1、學(xué)案39數(shù)學(xué)歸納法導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題自主梳理1歸納法由一系列有限的特殊事例得出_的推理方法叫歸納法根據(jù)推理過(guò)程中考查的對(duì)象是涉及事物的全體或部分可分為_(kāi)歸納法和_歸納法2數(shù)學(xué)歸納法設(shè)Pn是一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：(1)證明起始命題_(或_)成立；(2)在假設(shè)_成立的前提下，推出_也成立，那么可以斷定Pn對(duì)一切正整數(shù)成立3數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值_時(shí)命題成立(2)(歸納遞推)假設(shè)_時(shí)命題成立，證明當(dāng)_時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立自我檢測(cè)1用數(shù)學(xué)歸

2、納法證明：“1aa2an1 (a1)”在驗(yàn)證n1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為()A1 B1aC1aa2 D1aa2a32如果命題P(n)對(duì)于nk (kN*)時(shí)成立，則它對(duì)nk2也成立，又若P(n)對(duì)于n2時(shí)成立，則下列結(jié)論正確的是()AP(n)對(duì)所有正整數(shù)n成立BP(n)對(duì)所有正偶數(shù)n成立CP(n)對(duì)所有正奇數(shù)n成立DP(n)對(duì)所有大于1的正整數(shù)n成立3(2011臺(tái)州月考)證明11)，當(dāng)n2時(shí)，中間式子等于()A1 B1C1 D14用數(shù)學(xué)歸納法證明“2nn21對(duì)于nn0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2 B3 C5 D65用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3 (nN*)

3、能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證nk1時(shí)的情況，只需展開(kāi)()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3探究點(diǎn)一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1對(duì)于nN*，用數(shù)學(xué)歸納法證明：1n2(n1)3(n2)(n1)2n1n(n1)(n2)變式遷移1(2011金華月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的nN*,1.探究點(diǎn)二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式均成立變式遷移2已知m為正整數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x1時(shí)，(1x)m1mx.探究點(diǎn)三用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題例3用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nN*時(shí)，an1(a1)2n1能被a2a1整除變式遷移3用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n為

4、正整數(shù)時(shí)，f(n)32n28n9能被64整除從特殊到一般的思想例(14分)已知等差數(shù)列an的公差d大于0，且a2、a5是方程x212x270的兩根，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且Tn1bn.(1)求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，試比較與Sn1的大小，并說(shuō)明理由【答題模板】解(1)由已知得，又an的公差大于0，a5a2，a23，a59.d2，a11，an1(n1)22n1.2分Tn1bn，b1，當(dāng)n2時(shí)，Tn11bn1，bnTnTn11bn，化簡(jiǎn)，得bnbn1，4分bn是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即bnn1，an2n1，bn.6分(2)Snnn2，Sn1(n1)2，.

5、以下比較與Sn1的大小：當(dāng)n1時(shí)，S24，S2，當(dāng)n2時(shí)，S39，S3，當(dāng)n3時(shí)，S416，S5.猜想：n4時(shí)，Sn1.9分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n4時(shí)，已證假設(shè)當(dāng)nk (kN*，k4)時(shí)，Sk1，即(k1)2.10分那么，nk1時(shí)，33(k1)23k26k3(k24k4)2k22k1(k1)12S(k1)1，nk1時(shí)，Sn1也成立12分由可知nN*，n4時(shí)，Sn1都成立綜上所述，當(dāng)n1,2,3時(shí)，Sn1.14分【突破思維障礙】1歸納猜想證明是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，此類(lèi)問(wèn)題可分為歸納性問(wèn)題和存在性問(wèn)題，本例中歸納性問(wèn)題需要從特殊情況入手，通過(guò)觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律2數(shù)列是定

6、義在N*上的函數(shù)，這與數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用的范圍是一致的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納原理實(shí)質(zhì)上是一致的，數(shù)列中有不少問(wèn)題常用數(shù)學(xué)歸納法解決【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】1嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)步驟書(shū)寫(xiě)，特別是對(duì)初始值的驗(yàn)證不可省略，有時(shí)要取兩個(gè)(或兩個(gè)以上)初始值進(jìn)行驗(yàn)證；初始值的驗(yàn)證是歸納假設(shè)的基礎(chǔ)2在進(jìn)行nk1命題證明時(shí)，一定要用nk時(shí)的命題，沒(méi)有用到該命題而推理證明的方法不是數(shù)學(xué)歸納法1數(shù)學(xué)歸納法：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立，然后假設(shè)當(dāng)nk (kN*，kn0)時(shí)命題成立，并證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立，那么就證明了這個(gè)命題成立這是因?yàn)榈谝徊绞紫茸C明了n取第一個(gè)值n0時(shí)，命題成立，這樣假設(shè)就有了存在的基礎(chǔ)，

