1、4.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)2014高考會(huì)這樣考1.考查三角函數(shù)的定義及應(yīng)用；2.考查三角函數(shù)的符號(hào)；3.考查弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式復(fù)習(xí)備考要這樣做1.理解任意角的概念，會(huì)在坐標(biāo)系中表示及識(shí)別角；2.掌握三角函數(shù)的定義，這是三角函數(shù)的基石1 角的概念(1)任意角：定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角(2)所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S|k360，kZ(3)象限角：使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐

2、標(biāo)軸上，那么這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限2 弧度制(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是零(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad,1 rad.(3)扇形的弧長(zhǎng)公式：l|r，扇形的面積公式：Slr|r2.3 任意角的三角函數(shù)任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時(shí)，sin y，cos x，tan .三個(gè)三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)sin Rcos Rtan |k，kZ4. 三角函數(shù)線如下圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)P作PMx軸，垂足為M，過(guò)A(

3、1,0)作單位圓的切線與的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T.三角函數(shù)線()()()()有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 對(duì)角概念的理解要準(zhǔn)確(1)不少同學(xué)往往容易把“小于90的角”等同于“銳角”，把“090的角”等同于“第一象限的角”其實(shí)銳角的集合是|090，第一象限角的集合為|k360k36090，kZ(2)終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等2 對(duì)三角函數(shù)的理解要透徹三角函數(shù)也是一種函數(shù)，它可以看成是從一個(gè)角(弧度制)的集合到一個(gè)比值的集合的函數(shù)，也可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，定義域?yàn)槭贡戎涤幸?/p>

4、義的角的范圍如tan 有意義的條件是角終邊上任一點(diǎn)P(x，y)的橫坐標(biāo)不等于零，也就是角的終邊不能與y軸重合，故正切函數(shù)的定義域?yàn)?3 三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示(1)正弦線、正切線的方向同縱軸一致，向上為正，向下為負(fù)(2)余弦線的方向同橫軸一致，向右為正，向左為負(fù)(3)當(dāng)角的終邊在x軸上時(shí)，點(diǎn)T與點(diǎn)A重合，此時(shí)正切線變成了一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)角的終邊在y軸上時(shí)，點(diǎn)T不存在，即正切線不存在(4)在“數(shù)”的角度認(rèn)識(shí)任意角的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，還可以從圖形角度考察任意角的三角函數(shù)，即用有向線段表示三角函數(shù)值，這是三角函數(shù)與其他基本初等函數(shù)不同的地方1 若點(diǎn)P在角的終邊上，且|OP|2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_答案

5、(1，)解析x|OP|cos 21，y|OP|sin .點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，)2 (2011江西)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角終邊上一點(diǎn)，且sin ，則y_.答案8解析因?yàn)閟in ，所以y0，且y264，所以y8.3 下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A2k45 (kZ) Bk360 (kZ)Ck360315(kZ) Dk (kZ)答案C解析與的終邊相同的角可以寫成2k (kZ)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確4 已知cos tan 0，tan 0，則在第四象限；若cos 0，則在第三象限，選C.5 已知扇形的周長(zhǎng)是6 cm，面積是2 c

6、m2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 ()A1 B4C1或4 D2或4答案C解析設(shè)此扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則解得或從而4或1.題型一角的有關(guān)問(wèn)題例1(1)寫出終邊在直線yx上的角的集合；(2)若角的終邊與角的終邊相同，求在0,2)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角；(3)已知角是第一象限角，試確定2、所在的象限思維啟迪：利用終邊相同的角進(jìn)行表示或判斷；根據(jù)角的定義可以把角放在坐標(biāo)系中確定所在象限解(1)終邊在直線yx上的角的集合為|k，kZ(2)所有與角終邊相同的角的集合是|2k，kZ，所有與角終邊相同的角可表示為k，kZ.在0,2)內(nèi)終邊與角終邊相同的角有，.(3)2k2k，kZ，4k24k，k0時(shí)，r

7、5t，sin ，cos ，tan ；當(dāng)t0時(shí)，r5t，sin ，cos ，tan .綜上可知，sin ，cos ，tan 或sin ，cos ，tan .題型三三角函數(shù)線、三角函數(shù)值的符號(hào)例3(1)若是第二象限角，試判斷的符號(hào)；(2)已知cos ，求角的集合思維啟迪：由所在象限，可以確定sin 、cos 的符號(hào)；解三角不等式，可以利用三角函數(shù)線解(1)2k2k (kZ)，1cos 0,4k24k2 (kZ)，1sin 20，sin(cos )0.0.的符號(hào)是負(fù)號(hào)(2)作直線x交單位圓于C、D兩點(diǎn)，連接OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為|2

8、k2k，kZ探究提高(1)熟練掌握三角函數(shù)在各象限的符號(hào)(2)利用單位圓解三角不等式(組)的一般步驟：用邊界值定出角的終邊位置；根據(jù)不等式(組)定出角的范圍；求交集，找單位圓中公共的部分；寫出角的表達(dá)式 (1)y的定義域?yàn)開(2)已知sin 20，且|cos |cos ，則點(diǎn)P(tan ，cos )在第幾象限？(1)答案x|2kx2k，kZ解析sin x，作直線y交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角的終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為x|2kx2k，kZ(2)解方法一由sin 20，得2k22k2 (kZ)，kk (kZ)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，的終邊在第四

