1、在第二章謂詞邏輯中，以及在第四章中，兩個謂詞公式的單個參數(shù)必須具有相同的單個域，以討論它們是否等價。查看，定義2-13兩個謂詞公式A和B，它們具有相同的單個字段E。如果兩個謂詞公式的所有參數(shù)中的任何一組都被賦值，則獲得的命題真值是相同的，那么這兩個謂詞公式在指定的單個字段E中被認(rèn)為是等價的。將其記為。(1)命題公式的推廣；(2)量詞轉(zhuǎn)化規(guī)律；(2)當(dāng)我們在量詞后面移動負(fù)號時，全稱量詞變成存在量詞，存在量詞變成全稱量詞。相反，當(dāng)量詞后面的負(fù)號移到量詞前面時，應(yīng)該相應(yīng)地改變。量詞和否定之間的關(guān)系是普遍成立的，人們習(xí)慣稱之為量詞轉(zhuǎn)換規(guī)律。(3)量詞范圍的擴(kuò)張和收縮。(1)如果量詞的范圍是合取或析取的

2、，無約束謂詞可以直接進(jìn)入和退出范圍。如果量詞范圍是條件命題的先行詞，則作為后置部分的無約束謂詞公式不能直接進(jìn)入和退出該范圍。(3)如果量詞范圍是條件命題的后部分，則作為先行詞的無約束謂詞公式可以直接進(jìn)入和退出該范圍。(4)內(nèi)容詞的合取式和析取式的等價形式(1)全名量詞可以指定合取式。(2)存在量詞可以指定析取形式。全稱量詞可以連用，存在量詞可以析取，但是全稱量詞不能析取，存在量詞不能連用。從以上四點，我們可以得到一組常用的謂詞等價公式如下：E16E17E18E19E20E21E23E25E26E27，家庭作業(yè)，P54: 2.6 (2) 2.10 (1) 2.12 (1)。介紹了通用量詞可以分配

3、連接詞，存在量詞可以分配析取詞。我們不想問，通用量詞和析取詞、存在量詞和合取詞之間有什么關(guān)系？(1)存在量詞對連詞的蘊(yùn)涵證明：如果先行詞x(P(x)Q(x)為真，則在話語域中至少有一個個體c，這使得P(c)Q(c)為真。因此，P(c)為真，Q(c)也為真。也就是說，xP(x)為真，xQ(x)也為真。因此，xP(x)xQ(x)是真的。例如，讓宇宙是一個自然數(shù)。因為有一個自然數(shù)2，它既是偶數(shù)又是素數(shù)，這個公式成立。相反，如果xP(x)xQ(x)為真，宇宙中就沒有既偶數(shù)又奇數(shù)的自然數(shù)，這就使得x(P(x)Q(x)為真，所以它不是真。，(2)全量詞的析取表達(dá)式的蘊(yùn)涵證明：(3)其他蘊(yùn)涵證明：如果宇宙是

4、d，則xP(x)為真，那么對于宇宙中的任何物體c，P(c)為真。XP(x)的定義是正確的。因此，言外之意成立。實例2-14證明：(4)多重量化及其等價和隱含的謂詞公式通常包含一個以上的單個變量。為了使命題函數(shù)成為一個命題，每個個體變量都必須被量化，這就導(dǎo)致了多重量化的問題。如何解決多重量化的問題，我們以雙重量化為例來說明，多重量化類似于這類問題。對于二進(jìn)制謂詞，如果不考慮自由變量，則有八種情況：、與含義相同。在更改了最后四個案例的名稱后，實際上只有兩個案例。也就是說。例如，假設(shè)X的單個域是A類，Y的單個域是b類：意味著相同的姓氏。那么，意思是甲班的每個人和乙班的每個人同姓，意思是乙班的每個人和

5、甲班的每個人同姓，所以甲班和乙班的每個人同姓，也就是說，他們可以得到相同的理由這時，乙班的每個人都有相同的姓氏。從以上例子可以看出，同一個量詞的出現(xiàn)順序是可以互換的，而不同量詞的出現(xiàn)順序是不能互換的，但它們之間有一種隱含的關(guān)系。證明：如果這是真的，至少有一個人，這使它對所有人都是真的。也就是說，這是真的，所以這是真的。這個公式的逆命題是：所以帶有兩個量詞的謂詞公式具有以下蘊(yùn)涵關(guān)系：謂詞演算中常用的等價和蘊(yùn)涵、E16E 17 E 19 E 20 E 22 E 23 E 25 E 27 I 14。例2-15證明(1)、(2)、(3)、(4)證明(1):證明(2):證明(3):要證明，你只需要證明它

6、是真的。證明(4):謂詞演算可以看作是命題演算的一個擴(kuò)展，因為謂詞演算的許多等價公式和蘊(yùn)涵是命題演算中相關(guān)公式的擴(kuò)展，所以命題演算中的推理規(guī)則，如P，T和CP規(guī)則。由于謂詞邏輯中存在量詞，謂詞演算中的一些前提和結(jié)論可能受到量詞的約束。為了使謂詞演算的推理過程使用與命題邏輯相關(guān)的等價和蘊(yùn)涵，并使整個推理過程按照命題演算的推理過程進(jìn)行，在謂詞演算過程中必須消除和增加量詞，所以必須有相應(yīng)的規(guī)則。(1)全名指定規(guī)則(美國)在該規(guī)則中，c是個人域D中的任何個人.結(jié)論A(c)低于推理規(guī)則的水平線。該規(guī)則表明，如果個體域D中的所有個體都滿足A(x)，則個體域D中的某個個體C必須滿足A(x)。(2)普遍可拓規(guī)

7、則(UG)如果域D中的任何一個個體C可以使A(c)成立，那么就可以用這個規(guī)則得出結(jié)論。請注意，此時的個體C不是宇宙中的特定個體，而是指宇宙中的所有個體。(3)有一個賦值規(guī)則，其中C是個體域D中的個體，使得A(x)為真，而不是任意的個體。(4)有一個擴(kuò)展規(guī)則(例如)。在這個規(guī)則的前提下，是個體域D中的個體使A(x)為真，也就是說，只要個體域D中至少有一個個體使A(x)為真，它就是真。證明蘇格拉底三段論的正確性。每個人都會死。蘇格拉底是人類。所以蘇格拉底死了。證明首先象征著命題。讓單個域成為總的單個域。讓h (x): x是人類。D (x): x要死了。蘇格拉底。有一個前提：結(jié)論：D(c)下面是證明

8、的過程：(1) (2) (3) h (c) (4) d (c)，p us (1) p t (2) (3) i11假設(shè)推論，例2-17證明下面推論的正確性。所有有理數(shù)都是實數(shù)。一些有理數(shù)是整數(shù)。因此，一些實數(shù)是整數(shù)。這個解決方案首先象征了這個命題。讓單個域成為總的單個域。讓p (x): x是一個實數(shù)。Q (x): x是一個有理數(shù)。R (x): x是整數(shù)。這里有一個前提：結(jié)論：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)，p es (1) t (2) i1簡化公式p us (4) t例2-18證明：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)，p es (1) t (2) i1 pus (4) t因為存在量詞領(lǐng)域的謂詞公式是一個真實的個體，所以在指定全稱時必須是真實的，否則不是。如果上述問題的推理如下：(1) P (2) US(2) (3) P (4) US(3) (5)這個證明是錯誤的，因為一個人誰使它真實不一定真實。例2-19證明：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)，p us (1) t (2) e11