1、4.7解三角形的綜合應用,基礎知識自主學習,課時作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎知識自主學習,2.方向角 相對于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45等.,與目標線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線 叫仰角，目標視線在水平視線 叫俯角(如圖).,1.仰角和俯角,知識梳理,上方,下方,指從 方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如b點的方位角為(如圖).,3.方位角,正北,1.三角形的面積公式：,2.坡度(又稱坡比)：坡面的垂直高度與水平長度之比.,判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)從a處望b處的仰角為，從b處望a處的俯角為，則，的關(guān)系為18

2、0.() (2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為0， .() (3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關(guān)系.() (4)方位角大小的范圍是0,2)，方向角大小的范圍一般是0， ).(),1.(教材改編)如圖所示，設a，b兩點在河的兩岸，一測量者在a所在的同側(cè)河岸邊選定一點c，測出ac的距離為50 m，acb45，cab105后，就可以計算出a，b兩點的距離為,考點自測,答案,解析,2.若點a在點c的北偏東30，點b在點c的南偏東60，且acbc，則點a在點b的 a.北偏東15 b.北偏西15 c.北偏東10 d.北偏西10,答案,解析,如圖所示，acb90， 又

3、acbc， cba45，而30， 90453015， 點a在點b的北偏西15.,3.(教材改編)海面上有a，b，c三個燈塔，ab10 n mile，從a望c和b成60視角，從b望c和a成75視角，則bc等于,答案,解析,如圖，在abc中， ab10，a60，b75，,4.如圖所示，d，c，b三點在地面的同一直線上，dca，從c，d兩點測得a點的仰角分別為60，30， 則a點離地面的高度ab_.,答案,解析,5.在一次抗洪搶險中，某救生艇發(fā)動機突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風向是北偏東30，風速是20 km/h；水的流向是正東，流速是20 km/h，若不考慮其他因素，

4、救生艇在洪水中漂行的速度的方向為北偏東_，速度的大小為_ km/h.,答案,解析,60,如圖，aob60， 由余弦定理知oc2202202800cos 1201 200，,題型分類深度剖析,題型一求距離、高度問題,例1(1)如圖，從氣球a上測得正前方的河流的兩岸b，c的俯角分別為75，30，此時氣球的高ad是60 m，則河流的寬度bc等于,答案,解析,如圖，在acd中，cad903060，ad60 m，,在abd中，bad907515，,(2)(2016三明模擬)在200 m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角 分別為30，60，則塔高是_ m.,答案,解析,如圖，設塔ab高為h，在rtcd

5、b中， cd200 m，bcd906030，,在abc中，abcbcd30，acb603030， bac120.,思維升華,求距離、高度問題應注意 (1)理解俯角、仰角的概念，它們都是視線與水平線的夾角；理解方向角的概念. (2)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解. (3)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.,跟蹤訓練1(1)一船以每小時15 km的速度向東航行，船在a處看到一個燈塔b在北偏東60，行駛4 h后，船到達c處，看到這個燈塔在北偏東15，這時船與燈塔的距離為_ km

6、.,答案,解析,如圖，由題意，bac30，acb105， b45，ac60 km，,(2)如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取a，b兩點，從a，b兩點分別測得樹尖的仰角為30，45，且a，b兩點間的距離為60 m，則樹的高度為_m.,答案,解析,在pab中，pab30，apb15，ab60， sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30,題型二求角度問題,例2如圖所示，位于a處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的b處有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的c處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線cb前往b處救援

7、，則cos 的值為_.,答案,解析,在abc中，ab40，ac20，bac120， 由余弦定理得,由acb30，得cos cos(acb30),思維升華,解決測量角度問題的注意事項： (1)首先應明確方位角或方向角的含義； (2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步； (3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.,跟蹤訓練2如圖，某人在垂直于水平地面abc的墻面前的點a處進行射擊訓練.已知點a到墻面的距離為ab，某目標點p沿墻面上的射線cm移動，此人為了準確瞄準目標點p，需計算由點a觀察點p的仰角的大 小.若ab1

