1、第五章 微擾理論,5.6 與時(shí)間有關(guān)的微擾理論,(一) 引言,前面我們用定態(tài)微擾理論討論了分立能級(jí)的能量和波函數(shù)的修正，所討論的體系 Hamilton 算符不顯含時(shí)間，因而求解的是定態(tài) Schrodinger 方程。,下面討論的體系其 Hamilton 算符含有與時(shí)間有關(guān)的微擾，即：,因?yàn)?Hamilton 量與時(shí)間有關(guān)，所以體系波函數(shù)須由含時(shí) Schrodinger 方程解出。但是精確求解這種問(wèn)題通常是很困難的，而定態(tài)微擾法在此又不適用，這就需要發(fā)展與時(shí)間有關(guān)的微擾理論。,含時(shí)微擾理論可以通過(guò) H0 的定態(tài)波函數(shù)近似地求出微擾存在情況下的波函數(shù)，從而可以計(jì)算無(wú)微擾體系在加入含時(shí)微擾后，體系由

2、一個(gè)量子態(tài)到另一個(gè)量子態(tài)的躍遷幾率。,假定 H0 的本征 函數(shù) n 滿足：,H0 的定態(tài)波函數(shù)可以寫為：n =n exp-int / 滿足左邊含時(shí) S - 方程：,定態(tài)波函數(shù) n 構(gòu)成正交完備系，整個(gè)體系的波函數(shù) 可按 n 展開(kāi)：,因 H(t)不含對(duì)時(shí)間 t 的偏導(dǎo)數(shù)算符,故可 與 an(t) 對(duì)易。,（二）含時(shí)微擾理論,以m* 左乘上式后 對(duì)全空間積分,該式是通過(guò)展開(kāi)式 改寫而成的 Schrodinger方程的另一種形式。仍是嚴(yán)格的。,求解方法同定態(tài)微擾中使用的方法：,（1）引進(jìn)一個(gè)參量，用 H 代替 H（在最后結(jié)果中再令 = 1）；,（2）將 an(t) 展開(kāi)成下列冪級(jí)數(shù)；,（3）代入上式

3、并按冪次分類；,(4)解這組方程，我們可得到關(guān)于an 的各級(jí)近似解，進(jìn)而得到波函數(shù) 的近似解.實(shí)際上，大多數(shù)情況下，只求一級(jí)近似就足夠了. （最后令 = 1，即用 Hmn代替 Hmn，用a m (1)代替 a m (1)。）,零級(jí)近似波函數(shù) am(0)不隨時(shí) 間變化，它由未微擾時(shí)體系 所處的初始狀態(tài)所決定。,假定t 0 時(shí)，體系處于 H0 的第 k 個(gè)本征態(tài) k。而且由于 exp-in t/|t=0 = 1，于是有：,以m* 左乘上式后 對(duì)全空間積分,因 an(0)不隨時(shí)間變化，所以an(0)(t) = an(0)(0) = nk。,t 0 后加入微擾，則第一級(jí)近似：,an(0)(t) = n

4、 k,體系的某一狀態(tài),t 時(shí)刻發(fā)現(xiàn)體系處于 m 態(tài)的幾率等于 | a m (t) | 2,am(0) (t) = mk,末態(tài)不等于初態(tài)時(shí) mk = 0，則,所以體系在微擾作用下由初態(tài) k 躍遷到末態(tài)m 的幾率在一級(jí)近似下為：,（一）躍遷幾率,5.7 躍遷幾率,下面討論兩種情況,（1）含時(shí) Hamilton 量,設(shè) H 在 0 t t1 這段時(shí)間之內(nèi)不為零，但與時(shí)間無(wú)關(guān)，即：,（2）一級(jí)微擾近似 am(1),Hmk 與 t 無(wú)關(guān) (0 t t1),（二）一階常微擾,（3）躍遷幾率和躍遷速率,極限公式：,則當(dāng)t 時(shí) 上式右第二個(gè)分式有如下極限值：,于是：,躍遷速率：,（4）討論,1.上式表明，對(duì)于

5、常微擾，在作用時(shí)間相當(dāng)長(zhǎng)的情況下，躍遷速率將與時(shí)間無(wú)關(guān)，且僅在能量m k ，即在初態(tài)能量的小范圍內(nèi)才有較顯著的躍遷幾率。 在常微擾下，體系將躍遷到與初態(tài)能量相同的末態(tài)，也就是說(shuō)末態(tài)是與初態(tài)不同的狀態(tài)，但能量是相同的。,2. 黃金定則 設(shè)體系在m附近dm范圍內(nèi)的能態(tài)數(shù)目是(m) dm，則躍遷到m附近一系列可能末態(tài)的躍遷速率為：,（1）Hamilton 量,t=0 時(shí)加入一個(gè)簡(jiǎn)諧 振動(dòng)的微小擾動(dòng)：,為便于討論，將上式改寫成如下形式,F 是與 t無(wú)關(guān) 只與 r 有關(guān)的算符,（2）求 am(1)(t),H(t)在 H0 的第 k 個(gè)和第 m 個(gè)本征態(tài) k 和 m 之間的微擾矩陣元是：,（三）簡(jiǎn)諧微擾,

