1、第四章 根軌跡,本章教學(xué)目標(biāo)與要求 掌握根軌跡的概念、根軌跡相角條件與模值條件，熟悉根軌跡繪制法則，了解主導(dǎo)極點(diǎn)的概念。 熟練繪制以開環(huán)增益為變量的根軌跡（正反饋和負(fù)反饋），了解參數(shù)根軌跡的含義。 了解控制系統(tǒng)性能與系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)在與s平面分布的密切關(guān)系。初步掌握根軌跡分析法在控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。 了解利用根軌跡估算階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)。,引言 設(shè)計(jì)磁盤驅(qū)動(dòng)器系統(tǒng)可以練習(xí)如何進(jìn)行折衷和優(yōu)化。磁盤驅(qū)動(dòng)器必須保證磁頭的精確位置，并減小參數(shù)變化和外部振動(dòng)對(duì)磁頭定位造成的影響。機(jī)械臂和支撐簧片將在外部振動(dòng)的頻率點(diǎn)上產(chǎn)生共振。對(duì)驅(qū)動(dòng)器產(chǎn)生的干擾包括物理振動(dòng)，磁盤轉(zhuǎn)軸的磨損和擺動(dòng)，以及元

2、器件老化引起的參數(shù)變化等。,4.1 根軌跡的基本概念,1948年，W.R.Evans根據(jù)反饋控制系統(tǒng)開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提出一種由系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)的分布確定閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的圖解方法根軌跡法。這是一種由分析開環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)在復(fù)平面上的分布出發(fā)，用圖解表示特征方程的根與開環(huán)系統(tǒng)某個(gè)或某幾個(gè)參數(shù)之間全部系統(tǒng)的方法。它不僅適用于單回路系統(tǒng)，而且也可用于多回路系統(tǒng)。他已成為經(jīng)典控制理論的基本方法之一，在工程上得到廣泛的應(yīng)用。,4.1.1 根軌跡的概念 根軌跡指的是系統(tǒng)某個(gè)參數(shù)（如根軌跡增益 或開環(huán)零、極點(diǎn)）變化時(shí)，閉環(huán)特征根在s平面上移動(dòng)的軌跡。 下面結(jié)合圖4.1所示系統(tǒng)，說(shuō)明根軌跡的基

3、本概念。,圖4.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為,閉環(huán)特征方程為,閉環(huán)特征根為,（4-1）,（4-2）,（4-3）,上式表明，特征方程的根隨著變量K的變化而變化，如果令K從零變化到無(wú)窮，可以用解析的方法求出閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的全部數(shù)值，將這些數(shù)值在s平面上標(biāo)出，并用光滑的線連接，如圖4.2所示，圖中的粗實(shí)線為根軌跡，箭頭表示隨著K值的增加，根軌跡的變化趨勢(shì)，而標(biāo)注的數(shù)值為代表與閉環(huán)極點(diǎn)位置相應(yīng)的K值。,對(duì)圖4.1所示的例子，在推導(dǎo)特征根和可調(diào)參數(shù)之間的關(guān)系時(shí)，根軌跡可用解析法繪制。但對(duì)于高階系統(tǒng)，很難寫出特征根與參數(shù)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。控制系統(tǒng)分析法的關(guān)鍵就是要有一種簡(jiǎn)單、實(shí)

4、用的根軌跡繪制方法，以便在特征方程根的解析表達(dá)式不易寫出時(shí)，利用根軌跡圖分析控制系統(tǒng)的性能。,4.1.2 根軌跡的條件,閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)如圖4.3所示,圖4.3 閉環(huán)控制系統(tǒng),閉環(huán)傳遞函數(shù)為,（4-4）,特征方程為,或,滿足上式的s點(diǎn)均為閉環(huán)系統(tǒng)的特征根（閉環(huán)極點(diǎn)），反過(guò)來(lái)，根軌跡上的所有點(diǎn)均必須滿足式上式。上述式子稱為根軌跡的基本方程。 上式中G(s)H(s)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，一般情況下開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點(diǎn)形式為,（4-6）,（4-5）,（4-7）,閉環(huán)特征方程為,上式中， ， 分別為控制系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)，他們可以是復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的任何數(shù)。開環(huán)傳遞函數(shù)分子有理式的階數(shù)是m，分母有理式

5、的階數(shù)是n。當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成上述形式時(shí)， 稱為根軌跡增益，為參變量，其值從零變化到無(wú)窮大。,（4-8）,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)還可以寫成下述時(shí)間常數(shù)的形式,上式K中稱為系統(tǒng)的開環(huán)增益。注意K和K*的區(qū)別 。 繪制根軌跡的基本方法就是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)，極點(diǎn)以及根軌跡增益來(lái)獲得系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的軌跡。因此，通常用（4-8）所示的具有開環(huán)零、極點(diǎn)形式的開環(huán)傳遞函數(shù)來(lái)繪制根軌跡。式（4-8）稱為系統(tǒng)的根軌跡方程。,（4-9）,因?yàn)镚(s)H(s)為復(fù)變量s的函數(shù)，式（4-8）可表示成模值方程和相角方程,式中,（4-11）,（4-12）,復(fù)平面上的s點(diǎn)如果是閉環(huán)極點(diǎn)，那么它與開環(huán)零、極點(diǎn)所組成的向量必