7、至少kn0時(shí)命題成立，由假設(shè)合理推證出nk1時(shí)命題也成立，這實(shí)質(zhì)上是證明了一種循環(huán)，如驗(yàn)證了n01成立，又證明了nk1也成立，這就一定有n2成立，n2成立，則n3成立，n3成立，則n4也成立，如此反復(fù)以至無(wú)窮，對(duì)所有nn0的整數(shù)就都成立了2(1)第步驗(yàn)證nn0使命題成立時(shí)n0不一定是1，是使命題成立的最小正整數(shù)(2)第步證明nk1時(shí)命題也成立的過(guò)程中一定要用到歸納遞推，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是()A假設(shè)nk(kN*)時(shí)命題成立，證明nk1命題成立B假設(shè)nk(k

8、是正奇數(shù))時(shí)命題成立，證明nk1命題成立C假設(shè)n2k1 (kN*)時(shí)命題成立，證明nk1命題成立D假設(shè)nk(k是正奇數(shù))時(shí)命題成立，證明nk2命題成立2已知f(n)，則()Af(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Bf(n)中共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Cf(n)中共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Df(n)中共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)3如果命題P(n)對(duì)nk成立，則它對(duì)nk1也成立，現(xiàn)已知P(n)對(duì)n4不成立，則下列結(jié)論正確的是()AP(n)對(duì)nN*成立BP(n)對(duì)n4且nN*成立CP(n)對(duì)n4且nN*成立DP(n)對(duì)n4且nN*不成立4(2011日照模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2

9、，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)25(2011湛江月考)已知f(x)是定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)任意的k，若f(k)k2成立，則f(k1)(k1)2成立，下列命題成立的是()A若f(3)9成立，且對(duì)于任意的k1，均有f(k)k2成立B若f(4)16成立，則對(duì)于任意的k4，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，則對(duì)于任意的k7，均有f(k)的過(guò)程中，由nk推導(dǎo)nk1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是_8凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，凸n1邊形有f(n1)條對(duì)角線，則f(n1)f(n)_.三、解答題(共38分)9(12

10、分)用數(shù)學(xué)歸納法證明11n (nN*)10(12分)(2011新鄉(xiāng)月考)數(shù)列an滿足an0，Sn(an)，求S1，S2，猜想Sn，并用數(shù)學(xué)歸納法證明11(14分)(2011鄭州月考)已知函數(shù)f(x)e(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)在(，0)上求函數(shù)f(x)的極值；(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x0時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)n都有f()n！x2n.學(xué)案39數(shù)學(xué)歸納法自主梳理1一般結(jié)論完全不完全2.(1)P1P0(2)PkPk13(1)n0 (n0N*)(2)nk (kn0，kN*)nk1自我檢測(cè)1C當(dāng)n1時(shí)左端有n2項(xiàng)，左端1aa2.2B由n2成立，根據(jù)遞推關(guān)系“P(n)對(duì)于nk

11、時(shí)成立，則它對(duì)nk2也成立”，可以推出n4時(shí)成立，再推出n6時(shí)成立，依次類(lèi)推，P(n)對(duì)所有正偶數(shù)n成立”3D當(dāng)n2時(shí)，中間的式子11.4C當(dāng)n1時(shí)，21121；當(dāng)n2時(shí)，22221；當(dāng)n3時(shí)，23321；當(dāng)n4時(shí)，24521，n05.5A假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除當(dāng)nk1時(shí)，(k1)3(k2)3(k3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，只需將(k3)3展開(kāi)，讓其出現(xiàn)k3即可課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律：等式的兩邊各有多少項(xiàng)，由nk到nk1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)證明設(shè)f(n)1

