1、1.3.1函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)的最大值一、內(nèi)容與分析(a)內(nèi)容：函數(shù)最大值的概念和解法(2)分析：本課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是最大值和最小值函數(shù)的概念以及求其最大值的方法。它的核心(或關(guān)鍵)是尋找函數(shù)最大值的方法。理解它的關(guān)鍵是要知道函數(shù)最大值的幾何意義以及函數(shù)最大值與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系。學(xué)生已經(jīng)知道用圖像研究函數(shù)單調(diào)性的方法，函數(shù)的最大值與函數(shù)圖像的最高點(diǎn)(最低點(diǎn))之間的關(guān)系，以及函數(shù)單調(diào)性的意義。這門課的內(nèi)容就是在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。由于它主要解決實(shí)際應(yīng)用中的價值最大化問題，所以它在本學(xué)科中的應(yīng)用是本學(xué)科的核心內(nèi)容。教學(xué)的重點(diǎn)是如何找到函數(shù)的最大值，而解決關(guān)鍵點(diǎn)的關(guān)鍵是掌握學(xué)生的繪圖和繪圖能力以及

2、函數(shù)的最大值與其單調(diào)性之間的關(guān)系。二，教學(xué)目標(biāo)及分析(a)教學(xué)目標(biāo)：1.理解函數(shù)最大值的含義2.掌握求函數(shù)最大值的常用方法(2):分析(1)表示函數(shù)的最大值是圖像和清晰度的函數(shù)值的最大值或最小值；(2)表示會畫的人可以從圖像中得到相應(yīng)的最大值，不會畫的人應(yīng)該從函數(shù)的單調(diào)性中確定最大值。第三，問題診斷和分析在這門課的教學(xué)中，學(xué)生可能會遇到的問題是如何找到一個具體問題的最大值。產(chǎn)生這個問題的原因是函數(shù)的單調(diào)性不能有機(jī)地結(jié)合起來尋找函數(shù)的最大值。為了解決這個問題，有必要通過設(shè)計問題將函數(shù)的最大值與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合起來。四，教學(xué)過程問題和例子問題1:畫出下列函數(shù)的圖像，指出圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，并解釋

3、它能體現(xiàn)什么特征。f(x)=-x 3；f(x)=-x 3，x-1，2；f(x)=x2 2x 1；f(x)=x2 2x 1，x-2，2。學(xué)生回答后，老師引出話題：函數(shù)的最大值。問題2如圖1-3-1-11所示，它是函數(shù)y=-x2-2x，y=-2x1，x-1，)，y=f(x)的圖像。觀察這三幅圖像的共同特征。13111函數(shù)圖像上任意點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)與函數(shù)有什么關(guān)系？你如何理解函數(shù)圖像的最高點(diǎn)？在問題1中，取函數(shù)y=f(x)圖像中的任意點(diǎn)A(x，y)，如圖1-3-1-12所示，并假設(shè)點(diǎn)c的坐標(biāo)為(x0，y0)。誰能用數(shù)學(xué)符號解釋函數(shù)y=f(x)的圖像有最高點(diǎn)c？13112在數(shù)學(xué)中，問題1中函數(shù)y=

4、f(x)圖像上最高點(diǎn)C的縱坐標(biāo)稱為函數(shù)y=f(x)的最大值。誰能給出函數(shù)最大值的定義？ f(x)M表示函數(shù)最大值定義中的f(x)f(x0)。這個不等式反映了函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值的特征。它的形象有什么特點(diǎn)？函數(shù)最大值的幾何意義是什么？函數(shù)y=-2x 1，x(-1，)是否有最大值？為什么？點(diǎn)(-1，3)是函數(shù)y=-2x 1，x(-1，)的最高點(diǎn)嗎？通過這個問題，你發(fā)現(xiàn)什么值得關(guān)注？討論結(jié)果：函數(shù)y=-x2-2x圖像具有最高點(diǎn)a，函數(shù)y=-2x1，x-1，)圖像具有最高點(diǎn)b，函數(shù)y=f(x)圖像具有最高點(diǎn)c。換句話說，這三個函數(shù)的圖像的共同特征是它們都具有最高點(diǎn)。函數(shù)圖像：上任意點(diǎn)p的坐標(biāo)(x，

