1、8.4平行線和平面的判斷和性質(zhì)2014年高考將像這樣進(jìn)行測試。1.考察空間平行關(guān)系的判斷和與自然相關(guān)的命題的判斷；2.證明或探索解中空間的平行關(guān)系。為了復(fù)習(xí)和準(zhǔn)備考試，你應(yīng)該這樣做。1.掌握平行線與平面的判斷定理和性質(zhì)，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，回答過程的敘述步驟應(yīng)完整，避免因條件寫作不完整而失分；2.記住解決問題的根本在于“定理”，運(yùn)用“歸約”的思想，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化“線問題、線問題、面問題”。1.直線與平面平行性的判斷和本質(zhì)決定自然定義定理數(shù)字情況a=a,b,abaa,a,=b結(jié)論aba=ab2.面對(duì)面平行的判斷和本質(zhì)決定自然定義定理數(shù)字情況=a,b,ab=P,a,b，=a，=b,a結(jié)論aba難點(diǎn)

2、、原始疑點(diǎn)、明確來源1.證明直線與平面中的直線平行是一個(gè)常見的問題。但必須說明的是，直線在平面之外，直線在平面內(nèi)。2.在判斷和證明直線與平面的位置關(guān)系時(shí)，除了要熟練地運(yùn)用判斷定理和性質(zhì)定理外，這個(gè)定義不能丟棄，因?yàn)樗瓤梢宰鳛榕袛喽ɡ恚部梢宰鳛樾再|(zhì)定理。3.輔助線(平面)是解決(證明)線與平面平行性的關(guān)鍵。為了利用線與平面平行性的判斷定理和性質(zhì)定理，常常需要輔助線(平面)。1.不重合的線a、b和平面是已知的。(1)如果a和b ，那么ab；如果A和B，那么AB；如果ab，b，那么a；如果aB，a，那么B或B 。上述命題中正確的是_ _ _ _ _ _ _ _(填寫序號(hào))?；卮鸾馕鋈绻鸄，B ，

3、那么A和B平行或不同；如果A和B，則A和B有可能平行、相交且在平面外；如果ab，b，那么a或a。2.已知和是兩個(gè)不同的平面，直線和直線，命題P:和沒有公共點(diǎn)；命題Q:，那么P是Q的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _條件.答案肯定是不夠的a和B之間沒有共同點(diǎn)，所以不能推導(dǎo)出來。當(dāng)時(shí)，A和B之間一定沒有公共點(diǎn)，也就是說，PD/q、qp和p是q的必要和不充分條件.3.已知平面平面和直線有以下命題：(1)a和中的所有直線是平行的；a平行于中無數(shù)條直線；和中的任何直線都不垂直。真正命題的序號(hào)是_ _ _ _ _ _ _ _ _?；卮鸱治錾?，因?yàn)椋訟，在平面上有無數(shù)條平行于A線的線，但不是所有

4、的線都平行于A線，所以命題為真，命題為假。平面上有無數(shù)條線垂直于A線，所以命題是假的。4.(浙江，2011)如果直線L不平行于平面和L ，那么()A.中的所有直線都與l不在同一平面上B.在中沒有平行于L的直線C.在中有一條獨(dú)特的平行于L的直線D.中的所有直線都與l相交回答乙根據(jù)問題的含義，如果直線l與平面相交，則直線l與平面中的直線之間只有兩種位置關(guān)系，即相交和平面外，因此只有選項(xiàng)b是正確的。5.(四川，2012)下列命題是正確的()A.如果兩條直線和同一平面形成的角度相等，那么兩條直線是平行的B.如果一個(gè)平面中有三個(gè)點(diǎn)與另一個(gè)平面的距離相同，那么這兩個(gè)平面是平行的C.如果一條直線平行于兩個(gè)相

5、交的平面，那么這條直線平行于這兩個(gè)平面的交點(diǎn)如果兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，那么兩個(gè)平面是平行的答案三分析上，使用線和平面之間位置關(guān)系的判斷和性質(zhì)解。一個(gè)誤差，如圓錐的任意兩個(gè)母線與底面形成的角度相等，但兩個(gè)母線相交；B錯(cuò)了，在ABC的三個(gè)頂點(diǎn)中，A和B在的同一側(cè)，而C點(diǎn)在的另一側(cè)，AB平行于。此時(shí)，可能有三個(gè)點(diǎn)A、B和Cd錯(cuò)誤，比如教室里兩個(gè)相鄰的墻都垂直于地面，但是這兩個(gè)面相交，所以c .直線與平面平行性的判斷及性質(zhì)例1正方形ABCD和正方形ABEF與AB相交的平面，在AE和BD上分別有點(diǎn)p和q，AP=dq。證明：PQ平面BCE。思想的啟示：要證明一條線平行于一個(gè)平面，我們可以利用這條線平