6、須滿足上式的模值條件和相角條件。 從上式可以看出，根軌跡的模值增益條件與根軌跡增益K*有關(guān)，而相角條件與K*無(wú)關(guān)。我們說(shuō)，相角條件是確定s平面上根軌跡的充分必要條件，這就是說(shuō)，繪制根軌跡時(shí)，可用相角條件確定軌跡上的點(diǎn)，用模值條件確定根軌跡上該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的K*值。,4.2繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則,4.1節(jié)介紹了根軌跡的基本概念，根軌跡的條件和用解析法和試探法繪制根軌跡的方法。利用解析法和試探法繪制根軌跡對(duì)于低階系統(tǒng)是可行的，但對(duì)于高階系統(tǒng)，繪制過(guò)程是很繁瑣的，不便于實(shí)際應(yīng)用。 本節(jié)先討論以根軌跡增益K*作為參變量時(shí)的180和0等相角根軌跡的繪制規(guī)則，然后介紹系統(tǒng)其他參數(shù)作為參變量時(shí)的根軌跡繪制方法。

7、,4.2.1 等相角根軌跡的繪制規(guī)則,負(fù)反饋控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖如圖4.3所示。其開環(huán)傳遞函數(shù)和根軌跡方程式分別如式（4-7）和式（4-8）所示。當(dāng)根軌跡增益K*大于零時(shí)，根軌跡的幅值條件和相角條件分別如式（4-11）和式（4-12）所示。這種情況下繪制的根軌跡稱為180等相角根軌跡，下面討論繪制180等相角根軌跡的基本規(guī)則。,規(guī)則1 在平面上將系統(tǒng)所有的開環(huán)零點(diǎn)以“O”表示，開環(huán)極點(diǎn)以“”表示。 規(guī)則2 根軌跡的分支數(shù)，起點(diǎn)和終點(diǎn)。根軌跡的分支數(shù)（閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)）與開環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)m和有限極點(diǎn)數(shù)n中的大者相等，它們是連續(xù)的并且對(duì)稱于實(shí)軸。根軌跡的分支起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。 分支當(dāng)K*從零

8、到無(wú)窮大變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上所形成的軌跡； 起點(diǎn)對(duì)應(yīng)于根軌跡上K*=0的點(diǎn)； 終點(diǎn)對(duì)應(yīng)于根軌跡上K*=的點(diǎn)。,規(guī)則3 實(shí)軸上的根軌跡。若實(shí)軸上某一線段右邊的所有開環(huán)零極點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則這一線段就是根軌跡。 規(guī)則4 根軌跡的漸近線。當(dāng)開環(huán)有限極點(diǎn)數(shù)n大于有限零點(diǎn)數(shù)m時(shí)，有n-m條根軌跡分支趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處并且無(wú)限接近于某一直線（漸近線）。 該漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為,夾角為：,【例4.1】 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,解 1.系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=0，p3=-2，p4=-4，開環(huán)零點(diǎn)為在z1=-1。將上述的開環(huán)零、極點(diǎn)分別用“”“O”在s平面的直角坐標(biāo)系中進(jìn)行標(biāo)注。 2. 根軌跡的分支數(shù)有4條。

9、對(duì)稱于實(shí)軸，起始點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)，終止點(diǎn)為開環(huán)零點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)處。 3. 實(shí)軸上的根軌跡段為-2,-1，-4,-。 4. 漸近線有n-m=3條，交角為,試根據(jù)已知的四個(gè)基本規(guī)則，確定繪制根軌跡的有關(guān)數(shù)據(jù)。,交點(diǎn)為,圖4.6 例4.1漸近線圖,規(guī)則5 根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)。兩條或兩條以上根軌跡分支在復(fù)平面上某一點(diǎn)相遇后又分開，則該點(diǎn)稱為根軌跡的分離點(diǎn)或匯合點(diǎn)。通常當(dāng)根軌跡分支在實(shí)軸上相交后進(jìn)入復(fù)平面時(shí)，習(xí)慣上稱為該相交點(diǎn)為根軌跡的分離點(diǎn)，反之，當(dāng)根軌跡分支由復(fù)平面進(jìn)入實(shí)軸時(shí)，它們?cè)趯?shí)軸上的交點(diǎn)稱為匯合點(diǎn)。,分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)的坐標(biāo)是下式（4-21）或式（4-22）的解,式中,或,其中zj為各開環(huán)零