12、n2(n1)3(n2)(n1)2n1.(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk (k1且kN*)時(shí)等式成立，即1k2(k1)3(k2)(k1)2k1k(k1)(k2)，則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)1(k1)2(k1)13(k1)2(k1)12(k1)1f(k)123k(k1)k(k1)(k2)(k1)(k11)(k1)(k2)(k3)由(1)(2)可知當(dāng)nN*時(shí)等式都成立變式遷移1證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk (k1，kN*)時(shí)，等式成立，即1.則當(dāng)nk1時(shí)，1，即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立，所以由(1)(2)知對(duì)任意的nN*等式都成立例2解題導(dǎo)引用數(shù)學(xué)歸

13、納法證明不等式問(wèn)題時(shí)，從nk到nk1的推證過(guò)程中，證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊1；右邊.左邊右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk (k2，且kN*)時(shí)不等式成立，即.則當(dāng)nk1時(shí)，.當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由(1)(2)知，對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立變式遷移2證明(1)當(dāng)m1時(shí)，原不等式成立；當(dāng)m2時(shí)，左邊12xx2，右邊12x，因?yàn)閤20，所以左邊右邊，原不等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)mk(k2，kN*)時(shí)，不等式成立，即(1x)k1kx，則當(dāng)mk1時(shí)，x1，1x0.于是在不等式(1x)k1kx兩邊同時(shí)乘以1x得，(1x)k(1x)(1kx

14、)(1x)1(k1)xkx21(k1)x.所以(1x)k11(k1)x，即當(dāng)mk1時(shí)，不等式也成立綜合(1)(2)知，對(duì)一切正整數(shù)m，不等式都成立例3解題導(dǎo)引用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題，由k過(guò)渡到k1時(shí)常使用“配湊法”在證明nk1成立時(shí)，先將nk1時(shí)的原式進(jìn)行分拆、重組或者添加項(xiàng)等方式進(jìn)行整理，最終將其變成一個(gè)或多個(gè)部分的和，其中每個(gè)部分都能被約定的數(shù)(或式子)整除，從而由部分的整除性得出整體的整除性，最終證得nk1時(shí)也成立證明(1)當(dāng)n1時(shí)，a2(a1)a2a1能被a2a1整除(2)假設(shè)當(dāng)nk (k1且kN*)時(shí)，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當(dāng)nk1時(shí)，ak2(a1)2k1aak1

15、(a1)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由假設(shè)可知aak1(a1)2k1能被a2a1整除，ak2(a1)2k1也能被a2a1整除，即nk1時(shí)命題也成立綜合(1)(2)知，對(duì)任意的nN*命題都成立變式遷移3證明(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)348964，命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk (k1，kN*)時(shí)，f(k)32k28k9能被64整除則當(dāng)nk1時(shí)，32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)即f(k1)9f(k)64(k1)nk1時(shí)命題也成立綜合(1)(2)可知

16、，對(duì)任意的nN*，命題都成立課后練習(xí)區(qū)1DA、B、C中，k1不一定表示奇數(shù)，只有D中k為奇數(shù)，k2為奇數(shù)2D3D由題意可知，P(n)對(duì)n3不成立(否則P(n)對(duì)n4也成立)同理可推P(n)對(duì)n2，n1也不成立4D當(dāng)nk時(shí)，左端123k2，當(dāng)nk1時(shí)，左端123k2(k21)(k1)2，當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.5Df(4)2542，k4，均有f(k)k2.僅有D選項(xiàng)符合題意62k1解析當(dāng)nk1時(shí)，左邊12k(k1)k21，從nk到nk1時(shí)，應(yīng)添加的代數(shù)式為(k1)k2k1.7.解析不等式的左邊增加的式子是.8n1解析f(4)f(3)2，f(5

17、)f(4)3，f(6)f(5)4，f(n1)f(n)n1.9證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，1，命題成立(2分)當(dāng)n2時(shí)，左邊12；右邊2，21，命題成立(4分)(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)命題成立，即1112k1.(8分)又10，Sn0，由S1(a1)，變形整理得S1，取正根得S11.由S2(a2)及a2S2S1S21得S2(S21)，變形整理得S2，取正根得S2.同理可求得S3.由此猜想Sn.(4分)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，上面已求出S11，結(jié)論成立(6分)(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，結(jié)論成立，即Sk.那么，當(dāng)nk1時(shí)，Sk1(ak1)(Sk1Sk)(Sk1)整理得Sk1，取正根得Sk1.故當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立(11分)由(1)、(2)可知，對(duì)一切nN*，Sn都成立(12分)11(1)解函數(shù)f(