1、方程求根的數(shù)值方法,有少數(shù)方程f(x)=0可以用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式推演而得到準(zhǔn)確根，求根很容易，如：方程x2+x-2=0有兩個(gè)根，是1、-2；方程lnx=0有一個(gè)根，是1。但這樣的方法只能解極少數(shù)簡(jiǎn)單方程；對(duì)于大量的由實(shí)際問(wèn)題而產(chǎn)生的方程，例如下面的方程就求不出準(zhǔn)確根（即：一點(diǎn)誤差都沒有的根），只能用數(shù)值解法求近似根.,定理：f(x)連續(xù)，f(a)與f(b)異號(hào)，ab，則方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)根，稱(a,b)是該方程的一個(gè)有根區(qū)間。,若已知(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)根，則稱(a,b)是一個(gè)單根區(qū)間。,確定了單根區(qū)間(a,b)后，就可用數(shù)值求根的方法進(jìn)行求近似解。常用的方法有,

2、逐步搜索法、 圖形放大法、 數(shù)值迭代逼近法,2）圖形放大法,y=f(x)圖象與x軸交點(diǎn)（的橫坐標(biāo)）即為f(x)=0根。借助計(jì)算機(jī)，逐步畫圖，就可得近似根。,1）逐步搜索法,適當(dāng)取一個(gè)小正數(shù)h，逐步計(jì)算f(a)、f(a+h)、f(a+2h)、f(a+3h)、 的值，直到相鄰兩個(gè)值異號(hào)，則取這兩點(diǎn)的中點(diǎn)為近似根。,3）數(shù)值迭代逼近法,（1）區(qū)間迭代法（縮小有根區(qū)間） 對(duì)分法 就是將已知有根區(qū)間a,b一分為二，比較三個(gè)數(shù),的正負(fù)，根據(jù)“介值定理”確定哪一半有根；重復(fù)多次。,黃金分割法與對(duì)分法本質(zhì)上一致，只不過(guò)每次壓縮區(qū)間的比例不是一半，而是壓縮比例為0.618（黃金分割比例）,區(qū)間迭代法 1）對(duì)分法

3、 2）黃金分割法 點(diǎn)迭代法 1）簡(jiǎn)單迭代法 2）牛頓切線法 3）單點(diǎn)割線法 4）兩點(diǎn)割線法,例1：用對(duì)分法求x4+x-3=0在(1,2)內(nèi)的一個(gè)根，誤差0.05。,解：設(shè)f(x)=x4+x-3。則,有根區(qū)間是(1,2),有根區(qū)間(1,1.5),有根區(qū)間(1,1.25),有根區(qū)間(1.125,1.25),有根區(qū)間(1.125,1.1875),（2）點(diǎn)迭代法,若數(shù)列xk 收斂，則極限值就是準(zhǔn)確根。滿足x=(x)的點(diǎn)稱為方程的不動(dòng)點(diǎn)，此法又稱為方程求解的不動(dòng)點(diǎn)法。,注意到迭代函數(shù)形式不唯一，其迭代差異可能很大。迭代法需要討論的基本問(wèn)題有：迭代法函數(shù)構(gòu)造、迭代序列的收斂性，收斂速度以及誤差估計(jì)。,一般

4、迭代法：將f(x)=0適當(dāng)變形為x=(x),在根的鄰近找一個(gè)點(diǎn)x0作為初始點(diǎn)，作迭代,定理（壓縮映像原理）,設(shè)迭代函數(shù) x(x) 在閉區(qū)間a,b上滿足： （1） 對(duì)任意xa,b，(x) a,b； （2） 滿足Lipschitz條件,則 x(x) 在閉區(qū)間a,b上 存在唯一解x*，使得對(duì)任意xa,b，由xk+1= (xk) 產(chǎn)生的序列xk收斂于x*。,y=x,迭代法的幾何意義,交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為f(x)=0的根。,y=(x),簡(jiǎn)單迭代收斂情況的幾何解釋,解：由 建立迭代關(guān)系：,例2：試用迭代法求方程 f(x)=x3-x-1=0在區(qū)間(1，2)內(nèi)的實(shí)根。,k=0,1,2,3.,但如果由x=x3-1建

5、立迭代公式 xk+1=xk3-1，k=0,1 仍取x0=1.5，則有 x1=2.375，x2=12.39，顯然結(jié)果越來(lái)越大，xk 是發(fā)散序列。,作業(yè)： 證明函數(shù) 在區(qū)間1，2上滿足 迭代收斂條件。,牛頓迭代法：方程f(x)=0，求導(dǎo)f(x)，在根的鄰近找一個(gè)點(diǎn)x0 作為初始點(diǎn)，作迭代,以此產(chǎn)生的序列Xn得到f(x)=0的近似解，稱為Newton法，又叫切線法。,當(dāng)初值x0和方程的根x*接近時(shí)，f(x)近似等于 f(x0)+f(x0)(x-x0)， 則 f(x)=0 與 f(x0)+f(x0)(x-x0)0 看作近似同解方程。取 x=x-f(x)/f(x) 作為迭代函數(shù)。,Newton迭代法幾何解釋,Newton迭代法算法框圖,Newton迭代法算法,例1：用牛頓法求x4+x-3=0在(1,2)內(nèi)的一個(gè)根，初值為1.5。,得到方程的一個(gè)近似根1.1640，誤差小于0.0001.,解：,弦截法,Newton迭代法有一個(gè)較強(qiáng)的要求是存在導(dǎo)函數(shù)且不等于零。因此，用弦的斜率近似的替代f(x) 。,令y=0，解得弦與x軸的交點(diǎn)是坐標(biāo)x2。,定端點(diǎn)弦截法又稱單點(diǎn)割線法。,變端點(diǎn)弦截法又稱兩點(diǎn)割線法,弦截法的幾何解釋,求解方程f(x)=0的快速弦截法,