10、點(diǎn)的數(shù)值；pi為各開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值 。,（4-21）,（4-22）,【例4.2】 已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,計(jì)算根軌跡的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)，以及分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)處的根軌跡增益。,解 首先將系統(tǒng)寫成開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)的形式,式中,是根軌跡增益。,令A(yù)(s)=s+4,B(s)=(s+1)(s+2)=s2+3s+2,則A(s)=1,B(s)=2s+3。代入A(s)B(s)-A(s)B(s)=0中，得s2+8s+10=0 解出上式的根為s1-1.55,s2-6.45。 根據(jù)規(guī)則2，根軌跡在實(shí)軸上的分布為-,-4和-2,-1，從而可知s1是實(shí)軸上的分離點(diǎn)，s2是實(shí)軸上的匯合點(diǎn)。 分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)處的

11、根軌跡增益分別為：,規(guī)則6 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。若根軌跡與虛軸相交。則交點(diǎn)上的K*值和值可用兩種方法求得。 （1）勞斯判據(jù)； （2）令閉環(huán)系統(tǒng)特征方程中的s=j ，并令虛部和實(shí)部分別為零而求得。,【例4.3】設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。 解：（1）系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為0，-1，-2是根軌跡各分支的起點(diǎn)。由于系統(tǒng)沒有有限開環(huán)零點(diǎn)，三條根軌跡分支均趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處。 （2）系統(tǒng)的根軌跡有n-m=3條漸進(jìn)線，漸進(jìn)線的傾斜角為,取式中的k=0，1，2，得a=/3，5/3。,漸進(jìn)線與實(shí)軸的交點(diǎn)為,三條漸近線如圖4-13中的虛線所示。 （3）實(shí)軸上的根軌跡位于原點(diǎn)與1點(diǎn)之間以及2點(diǎn)的左邊，如圖4

12、-13中的粗實(shí)線所示。 （4）確定分離點(diǎn)。由式（4-21）得,解得,由于在1到2之間的實(shí)軸上沒有根軌跡，故s2=1.577顯然不是所要求的分離點(diǎn)。因此，兩個(gè)極點(diǎn)之間的分離點(diǎn)應(yīng)為s1=0.423。 （5）確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 方法一 利用勞斯判據(jù)確定 閉環(huán)特征方程為,勞斯列表為 s3 1 2 s2 3 K* s1 s0 K* 由勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K*的臨界值為6。相應(yīng)于K*=6的頻率可由輔助方程,確定。,解之得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為 。根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的頻率為,方法二 令s=j代入閉環(huán)特征方程式，可得,即,令上述方程中的實(shí)部和虛部分別等于零，即,，,有以上規(guī)則即可概略繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。

13、用MATLAB程序繪制出的根軌跡圖如圖4.7所示。 MATLAB程序?yàn)椋簓=zpk(,0 -1 -2,1)；rlocus(y),所以,圖4.7 例4.3的根軌跡圖,規(guī)則7 根軌跡的出射角和入射角。開環(huán)復(fù)極點(diǎn)處，根軌跡的切線與正實(shí)軸的夾角為出射角，以 標(biāo)志；開環(huán)復(fù)零點(diǎn)處，根軌跡的切線與正實(shí)軸的夾角為入射角，以 標(biāo)志。 這些角度可按如下關(guān)系式求出,（4-28）,試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)的出射角和進(jìn)入復(fù)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)的入射角。 解 由給出的傳遞函數(shù)知，系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為： p1=0,p2=-2.5,p3=-0.5+1.5j,p4=-0.5-1.5j；開環(huán)零點(diǎn)為z1=-1.5,z2=-2-j,z3=-2

14、+j。 先求出射角，作各開環(huán)零、極點(diǎn)到復(fù)數(shù)極點(diǎn)-0.5+1.5j的向量，并測(cè)出相應(yīng)角度，如圖4.8（a）所示。按式（4-26）算出根軌跡在極點(diǎn)-0.5+1.5j處的出射角為,【例4.4】 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,根據(jù)對(duì)稱性，根軌跡在極點(diǎn)-0.5-1.5j處的出射角為 -79。 用類似的方法可算出根軌跡在復(fù)數(shù)零點(diǎn)-2+j處的終止角為149.5 。各開環(huán)零、極點(diǎn)到-2+j的向量相角如圖4.8（b）所示。,圖4.8 例4.4根軌跡的入射角（a）和出射角（b）,規(guī)則8 閉環(huán)極點(diǎn)之和。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程在nm的一般情況下，可以有不同形式的表示,式中，si為閉環(huán)特征根。 當(dāng)n-m2時(shí)，特征方程第二項(xiàng)系數(shù)與