5、y)的含義。橫坐標(biāo)x是自變量的值，縱坐標(biāo)y是自變量為x時相應(yīng)函數(shù)值.圖像最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值的最大值，即函數(shù)的最大值。由于點(diǎn)c是函數(shù)y=f(x)的圖像的最高點(diǎn)，點(diǎn)a在點(diǎn)c之下，即yy0，即f(x)f(x0)，即f(x)f(x0)適用于函數(shù)y=f(x)的域中的任何x一般來說，讓函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果有一個實(shí)數(shù)，m滿足：(1)對于任何xI，存在f(x)m；(2)有x0我不是，因?yàn)闆]有-1。討論功能的最大價值時，應(yīng)堅持領(lǐng)域優(yōu)先的原則；最大值僅在函數(shù)圖像具有最高點(diǎn)時存在，最高點(diǎn)必須是函數(shù)圖像上的一個點(diǎn)。問題3(1)類似于函數(shù)的最大值，請給出函數(shù)最小值的定義及其幾何意義。類比問題9，你

6、認(rèn)為討論函數(shù)的最小值時應(yīng)該注意什么？活動：讓學(xué)生思考一個函數(shù)的最大值的定義，并用這個定義來類比這個定義。最高點(diǎn)與最低點(diǎn)相似，符號不等于“”不等于“”。函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最大值。討論結(jié)果：函數(shù)最小值的定義是：通常，讓函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果有一個實(shí)數(shù)，m滿足：(1)對于任何xI，都有f(x)m；(2)有x0I，所以f (x0)=m .那么，m是函數(shù)y=f(x)的最小值。函數(shù)最小值的幾何意義：函數(shù)圖像上最低點(diǎn)的坐標(biāo)。在討論函數(shù)的最小值時，也應(yīng)堅持域優(yōu)先原則；當(dāng)函數(shù)圖像具有最低點(diǎn)時，函數(shù)具有最小值，并且最低點(diǎn)必須是函數(shù)圖像上的點(diǎn)。示例示例1:在區(qū)間2，6中找到函數(shù)y=的最大值

7、和最小值?；顒樱菏紫人伎蓟蛴懻摚缓髮懺诤诎迳?。當(dāng)學(xué)生沒有證明思想時，會提示圖像最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最大值，圖像最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最小值。根據(jù)函數(shù)的圖像觀察它的單調(diào)性，然后用函數(shù)單調(diào)性的定義證明它，最后用函數(shù)的單調(diào)性得到最大值和最小值。用變換方法畫出函數(shù)y=的圖像，只取區(qū)間2，6中的一個解決方法：讓2x10，(x1-1)(x2-1)0。f(x1)f(x2)，即函數(shù)y=是區(qū)間2，6中的遞減函數(shù)。因此，當(dāng)x=2時，函數(shù)y=在區(qū)間2，6中獲得最大值f(2)=2；當(dāng)x=6時，函數(shù)y=得到區(qū)間2，6中的最小值f(6)。變體訓(xùn)練1.找出函數(shù)y=x2-2x(x-3，2)的最大值和最小值?；卮穑鹤畲笾禐?/p>

8、f(-3)=15，最小值為f(1)=1。2.函數(shù)f(x)=x4 2x2-1的最小值為。分析：(代換法)轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值。假設(shè)x2=t，y=t2 2t-1(t0)，當(dāng)t0時，函數(shù)y=t2 2t-1為遞增函數(shù)，然后當(dāng)t=0時，函數(shù)y=t2 2t-1(t0)取最小值-1。因此，函數(shù)f(x)=x4 2x2-1的最小值為-1?；卮穑?13.畫出函數(shù)y=-x2 2 | x | 3的圖像，指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值。分析：函數(shù)的圖像是關(guān)于Y軸對稱的。首先，在Y軸的右邊畫出圖像，然后在Y軸的左邊對稱得到函數(shù)的圖像；借助圖像，根據(jù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間。解決方案：功能圖如圖1-3-1-13所示。1