9、象限；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，的終邊在第二象限又因cos 0，所以的終邊在左半坐標(biāo)平面(包括y軸)，所以的終邊在第二象限所以tan 0，cos 0，點(diǎn)P在第三象限方法二由|cos |cos 知cos 0，又sin 20，即2sin cos 0)，所在圓的半徑為R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C (C0)，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？思維啟迪：(1)弓形面積可用扇形面積與三角形面積相減得到；(2)建立關(guān)于的函數(shù)解(1)設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓，則60，R10，l10 (cm)，S弓S扇S10102sin 50 (cm2)(2)扇形周長(zhǎng)C

10、2Rl2RR，R，S扇R22.當(dāng)且僅當(dāng)24，即2時(shí)，扇形面積有最大值.探究提高(1)在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長(zhǎng)比在角度制下更方便、簡(jiǎn)捷(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值(3)記住下列公式：lR；SlR；SR2.其中R是扇形的半徑，l是弧長(zhǎng)，(02)為圓心角，S是扇形面積 (1)一個(gè)半徑為r的扇形，若它的周長(zhǎng)等于弧所在的半圓的長(zhǎng)，那么扇形的圓心角是多少弧度？扇形的面積是多少？(2)一扇形的周長(zhǎng)為20 cm；當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解(1)設(shè)扇形的圓心角為 rad，則扇形的周長(zhǎng)是2rr.依題意：2rrr，(

11、2)rad.扇形的面積Sr2(2)r2.(2)設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則l2r20，即l202r (0r0的x的范圍用三角函數(shù)線求解(2)比較大小，可以從以下幾個(gè)角度觀察：是第二象限角，是第幾象限角？首先應(yīng)予以確定sin ，cos ，tan 不能求出確定值，但可以畫出三角函數(shù)線借助三角函數(shù)線比較大小規(guī)范解答解(1)34sin2x0，sin2x，sin x.2分利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，x(kZ)4分(2)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ，是第一或第三象限的角6分(如圖陰影部分)，結(jié)合單位圓上的三角函數(shù)線可得：當(dāng)是第一象限角時(shí)，sin AB，cos

12、OA，tan CT，從而得，cos sin tan ；8分當(dāng)是第三象限角時(shí)，sin EF，cos OE，tan CT，得sin cos tan .10分綜上可得，當(dāng)在第一象限時(shí)，cos sin tan ；當(dāng)在第三象限時(shí)，sin cos tan .12分溫馨提醒1.第(1)小題的實(shí)質(zhì)是解一個(gè)簡(jiǎn)單的三角不等式，可以用三角函數(shù)圖象，也可以用三角函數(shù)線用三角函數(shù)線更方便.2.第(2)小題比較大小，由于沒(méi)有給出具體的角度，所以用圖形可以更直觀的表示.3.本題易錯(cuò)點(diǎn)：不能確定所在的象限；想不到應(yīng)用三角函數(shù)線原因在于概念理解不透，方法不夠靈活方法與技巧1在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則

13、取終邊與單位圓的交點(diǎn)|OP|r一定是正值2三角函數(shù)符號(hào)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解簡(jiǎn)單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧失誤與防范1注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90的角是概念不同的三類角第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角2角度制與弧度制可利用180 rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用3注意熟記0360間特殊角的弧度表示A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 角的終邊過(guò)點(diǎn)P(1,2)，則sin 等于()A. B. C D答案B解析由三角函

14、數(shù)的定義，得sin .2 若是第三象限角，則下列各式中不成立的是()Asin cos 0 Btan sin 0Ccos tan 0 Dtan sin 0答案B解析在第三象限，sin 0，cos 0，則可排除A、C、D，故選B.3 已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長(zhǎng)為()A2 B4 C6 D8答案C解析設(shè)扇形的半徑為R，則R2|2，R21，R1，扇形的周長(zhǎng)為2R|R246，故選C.4 有下列命題：終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等；終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不等；若sin 0，則是第一、二象限的角；若是第二象限的角，且P(x，y)是其終邊上一點(diǎn)，則cos .其中正確的命

15、題的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案A解析正確，不正確，sin sin ，而與角的終邊不相同不正確sin 0，的終邊也可能在y軸的非負(fù)半軸上不正確在三角函數(shù)的定義中，cos ，不論角在平面直角坐標(biāo)系的任何位置，結(jié)論都成立二、填空題(每小題5分，共15分)5 已知點(diǎn)P(tan ，cos )在第三象限，則角的終邊在第_象限答案二解析點(diǎn)P在第三象限，tan 0，cos 0，即m.2 已知點(diǎn)P落在角的終邊上，且0,2)，則的值為 ()A. B. C. D.答案D解析由sin 0，cos 0知角是第四象限的角，tan 1，0,2)，.3 給出下列命題：第二象限角大于第一象限角；三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；不論是用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形的半徑的大小無(wú)關(guān)；若sin sin ，則與的終邊相同；若cos 0)是終邊上一點(diǎn)，則2sin cos _.答案解析由條件可求得r5m，所以sin ，cos ，所以2sin cos .5 函數(shù)y的定義域?yàn)開答案(kZ)解析2cos x10，cos x.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)x(kZ)6 一扇形的圓心角為120，則此扇形的面積與其內(nèi)切圓的面積之比為_答案(74)9解析設(shè)扇形半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r.則(Rr)sin 60