15、K*無(wú)關(guān)，無(wú)論K*取何值，開環(huán)n個(gè)極點(diǎn)之和總是等于閉環(huán)特征方程n個(gè)根之和。在開環(huán)極點(diǎn)確定的情況下，這是一個(gè)不變的常數(shù)。所以開環(huán)增益K增大時(shí)，若閉環(huán)某些根在s平面上向左移動(dòng)，則另一部分必向右移動(dòng)。,(1)試確定該系統(tǒng)根軌跡的分支數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)，并標(biāo)示系統(tǒng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)。 (2)實(shí)軸上的根軌跡。 (3)根軌跡的漸近線。 (4)規(guī)制系統(tǒng)的根軌跡。 解：（1）系統(tǒng)中分子的階次m=1，分母的階次n=3，根軌跡分支數(shù)為3；,【例4.5】 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,（2）確定實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上區(qū)域-1，0和-4，-2為根軌跡 （3）由規(guī)則4確定根軌跡的漸近線： 漸近線與實(shí)軸的夾角,根據(jù)規(guī)則2，根軌跡的起點(diǎn)為開

16、環(huán)極點(diǎn)，p1=0,p2=-1,p3=-4終點(diǎn)為開環(huán)零點(diǎn)z1=-2（有限零點(diǎn)）和無(wú)窮零點(diǎn)z2=,z3=。,漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn),（4）由以上規(guī)則可以繪制出系統(tǒng)的概略根軌跡圖。 如圖4.9是用MATLAB程序繪制的根軌跡。 MATLAB程序?yàn)椋簓=zpk(-2,0 -1 -4,1)；rlocus(y),圖4.9 例4.5題的根軌跡圖,綜上所述，在給定系統(tǒng)開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的情況下，利用本節(jié)介紹的繪制根軌跡的基本規(guī)則，可以較迅速地繪制出根軌跡的大致形狀和變化趨勢(shì)。如果對(duì)某些重要部分的根軌跡感興趣，比如靠近虛軸和原點(diǎn)附近的根軌跡，可根據(jù)相角條件精確繪制。需要說(shuō)明的是，根據(jù)系統(tǒng)的不同，繪制系統(tǒng)的根軌跡不一定要

17、用到全部繪制規(guī)則，有時(shí)只用部分規(guī)則就可以繪制出完整的根軌跡。,4.2.2 0根軌跡的繪制規(guī)則,自動(dòng)控制系統(tǒng)主反饋都是負(fù)反饋，但在復(fù)雜系統(tǒng)中可能存在著局部的正反饋回路。一方面組成系統(tǒng)的某些部分本身可能具有正反饋結(jié)構(gòu)；另一方面在特定的情況下，正反饋可以被用來(lái)改善系統(tǒng)的性能。眾所周知正反饋回路本身一般不穩(wěn)定，局部閉環(huán)有位于右半s平面的極點(diǎn)，這時(shí)繪制的根軌跡稱為0根軌跡。還有一種情況就是控制系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，而且非最小相位系統(tǒng)中包含s最高次冪的系數(shù)為負(fù)的因子，根軌跡也是0根軌跡。 0根軌跡的繪制方法，與180根軌跡的繪制方法略有不同。以正反饋系統(tǒng)為例，如圖4.11所示，其中內(nèi)回路采用正反饋，這種系

18、統(tǒng)通常由外回路加以穩(wěn)定.,圖4.11 具有正反饋內(nèi)環(huán)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,正反饋回路的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,于是，得到正反饋系統(tǒng)的根軌跡方程,一般情況下正反饋內(nèi)環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點(diǎn)形式,上式可以等效為下列兩個(gè)方程,前者稱為0根軌跡的相角條件，后者叫做0根軌跡的模值條件。,與180根軌跡的幅值條件和相角條件相比較，兩者的幅值條件相同，而相角條件不同。因此，180常規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則，原,則上可以應(yīng)用于零度根軌跡的繪制，但在與相角條件相關(guān)的一些規(guī)則中，需作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。需要調(diào)整的根軌跡的規(guī)則如下： 規(guī)則3中根軌跡在實(shí)軸上的分布應(yīng)改為：若實(shí)軸上某一線段右邊的所有開環(huán)零極點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則這一線段就是根

19、軌跡 。 規(guī)則4中漸近線的交角應(yīng)改為,（4-29）,規(guī)則7中根軌跡的出射角和入射角應(yīng)改為：,除上述三個(gè)規(guī)則外，其他規(guī)則不變。,（4-30）,（4-31）,【例 4.6】非最小相位系統(tǒng)如圖4.12所示，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。,圖4.12 例4-7的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,其中：,根據(jù)零度根軌跡的繪制規(guī)則繪制根軌跡 規(guī)則1 在圖4.13中分別用“”和“O”分別標(biāo)識(shí)開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)。,圖4.13 例4-7系統(tǒng)的根軌跡圖,規(guī)則2 根軌跡的分支數(shù)為2；起始點(diǎn)為p1=0，p2=-1；終止點(diǎn)為z1=0.5和無(wú)限零點(diǎn)。,規(guī)則3 確定實(shí)軸上的根軌跡為-1,0和(0.5,+) 規(guī)則4 根軌跡的漸近