6、行于平面的判斷定理，也可以利用這條線平行于平面的性質(zhì)。第一種證明方法如圖所示。使PMAB從BE交叉到m，使QNAB橫過BC到n，連接MN。*正方形ABCD和正方形ABEF具有公共邊AB， AE=BD。AP=dq， PE=QB，和pmabqn，=，=，PMNQ，即四邊形pmnq是平行四邊形，PQMN.和Mn平面BCE、pq平面BCE，PQ飛機(jī)公司。方法2如圖所示，連接AQ，將BC延長線延伸到k，然后連接EK。* AE=BD，AP=DQ，PE=BQ,=，和adbk，=，=,PQEK.和pq平面BCE，ek平面BCE，PQ飛機(jī)公司。方法3如圖所示，在平面ABEF中，通過點(diǎn)p作為點(diǎn)PMBE，在點(diǎn)m處通

7、過點(diǎn)AB，連接QM。PM飛機(jī)公司，且平面ABEF平面BCE=be，PMBE,=，Ae=BD，AP=dq， PE=bq，=,=，MQAD和公元公元前，mqmqbc飛機(jī)公司，并且pmMQ=m，beBC=b，平面PMQ平面BCE和PQ平面pmq。PQ飛機(jī)公司。探索提高線平面平行度判斷或證明的常用方法：(1)利用線平面平行度的定義(無公共點(diǎn))；(2)利用平行線和平面的判斷定理(a ，b ，aba)；(3)利用曲面平行性定理(，aa)；(4)利用平面平行性(，)。如圖所示，在金字塔P-ABCD中，底部的ABCD是菱形，bad=60，AB=2，PA=1，PA平面ABCD，e是PC的中點(diǎn)，f是AB的中點(diǎn)。證

8、據(jù)：BE平面PDF。證明了以局部放電中點(diǎn)為m，將微機(jī)電系統(tǒng)和微機(jī)電系統(tǒng)連接起來，e是重心的中點(diǎn)，ME是PCD的中線，ME CD。F是AB的中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，AB CD，ME FB，四邊形MEBF是一個(gè)平行四邊形，BEMF.* be plane pdf，MF plane PDF， be plane PDF。問題二中平面與平面平行性的判斷與性質(zhì)例2如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C 1中，e、f、g和h分別為AB和AC。A1B1和A1C1的中點(diǎn)，驗(yàn)證：(1)b、c、h、g四點(diǎn)共面；(2)飛機(jī)EFA1飛機(jī)BCHG。思維啟示：證明四點(diǎn)共面，就證明GHBC；為了證明平面是平行的，一個(gè)平面上的

9、兩條相交線平行于另一個(gè)平面。證明了(1)GH是ghb1c1.a1b1c 1的中線和 B1 C1BC，GHBC，b，c，h和g的四個(gè)點(diǎn)是共面的。(2)e和f分別是AB和AC的中點(diǎn)，EFBC、*英孚飛機(jī)BCHG，BC飛機(jī)BCHG，EF飛機(jī)BCHG。* A1G執(zhí)行局，四邊形A1EBG是一個(gè)平行四邊形，A1EGB.* a1e飛機(jī)BCHG，英國飛機(jī)BCHG。A1E飛機(jī)BCHG。a1eef=e，平面plane bchg平面。探索提高檢驗(yàn)面平行度的方法；(1)面對(duì)面平行度的定義；(2)面對(duì)面平行判斷定理：如果一個(gè)平面上的兩條相交線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面是平行的；(3)用兩個(gè)垂直于同一直線的平面平行

10、；(4)如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面是平行的；(5)利用“線-線平行度”、“線-平面平行度”和“平面-平面平行度”的相互轉(zhuǎn)換。證明了如果一條直線平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線平行于兩個(gè)平面的交點(diǎn)。解是已知的：直線a平面，直線a平面，=b .驗(yàn)證：Ab證明：如圖所示，穿過直線A作為平面，與平面，相交于直線M，n(m，N不同于相交直線B)，由直線與平面平行性定理可得AM，AN，由平行線的傳遞性可得MN。因?yàn)閚，m，n，問題三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用實(shí)例3如圖所示，在四面體ABCD中，橫截面EFGH平行于相對(duì)的邊AB和CD，橫截面積最大的橫截面在什么位置？思維啟示：利用線與面平行的性

11、質(zhì)，可以得到線與面的平行度，先確定截面形狀，然后建立目標(biāo)函數(shù)，求出最大值。要解AB平面EFGH，EFGH飛機(jī)分別在FG和EH與ABC飛機(jī)和ABD飛機(jī)相交。ABFG,ABEH，F(xiàn)GEH，同樣可以證明efGH，截面EFGH是平行四邊形。設(shè)AB=A，CD=B，F(xiàn)GH=(是直線AB和CD形成的角或其余角)。如果fg=x并且GH=y，我們可以從平面幾何知識(shí)中得到=，=并且這兩個(gè)公式加起來得到=1，即y=(a-x)。SEFGH=FGGHsin =x(a-x)sin =x(a-x)。* x0、a-x0和x (a-x)=a是固定值。當(dāng)且僅當(dāng)x=a-x=a-x (a-x)=時(shí)，則x=，y=。也就是說，當(dāng)橫截面E

