上，所以平面dcf平 面bfc不成立，即錯(cuò)誤.故答案為.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,5.如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，點(diǎn)e是棱bc的中點(diǎn)，點(diǎn)f是棱cd上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) _時(shí)，d1e平面ab1f.,1,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,如圖，連接a1b，則a1b是d1e在平面abb1a1內(nèi)的射影. ab1a1b

20、，d1eab1， 又d1e平面ab1f d1eaf. 連接de，則de是d1e在底面abcd內(nèi)的投影， d1eafdeaf. abcd是正方形， e是bc的中點(diǎn)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,當(dāng)且僅當(dāng)f是cd的中點(diǎn)時(shí)，deaf， 即當(dāng)點(diǎn)f是cd的中點(diǎn)時(shí)，d1e平面ab1f，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,6.如圖，在三棱柱abc-a1b1c1中，bac90，abac2，a1a4，a1在底面abc的射影為bc的中點(diǎn)，d是b1c1的中點(diǎn). (1)證明：a1d平面a1bc；,證明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,設(shè)e為bc的中點(diǎn)， 由題意得a1e平面abc， 因?yàn)閍e平面abc，所

21、以a1eae. 因?yàn)閍bac，所以aebc. 又a1ebce，故ae平面a1bc. 由d，e分別為b1c1，bc的中點(diǎn)，得 deb1b且deb1b，從而dea1a且dea1a， 所以四邊形a1aed為平行四邊形.故a1dae. 又因?yàn)閍e平面a1bc，所以a1d平面a1bc.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,解答,(2)求二面角a1-bd-b1的平面角的余弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,方法一如圖所示，作a1fbd且a1fbdf，連接b1f. 由aeeb ，a1eaa1eb90，得a1ba1a4. 由a1db1d，a1bb1b，得a1db與b1db全等. 由a1fbd，得b1f

22、bd， 因此a1fb1為二面角a1bdb1的平面角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,方法二以cb的中點(diǎn)e為原點(diǎn)，分別以射線(xiàn)ea，eb為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示. 由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：,設(shè)平面a1bd的法向量為m(x1，y1，z1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,平面b1bd的法向量為n(x2，y2，z2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,7.(2016山東牟平一中期末)如圖，在四棱柱abcda1b1c1d1中，acb1d，bb1底面abcd，e，f，h分別為ad，cd，dd1的中點(diǎn)，ef與bd交于點(diǎn)g. (1)證明

23、：平面acd1平面bb1d；,證明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,bb1平面abcd，ac平面abcd， acbb1. 又acb1d，bb1b1db1， ac平面bb1d. ac平面acd1， 平面acd1平面bb1d.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(2)證明：gh平面acd1.,證明,設(shè)acbdo，連接od1. e，f分別為ad，cd的中點(diǎn)， efodg， g為od的中點(diǎn). h為dd1的中點(diǎn)，hgod1. gh 平面acd1，od1 平面acd1， gh平面acd1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,8.(2016四川廣安第二次診斷)如圖，在四棱錐pabcd中，pa底面直角梯

24、形abcd，dab為直角，adcd2，ab1，e，f分別為pc，cd的中點(diǎn). (1)求證：cd平面bef；,證明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,如圖，以a為原點(diǎn)，ab所在直線(xiàn)為x軸，ad所在直線(xiàn)為y軸，ap所在直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，f(1,2,0)，,設(shè)pab，則p(0,0，b).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,又bebfb，由此得cd平面bef.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(2)設(shè)pak，且二面角ebdc的平面角大于30，求k的取值范圍.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,設(shè)e在xoy平面上的射影為g，過(guò)點(diǎn)g作ghbd，垂足為點(diǎn)h，連接eh，,又eh平面egh，ehbd， 從而ehg即為二面角ebdc的平面角.,由pak，得p(0,0，k)，e(1,1， )，g(1,1,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,即x2y1. ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,由k0知ehg是銳角，由ehg30， 得tanehgtan 30，,1