20、線為n-m=1條，其交角為,說(shuō)明漸近線與實(shí)軸重合。 規(guī)則5 為求根軌跡的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)，令A(yù)(s)=s-0.5，B(s)=s(s+1)，代入A(s)B(s)-A(s)B(s)=0中，整理后解出上式的根為s1=-0.365,K1*=0.268 為分離點(diǎn);s2=1.365，K2*=3.73 為匯合點(diǎn),將s=j代入上式閉環(huán)特征方程并整理得,規(guī)則6 確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。,閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：,令實(shí)部，虛部分別為零，得：,根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為,對(duì)應(yīng)的臨界根軌跡增益為,系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍為,或,4.2.3 參量根軌跡,上面兩節(jié)介紹的根軌跡的基本繪制規(guī)則，是以根軌跡增益K*作為參變量而得出的，這種在實(shí)際中最

21、常見，但有時(shí)需要研究根軌跡增益K*以外的其他參數(shù)，如開環(huán)零、極點(diǎn)，時(shí)間常數(shù)和反饋系數(shù)等對(duì)系統(tǒng)性能的影響。這種根軌跡稱為參變量根軌跡，又稱為廣義根軌跡。,如果選擇其他參數(shù)，如某一參數(shù)A為可變量時(shí)，用特征方程中不含A的項(xiàng)除以特征方程得到如下形式,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,等效開環(huán)傳遞函數(shù)中A的位置與原開環(huán)傳遞函數(shù)中K*的位置相當(dāng)，這樣就可按前述繪制以K*為參變量的方法來(lái)繪制以A為參變量的根軌跡。,則,為等效開環(huán)傳遞函數(shù)，即,試?yán)L制K=6，T從零到無(wú)窮大變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。 解 系統(tǒng)特征方程為,【例4.7】 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),除以特征方程，得：,其中，K=6T,由于K所處的位置

22、與G(s)H(s)中K*所處的位置相當(dāng)，可以按以K*為參變量繪制根軌跡的方法來(lái)繪制以K=6T為參變量的根軌跡。,等效開環(huán)傳遞函數(shù)為,當(dāng)K=6時(shí),根據(jù)前面介紹的繪制規(guī)則可得系統(tǒng)的根軌跡如圖4.14所示。,圖4.14 例4.7 系統(tǒng)的根軌跡,4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能,應(yīng)用根軌跡法，可以迅速確定系統(tǒng)在根軌跡增益或某一其它參數(shù)變化時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)的位置，從而得到相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。同時(shí)可以較為簡(jiǎn)便地計(jì)算（或估算）出系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)，包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能即穩(wěn)態(tài)誤差，與系統(tǒng)的型別和開環(huán)增益有關(guān)，它們均可從根軌跡中得到。從而求出系統(tǒng)對(duì)給定輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。 關(guān)于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性

23、能，通過(guò)下面幾小節(jié)討論。,4.3.1 增加開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響,由于根軌跡是由系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)確定的，因此在系統(tǒng)中增加開環(huán)零、極點(diǎn)或改變開環(huán)零、極點(diǎn)在平面上的位置，都可以改變根軌跡的形狀，從而校正系統(tǒng)性能。 實(shí)際上，增加開環(huán)零點(diǎn)就是在系統(tǒng)中加入超前環(huán)節(jié)，產(chǎn)生微分作用，改變開環(huán)零點(diǎn)在平面上的位置就是改變微分強(qiáng)度。同理，增加開環(huán)極點(diǎn)就是在系統(tǒng)中加入滯后環(huán)節(jié)，它產(chǎn)生積分作用，改變開環(huán)極點(diǎn)在平面上的位置，就可以改變積分強(qiáng)弱。,如果在系統(tǒng)中分別加入一對(duì)復(fù)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)-24j或一個(gè)實(shí)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)-4，則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分別成為,1.增加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響,設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為,其根軌跡如圖4.15（a

24、）所示,和,對(duì)應(yīng)的根軌跡分別如圖4.15（b）和圖4.15（c）所示的根軌跡，可以看出。加入開環(huán)零點(diǎn)后可以減少漸近線的條數(shù)，改變漸近線的傾角；隨著K*的增加，根軌跡的兩個(gè)分支向s左半平面彎曲或移動(dòng)，這相當(dāng)于增大了系統(tǒng)阻尼，使系統(tǒng)的瞬態(tài)過(guò)程時(shí)間減小，提高了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。另外，加入的開環(huán)零點(diǎn)越接近虛軸，系統(tǒng)的性能越好。上述結(jié)論可以從這三個(gè)系統(tǒng)的單位階躍相應(yīng)曲線上得到印證，如圖4.15（d）所示。圖中繪出了當(dāng)K*=4時(shí)三個(gè)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，曲線1、2和3分別為原系統(tǒng)，加入開環(huán)零點(diǎn)-24j和-4以后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線?？梢娫黾雍线m的開環(huán)零點(diǎn)，可以改善系統(tǒng)的性能。,系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為,和