6、（2）幾點(diǎn)分析,(I)當(dāng) = mk 時(shí)，微擾頻率 與 Bohr 頻率相等時(shí)，上式第二項(xiàng) 分子分母皆為零。求其極限得：,第二項(xiàng)起 主要作用,(II) 當(dāng) = mk 時(shí)，同理有：,第一項(xiàng)起 主要作用,(III) 當(dāng) mk 時(shí)，兩項(xiàng)都不隨時(shí)間增大,總之，僅當(dāng) =mk = (m k)/ 或m =k 時(shí)，出現(xiàn)明顯躍遷。這就是說(shuō)，僅當(dāng)外界微擾含有頻率mk時(shí)，體系才能從k態(tài)躍遷到m態(tài)，這時(shí)體系吸收或發(fā)射的能量是 mk 。這說(shuō)明我們討論的躍遷是一種共振現(xiàn)象。 因此我們只需討論 mk 的情況即可。,（3）躍遷幾率,當(dāng) =m k 時(shí)，略去第一項(xiàng)，則,此式與常微擾情況的表達(dá)式類似，只需作代換：H mk Fmk ,

7、mk mk-，常微擾的結(jié)果就可直接引用，于是得簡(jiǎn)諧微擾情況下的躍遷幾率為：,同理， 對(duì)于 = -m k 有：,二式合記之：,（4）躍遷速率,或：,（5）討論,1. (m-k ) 描寫了能量守恒：m-k = 0。,2. k m 時(shí)，躍遷速率可寫為：,也就是說(shuō)，僅當(dāng) m=k - 時(shí)躍遷幾率才不為零，此時(shí)發(fā)射能量為 的光子。,3. 當(dāng)k m時(shí)，,4. 將式中角標(biāo) m, k 對(duì)調(diào)并注意到 F 的厄密性，即得體系由 m 態(tài)到 k 態(tài)的躍遷幾率：,即 體系由 m k 的躍遷幾率等于 由 k m 的躍遷幾率。,例1. 設(shè) t = 0 時(shí)，電荷為 e 的線性諧振子處于基態(tài)。在 t 0 時(shí)，附加一與振子振動(dòng)方向

8、相同的恒定外電場(chǎng) ，求諧振子處在任意態(tài)的幾率。,解：,t=0 時(shí)， 振子處 于基態(tài)， 即 k=0。,式中 m,1 符號(hào)表明，只有 當(dāng) m=1 時(shí)，am(1)(t) 0，,（四）實(shí)例,所以,結(jié)論：外加電場(chǎng)后，諧振子從基態(tài)0躍遷到1態(tài)的幾率是 W01，而從基態(tài)躍遷到其他態(tài)的幾率為零。,證：,因?yàn)?m=1, k=0，所以：,當(dāng) t (t ) 時(shí)：,現(xiàn)在討論初態(tài) k 是分立的，末態(tài) m 是連續(xù)的情況 (m k)。,在t t1時(shí)刻， k m 的 躍遷幾率則為：,（1）由圖可見(jiàn)，躍遷幾率的貢獻(xiàn)主要來(lái)自主峰范圍內(nèi)，即在 -2/t1 mk 2/t1區(qū)間躍遷幾率明顯不為零，而此區(qū)間外幾率很小。,（五）能量和時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系,（2）能量守恒不嚴(yán)格成立，即在躍遷過(guò)程中，m = k + 或mk = 不嚴(yán)格成立，它們只是在上圖原點(diǎn)處嚴(yán)格成立。因?yàn)樵趨^(qū)間-2/t1 , 2/t1，躍遷幾率都不為零， 所以 既可能有 mk = ， 也可能有 -2/t1 mk +2/t1。 上面不等式兩邊相減得： mk (1/t1),也就是說(shuō) mk 有一個(gè)不確定范圍。由于k能級(jí)是分立的，k 是確定的，注意到 mk = (m-k) / ，所以 mk 的不確定來(lái)自于末態(tài)能量m 的不確定，即：,若微擾過(guò)程看成是測(cè)量末態(tài)能量m的過(guò)程，t1