9、3113根據(jù)該圖像，函數(shù)的圖像在區(qū)間(-，-1)和0，1)中增加，在區(qū)間-1，0和(1，)中減少，并且最高點(diǎn)是(1，4)。因此，該函數(shù)是(-，-1)，0，1上的遞增函數(shù)；該函數(shù)是-1，0，(1，)上的遞減函數(shù)，最大值為4。備注：本主題主要考察函數(shù)的單調(diào)性和最大值，以及如何找到最大值。當(dāng)求一個函數(shù)的最大值時，首先畫出函數(shù)的圖像，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后用定義方法證明，最后借助單調(diào)性寫出最大值。這種方法適合解決問題。用單調(diào)方法求函數(shù)的最大值：首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后用它的單調(diào)性求最大值；通常使用以下結(jié)論：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)單調(diào)增加，在區(qū)間b，c單調(diào)減少，則函數(shù)y=f(x)在x=

10、b處具有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有一個最小值f(b ).例2“菊花”煙花活動：你可以指定一個學(xué)生在黑板上寫字，老師會在下面巡視，幫助錯誤的學(xué)生及時改正錯誤。同時，你可以及時評估學(xué)生的板書。實(shí)際問題最終將轉(zhuǎn)化為尋找函數(shù)的最大值，繪制函數(shù)的圖像，并使用函數(shù)的圖像來尋找最大值。煙花爆炸的最佳時間是什么時候？是當(dāng)t取什么值時，函數(shù)h (t)=-4.9t214.7t .“此時離地高度是多少(精確到1米)”是函數(shù)h(t)=-4.9t2 14.7t 18的最大值；轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(t)=-4.9t2 14.7t 18的

11、最大值和此時自變量t的值。解決方法：繪制函數(shù)h(t)=4.9 T2 14.7 t18的圖像，如圖1-3-1-14所示。顯然，函數(shù)圖像的頂點(diǎn)是煙花升起的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是煙花爆炸的最佳時間，縱坐標(biāo)是此時離地面的高度。13114根據(jù)二次函數(shù)的知識，對于函數(shù)h(t)=4.9t 2 14.7t 18，我們有：當(dāng)t=1.5時，該函數(shù)有一個最大值。也就是說，煙花爆發(fā)的最佳時間是沖出后1.5秒，離地高度約為29米。備注：本題主要考查二次函數(shù)的最大值以及應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的能力。解決應(yīng)用問題的步驟是：1 .復(fù)習(xí)問題的含義并閱讀問題；將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決；總結(jié)結(jié)論。注意：我們應(yīng)該堅持域名優(yōu)先

12、的原則；為了找到二次函數(shù)的最大值，我們需要借助圖像，即數(shù)和形的結(jié)合。變體訓(xùn)練1.2006山東菏澤第二款，第10條將長度為12厘米的細(xì)線切割成兩段，每段圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形的面積之和的最小值為()A.cm2 B.4cm2 C.3cm2 D.2cm2分析：假設(shè)一個三角形的邊長為x厘米，那么另一個三角形的邊長為(4-x)厘米，兩個三角形的面積和為S，那么S=x2 (4-x)2=(x-2)2 22。當(dāng)x=2時，s取最小值2m2。因此，d .答：d .2.一家超市為了獲得最大利潤做了一個實(shí)驗(yàn)。如果單價為8元的商品以1/10元的價格出售，每天可以賣出60件?，F(xiàn)在，采用提高銷售價格和減少采購數(shù)量的方法來增加利潤。據(jù)了解，這種商品每增加1元，銷售量就會減少10件。詢問商品的價格設(shè)定為多少，以獲得最大利潤并獲得最大利潤。分析：設(shè)未知數(shù)，引入數(shù)學(xué)符號，建立函數(shù)關(guān)系式。然后，研究函數(shù)關(guān)系式的定義范圍，并根據(jù)問題的實(shí)際意義給出答案。利潤=(銷售價格-購買價格)銷售量。解決方案：如果商品的銷售價格定為X元，利潤為Y元，那么y=(x-8)60-(x-10)10=-10(x-12)2-16=-10