25、,（a）原系統(tǒng)的根軌跡圖,（b）加開環(huán)零點(diǎn)-24j后系統(tǒng)的根軌跡圖,（c）加開環(huán)零點(diǎn)-4后系統(tǒng)的根軌跡圖,（d）系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線,圖4.15 增加開環(huán)零點(diǎn)后系統(tǒng)的根軌跡及其響應(yīng)曲線,同樣利用上例進(jìn)行討論。在原系統(tǒng)上分別增加一對(duì)復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)24j和一個(gè)實(shí)數(shù)開環(huán)極點(diǎn) -4，則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為,2.增加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響,和,系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為,和,對(duì)應(yīng)的根軌跡分別如圖4.16（a）所示。,（a）增加開環(huán)極點(diǎn)-2+-4j后的根軌跡,（b）增加開環(huán)極點(diǎn)-4后系統(tǒng)的根軌跡,（c）系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線,圖4.16 增加開環(huán)極點(diǎn)后的系統(tǒng)的根軌跡及其響應(yīng)曲線,將圖4.16（a）和（b）與

26、原始系統(tǒng)根軌跡圖4.15（a）相比較，可以看出，加入開環(huán)極點(diǎn)后增加了系統(tǒng)的階數(shù)，改變了漸近線的傾角，增加了漸近線的條數(shù)。隨著K*的增加，根軌跡的兩個(gè)分支向s右半平面彎曲或移動(dòng)，這相當(dāng)于減少了系統(tǒng)的阻尼，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。另外，由于加入的開環(huán)極點(diǎn)和K*的不同，系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)也將不同，系統(tǒng)的性能也會(huì)有所不同。對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)越遠(yuǎn)離虛軸，即閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部絕對(duì)值越大，系統(tǒng)振蕩越嚴(yán)重，從而系統(tǒng)超調(diào)量增大，振蕩次數(shù)增多，引起系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間增加。,通過(guò)選擇合適的K*值，配置出合理的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，就可以獲得滿意的性能指標(biāo)。原系統(tǒng)和上述兩個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線曲線如圖4.16（c）所

27、示。圖中繪制了當(dāng)K*=4時(shí)各個(gè)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，曲線1，2和3分別為原系統(tǒng)，增加開環(huán)極點(diǎn)-24j和-4后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。比較圖中的曲線1和3，可以明顯看出系統(tǒng)1的超調(diào)量大，振蕩激烈，而調(diào)整時(shí)間短。表明當(dāng)K*=4時(shí)系統(tǒng)1的主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部絕對(duì)值大于系統(tǒng)3的實(shí)部絕對(duì)值，其虛部絕對(duì)值也大于系統(tǒng)3的虛部絕對(duì)值。,通過(guò)上面的討論，可以得到上述結(jié)論 （1）控制系統(tǒng)增加開環(huán)零點(diǎn)，通常使根軌跡向左移動(dòng)或彎曲，使系統(tǒng)更加穩(wěn)定，系統(tǒng)的瞬態(tài)過(guò)程時(shí)間縮短，超調(diào)量減小。 （2）控制系統(tǒng)增加開環(huán)極點(diǎn)，通常使根軌跡向右移動(dòng)或彎曲，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低。系統(tǒng)的瞬態(tài)過(guò)程時(shí)間增加，超調(diào)量以及振蕩激烈程度由系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)

28、決定。,4.3.2 利用根軌跡法分析參數(shù)調(diào)整對(duì)系統(tǒng)性能的影響,根軌跡分析法和時(shí)域分析法是一樣的，都可以用來(lái)分析系統(tǒng)的性能。根軌跡分析法采用的是圖解的方法，與時(shí)域相比，避免了繁瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算，而且直觀。典型二階系統(tǒng)的特征參數(shù)，閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面上的位置以及系統(tǒng)性能之間有著確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。由根軌跡圖可以清楚的看出參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。所以在對(duì)有主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)，使用根軌跡法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析更加簡(jiǎn)便。一般先確定系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)，將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為以主導(dǎo)極點(diǎn)為極點(diǎn)的二階系統(tǒng)（或一階系統(tǒng)），然后再根據(jù)二階系統(tǒng)（或一階系統(tǒng)）的性能指標(biāo)進(jìn)行估算。,式中，為閉環(huán)極點(diǎn)實(shí)部的大小，即閉環(huán)極點(diǎn)離開虛軸的距離。,閉環(huán)二階系統(tǒng)