12、FGH的頂點(diǎn)e、f、g和h是邊AD、AC、BC和BD的中點(diǎn)時(shí)，橫截面面積最大。通過探索和改進(jìn)線與平面的平行性，可以實(shí)現(xiàn)線與線的平行性轉(zhuǎn)換，特別是在截面圖的繪制中，常用于確定相交線的位置。對(duì)于最大值問題，我們經(jīng)常用功能思維來解決。如圖所示，在立方體ABCD-A1B1C 1 D1中，O是底部ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，讓Q是CC1上的點(diǎn)，并問：當(dāng)平面D1BQ平面PAO時(shí)，點(diǎn)Q在哪里？當(dāng)q是CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ平面PAO證明如下：Q是CC1的中點(diǎn)，p是DD1的中點(diǎn)，QBPA.* p和o分別是d1bpo. dd1和DB的中點(diǎn)And/D1B飛機(jī)報(bào)，寶飛機(jī)報(bào)，QB飛機(jī)的PAO，pa飛機(jī)的PA

13、O，D1B平面PAO，QB平面PAO，D1BQB=b，D1B，QB平面D1BQ，d1bq飛機(jī)pao飛機(jī)。立體幾何中的探索性問題典型示例：(12個(gè)點(diǎn))如圖所示，在立方體ABCD-A1B1C 1 D1中，e是邊DD1中點(diǎn)。(1)求出直線BE與平面ABB1A1形成的角度的正弦值；(2)在邊緣C1D1上是否有一個(gè)點(diǎn)F，因此B1F平面A1BE？證明你的結(jié)論。檢查的角度(1)可用作平面ABB1A1至e的垂直線和線角；(2)先找出f點(diǎn)，然后證明B1F平面為A1BE。注意解決問題的方向性。標(biāo)準(zhǔn)化解決方案解決方案(1)如圖(a)所示，取AA1的中點(diǎn)M，連接EM和BM。因?yàn)镋是DD1的中點(diǎn)，四邊形ADD1A1是正

14、方形，所以EMAD。2分在立方體ABCD-a1b1c 1 D1中，AD飛機(jī)ABB1A1，因此，EM平面ABB1A1，所以BM是直線BE在平面ABB1A1上的投影，而ebm是BE與平面ABB1A1形成的角度。4點(diǎn)圖(a)假設(shè)立方體的邊長是2，那么em=ad=2，be=。因此，在RtBEM中，sinEBM=，5分也就是說，直線BE和平面ABB1A1形成的角度的正弦值是。6分(2)在邊緣C1D1上有一個(gè)點(diǎn)F，因此B1F平面A1BE。實(shí)際上，如圖(b)所示，C1D1和CD的中點(diǎn)f和g被用來連接B1F、EG、BG、CD1和FG。因?yàn)锳1D 1B1C 1BC，并且a1d1=BC，四邊形A1BCD1是平行四

15、邊形，所以D1CA1B。e和g分別是D1D和CD的中點(diǎn)，圖(b)所以EGD1C，所以EGA1B。這表明A1、B、G和E是共面的，所以BG平面是A1BE。8分四邊形C1CDD1和B1BCC1都是正方形，f和g分別是C1D1和CD的中點(diǎn)。因此，F(xiàn)GC1CB1B和fg=c1c=b1b，因此，四邊形B1BGF是平行四邊形，所以B1FBG，10分而B1F飛機(jī)A1BE、BG飛機(jī)A1BE，因此，B1F平面為A1BE。12分答案模板對(duì)于探索性問題，有兩種形式的寫作步驟：一是第一步：找出要點(diǎn)的位置。第二步：證明符合要求。第三步：給出一個(gè)明確的答案。第四步：反思和回顧。檢查關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答案規(guī)格。另一種：從結(jié)論

16、出發(fā)，“應(yīng)該建立什么”和“只需要建立什么”，尋求建立結(jié)論的充分條件，類似于分析方法。溫馨提示：(1)這個(gè)問題是立體幾何中的一個(gè)綜合性問題，側(cè)重于推理和計(jì)算能力。(2)問題(1)中常見的錯(cuò)誤是無法確定平面ABB1A1的垂直線，因此無法確定線與平面的角度。(3)問題(2)是一個(gè)探索性的問題，很難開始，因?yàn)樗也坏浇鉀Q問題的切入點(diǎn)。(4)寫作格式混亂無序。方法和技術(shù)1.pa的轉(zhuǎn)換關(guān)系(1)定義方法；(2)判斷定理；(3)表面間平行的性質(zhì)。3.平面與平面平行的主要判斷方法(1)定義方法；(2)判斷定理；(3)推理；(4)a,a.錯(cuò)誤與預(yù)防1.當(dāng)證明直線與平面平行時(shí)，必須強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則會(huì)產(chǎn)生誤差。2.在解決線與平面平行度的判斷時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)換，即從“線與平面平行度”到“平面與平面平行度”；當(dāng)應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，順序正好相反，但是應(yīng)該注意的是，變換的方向總是由主題的特定條件決定的，并且不能太“模式化”。3