8、5 m，ac25 m，bcm30，則tan 的最大值是_ (仰角為直線ap與平面abc所成角).,答案,解析,如圖，過點p作pobc于點o， 連接ao，則pao.,在rtabc中，ab15 m，ac25 m， 所以bc20 m.,題型三三角形與三角函數(shù)的綜合問題,(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；,解答,解答,可求得bc40.,思維升華,三角形與三角函數(shù)的綜合問題，要借助三角函數(shù)性質(zhì)的整體代換思想，數(shù)形結(jié)合思想，還要結(jié)合三角形中角的范圍，充分利用正弦定理、余弦定理解題.,(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；,解答,(2)在銳角abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c.若 0，a1，求a

9、bc面積的最大值.,解答,由余弦定理a2b2c22bccos a，,典例(12分)某港口o要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時，輪船位于港口o北偏西30且與該港口相距20海里的a處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇. (1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？ (2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由.,函數(shù)思想在解三角形中的應用,思想與方法系列10,

10、規(guī)范解答,思想方法指導,已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可以設出第三邊，利用余弦定理列方程求解；對于三角形中的最值問題，可建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決.,返回,解(1)設相遇時小艇航行的距離為s海里，則 1分,(2)設小艇與輪船在b處相遇. 則v2t2400900t222030tcos(9030)，8分,此時，在oab中，有oaobab20.11分 故可設計航行方案如下： 航行方向為北偏東30，航行速度為30海里/小時.12分,返回,課時作業(yè),1.一艘海輪從a處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達b處，在c處有一座燈塔，海輪在a處觀察燈塔，其方向是

11、南偏東70，在b處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么b，c兩點間的距離是,答案,解析,如圖所示，易知，在abc中， ab20，cab30，acb45，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.在相距2 km的a，b兩點處測量目標點c，若cab75，cba60，則a，c兩點之間的距離為,答案,解析,如圖，在abc中，由已知可得acb45，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60，另一燈塔在船的南偏西75，則這艘船的速度是每小時,答案

12、,解析,如圖所示，依題意有bac60，bad75， 所以cadcda15，從而cdca10， 在rtabc中，得ab5，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.如圖，兩座相距60 m的建筑物ab，cd的高度分別為20 m，50 m，bd為水平面，則從建筑物ab的頂端a看建筑物cd的張角為,a.30 b.45c.60 d.75,答案,解析,又cd50，所以在acd中，,又0cad180，所以cad45， 所以從頂端a看建筑物cd的張角為45.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.如圖

13、所示，測量河對岸的塔高ab時可以選與塔底b在同一水平面內(nèi)的兩個測點c與d，測得bcd15，bdc30，cd30，并在點c測得塔頂a的仰角為60，則塔高ab等于,答案,解析,在bcd中，cbd1801530135.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.一個大型噴水池的中央有一個強大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點a測得水柱頂端的仰角為45，沿點a向北偏東30前進100 m到達點b，在b點測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是 a.50 m b.100 mc.120 m d.1

14、50 m,答案,解析,設水柱高度是h m，水柱底端為c，,在abc中，a60，ach，ab100，,即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50， 故水柱的高度是50 m.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，則兩條船相距_m.,答案,解析,如圖，omaotan 4530 (m)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,在mon中，由余弦定理得,8.如圖，一艘船上午9：30在a處測得燈塔s在

15、它的北偏東30處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達b處，此時又測得燈塔s在它的北偏東75處，且與它相距 n mile.此船的航速是_ n mile/h.,答案,解析,32,設航速為v n mile/h，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇 形aob，c是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條 平行于ao的小路cd.已知某人從o沿od走到d用了2 分鐘，從d沿dc走到c用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為_米.,答案,解析,如圖，連接oc，在ocd中， od100，cd150，cdo60

16、. 由余弦定理得 oc2100215022100150cos 6017 500，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.在rtabc中，c90，a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且滿足abcx，則實數(shù)x的取值范圍是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.要測量電視塔ab的高度，在c點測得塔頂a的仰角是45，在d點測得塔頂a的仰角是30，并測得水平面上的bcd120，cd40 m，求電視塔的高度.,解答,如圖，設電視塔ab高為x m， 則在rtabc中，由acb45，得bcx.,在bdc中，由余弦定理得， bd2bc2c

17、d22bccdcos 120，,所以電視塔高為40 m.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(1)求a和sin c的值；,又由bc2，解得b6，c4. 由a2b2c22bccos a，可得a8.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*13.在海岸a處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距a處( 1)海里的b處有一艘走私船.在a處北偏西75方向，距a處2海里的c處的我方緝私船奉命以10 海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度從b處向北偏東30方向逃竄.問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間.,解答,如