29、的主要瞬態(tài)性能指標(biāo)是超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。這些性能指標(biāo)和閉環(huán)極點(diǎn)位置的關(guān)系如下：,試判斷閉環(huán)極點(diǎn)-1.202.08j是不是系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。若是，試估算該閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。,【例4.8】 考慮導(dǎo)彈航向控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為,解 繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖4.19所示。,（1）判斷閉環(huán)極點(diǎn)-1.202.08j是不是系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)，先判斷該閉環(huán)極點(diǎn)是否是根軌跡上的點(diǎn)，由相角條件得,可知-1.202.08j是根軌跡上的點(diǎn)。,圖4.17 例4.8的根軌跡圖,然后，再判斷-1.202.08j是否是閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。根據(jù)根軌跡繪制規(guī)則：“系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)之和等于系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和”，令系統(tǒng)的另一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為s3，

30、則,解得s3=-7.6。由 ，可知-1.202.08j是系統(tǒng)的復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)。閉環(huán)極點(diǎn)分別如圖4.17所示。,由圖4.17可知， 時(shí)系統(tǒng)的阻尼角為 。則系統(tǒng)的超調(diào)量為 ，調(diào)整時(shí)間為,（2）估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,化簡(jiǎn)為,4.3.3 利用根軌跡法分析參數(shù)調(diào)整對(duì)系統(tǒng)性能的影響,4.3.2節(jié)介紹了從根軌跡圖了解參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響，反過(guò)來(lái)，二階系統(tǒng)或具有共軛復(fù)數(shù)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)通?？梢愿鶕?jù)瞬態(tài)性能指標(biāo)的要求，在復(fù)平面上畫出使系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)要求的閉環(huán)極點(diǎn)（或高階系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)）所處的區(qū)域。即允許區(qū)域，如圖4.18陰影部分所示。位于該區(qū)域內(nèi)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)使瞬態(tài)性能滿足,圖

31、4.20 主導(dǎo)極點(diǎn)允許區(qū)域分布圖,（1）試確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的根軌跡增益K*的范圍； （2）若要求閉環(huán)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量 ,試確定根軌跡增益K*的范圍 解 系統(tǒng)的根軌跡如圖4.21所示。 （1）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為5j，對(duì)應(yīng)的根軌跡增益為Kc*=240，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，根軌跡的增益范圍應(yīng)該為K*240。,【例4.9】控制系統(tǒng)如例4.8所示,（2）由于 ，而當(dāng) 時(shí)，解得阻尼 角。在根軌跡圖4.19上畫兩條與負(fù)實(shí)軸夾角為 的直線，與根軌跡交于A、B兩點(diǎn)。由上例知A、B兩點(diǎn)是閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)。這時(shí)系統(tǒng)的超調(diào)量等于16.3%。通過(guò)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可以確定這時(shí)的根軌跡增益K*。設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為

32、，則,即A點(diǎn)坐標(biāo)為sA=1.2+2.08j。由例4.8知這時(shí)的根軌跡增益K*=44。若要求超調(diào)量 ，則K*的取值范圍為 。 通常，在對(duì)系統(tǒng)提出超調(diào)量要求的同時(shí)，又提出調(diào)整時(shí)間的要求。這時(shí)，應(yīng)在如圖4.18所示的陰影區(qū)域內(nèi)尋找滿足要求的參數(shù)。若在該區(qū)域內(nèi)沒有根軌跡，則不能滿足提出的要求。應(yīng)在系統(tǒng)中加入適當(dāng)?shù)男Ｕh(huán)節(jié)，使根軌跡進(jìn)入該區(qū)域。然后確定滿足要求的閉環(huán)極點(diǎn)位置及相應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)。,根據(jù)相角條件有,解上述兩式得,圖4.19 例4.9的根軌跡圖,4.4習(xí)題精解及MATLAB工具和案例分析,（1）繪制系統(tǒng)的根軌跡圖 （2）確定使復(fù)數(shù)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼系數(shù)=0.5的K*值。,4.4.1 習(xí)題精解,【

33、例4.10】 已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,1.在圖4.22中分別用“”和“O”分別標(biāo)識(shí)開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)。 2.根軌跡的分支數(shù)為3；起始點(diǎn)為p1=-1+j，p2=-1-j，p3=-14；無(wú)限零點(diǎn)即無(wú)窮遠(yuǎn)處。,解： （1）系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為,系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為,3. 確定實(shí)軸上的根軌跡為(-，-14. 4. 根軌跡的漸近線為n-m=3條，其交點(diǎn)為,交角為,6 .與虛軸的交點(diǎn)：將s=j代入系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，令其實(shí)部，虛部都為零，可得,5. 分離點(diǎn)為：,解之得：d1=-9.63(舍去)，d2=-1.04(舍去),解之得：=5.48，K*=452。,（2）設(shè)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為,由根

34、之和可得,即,得系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為,根據(jù)題知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,即：使得復(fù)數(shù)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼系數(shù) =0.5的K*值為K*=21.48。 利用MATLAB軟件繪制根軌跡的程序如下： num=1;den=conv(1,14,1,2,2); rlocus(num,den),axis(-16,2,-8,8);,比較上面兩個(gè)式子可得,圖4.20 例4.10 系統(tǒng)的根軌跡,圖4.21MATLAB界面下的系統(tǒng)根軌跡圖,【評(píng)注】將閉環(huán)傳遞函數(shù)化為開環(huán)傳遞函數(shù)的首一零極點(diǎn)形式，對(duì)于高階系統(tǒng)，應(yīng)先確定系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)，再確定其余的閉環(huán)極點(diǎn)，從而求得要求的參數(shù)值。,解：（1）根軌跡基本情況分析。開環(huán)傳遞函數(shù)的3

35、個(gè)極點(diǎn)為0，0和-a，1個(gè)零點(diǎn)為-1.所以實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間-a,-1之內(nèi)。根軌跡有3支，其中兩只趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。因此在區(qū)間-a,-1 間可能有分離點(diǎn)，匯合點(diǎn)。 （2）求分離點(diǎn)，匯合點(diǎn)的存在條件。特征方程可以改寫成,【例4.11】已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試分別畫出a=10，9，8和1時(shí)的系統(tǒng)的根軌跡。,由,，得,經(jīng)整理得方程,解得,所以分離，匯合點(diǎn)存在的條件是,即,或,（3）a=109的情況。此時(shí)的分離，匯合點(diǎn)為s1=-4,s2=-2.5。根軌跡如圖4.22所示。,MATLAB程序?yàn)?num=1,1;den=conv(1,0,conv(1,0,1,10); rlocus(num,de

36、n) ,axis(-10,2,-6,6); （4）a=9的情況。此時(shí)的分離，匯合點(diǎn)s1=-4,s2=-2為根軌跡如圖4.23所示 。 MATLAB程序?yàn)?num=1,1;den=conv(1,0,conv(1,0,1,9); rlocus(num,den) ,axis(-10,2,-6,6);,圖4.22 例4.11根軌跡圖（a=10),圖4.23 例4.11根軌跡圖（a=9),（5）a=8的情況。此時(shí)沒有分離，匯合點(diǎn)。根軌跡如圖4.24所示。 MATLAB程序?yàn)?num=1,1;den=conv(1,0,conv(1,0,1,8); rlocus(num,den) ,axis(-10,2,-

37、6,6); （6）a=1的情況，此時(shí)極點(diǎn)和零點(diǎn)相消，開環(huán)傳遞函數(shù)化簡(jiǎn)為 。如圖4.25所示，根軌跡是與虛軸重合的直線。不過(guò)需要注意的是，盡管位于-1的極點(diǎn)和零點(diǎn)相消，但并不意味著系統(tǒng)已經(jīng)失去這些極點(diǎn)和零點(diǎn)。開環(huán)系統(tǒng)中可以相消的極點(diǎn)和零點(diǎn)永遠(yuǎn)是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)。所以根軌跡的第3支退化成位于-1的一個(gè)點(diǎn)。,圖4.24 例4.11根軌跡圖（a=8),圖4-25 例4.11根軌跡圖（a=1),MATLAB程序?yàn)?num=1,1;den=conv(1,0,conv(1,0,1,1); rlocus(num,den) ,axis(-10,2,-6,6);,【評(píng)注】在可變參數(shù)的某些變化區(qū)間，參數(shù)微小的變

38、化可能導(dǎo)致根軌跡很大的變化。本例參數(shù)在附近變化時(shí)，根軌跡就有根部的不同。在徒手畫概略根軌跡時(shí)，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候需要代入幾個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)核實(shí)一下。,4.4.2 案例分析及MATLAB應(yīng)用,在本章引言中提到的計(jì)算機(jī)磁盤讀取控制系統(tǒng)，在第三章，我們已經(jīng)討論了磁盤驅(qū)動(dòng)器對(duì)干擾和參數(shù)變化的響應(yīng)特性，討論調(diào)整放大器增益Ka時(shí)，系統(tǒng)對(duì)階躍信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)誤差，以及加入速度反饋傳感器時(shí)，調(diào)整放大器增益Ka和速度傳感器傳遞系數(shù)K1時(shí)，系統(tǒng)對(duì)階躍信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)誤差。這章我們用PID控制器來(lái)代替原來(lái)的放大器，以便得到所期望的響應(yīng)。PID控制器參數(shù)的選取利用本章學(xué)習(xí)的根軌跡法來(lái)設(shè)計(jì)。圖1.1是磁盤驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的示意圖。,因?yàn)閷?duì)象模型G1(s)中已經(jīng)包含有積分環(huán)節(jié)，所以應(yīng)取Ki=0，這樣PD控制器的傳遞函數(shù)為：,PID控制器的傳遞函數(shù)為,本例的設(shè)計(jì)目標(biāo)是確定Kp和Kd的取值，以使系統(tǒng)滿足設(shè)計(jì)規(guī)格要求。圖4.26是帶PD控制器的磁盤驅(qū)動(dòng)器控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。,圖4.26 帶PD控制器的磁盤驅(qū)動(dòng)器控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,當(dāng)N(s)=0,R(