1、第四章 貝葉斯決策分析,課程導(dǎo)入,風險型決策模型，是根據(jù)預(yù)測各種時間可能發(fā)生的先驗概率，然后再采用期望值標準來選擇最佳決策的方案。這種建立在先驗概率分布的基礎(chǔ)上而作出的決策稱為先驗決策。 這樣的決策具備一定的風險性。因為先驗概率是根據(jù)歷史資料或主觀判斷所確定的概率。未經(jīng)試驗證實，而自然狀態(tài)概率的變化又直接影響著期望值的計算，并進而影響到?jīng)Q策方案的取舍。為了減少這種風險，需要較準確地掌握和估計這些先驗概率。,這就要通過科學試驗、調(diào)查、統(tǒng)計分析等方法獲得較為準確的補充倍息，以修正先驗概率，并據(jù)以確定各個方案的期望損益值，擬定出可供選擇的決策方案，協(xié)助決策者作出正確的決策。 一般來說，利用貝葉斯定理

2、求出后驗概率，據(jù)以進行決策的方法，稱為貝葉斯決策方法。,第四章 貝葉斯決策分析,4.1 先驗分布 4.2 貝葉斯定理與后驗分析 4.3 決策法則 4.4 風險函數(shù)、貝葉斯風險和貝葉斯原則 4.5 反序分析 4.6 完全信息價值與最佳樣本容量 4.7 關(guān)于貝葉斯決策的典型案例分析 4.8 貝葉斯決策方法的優(yōu)缺點,4.1先驗分布,作風險型決策分析時，最先確定的是各種自然狀態(tài)的概率，一般稱為先驗概率分布。它在做任何試驗或調(diào)查之前就確定了。 若根據(jù)試驗或調(diào)查所獲得的情報，對先前確定的先驗概率分布加以修正，而得到的關(guān)于自然狀態(tài)的新的概率分布，則稱為后驗分布。,4.1.1客觀的先驗分布,概率，是反映在一次

3、試驗中隨機事件發(fā)生可能性大小的概念。它的數(shù)值要靠理論分析才能得到。比如，拋擲一枚骰子，考察出幾點。假定這枚骰子是勻稱的，則所有可能的試驗結(jié)果有6個，而且這6個結(jié)果具有不相容性、完備性和等可能性。于是，根據(jù)古典概率的定義求出1點，2點，6點的概率各是16 概率和頻率不是一回事。 頻率是指在若干次試驗中某一隨機事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)之比。頻率不是從理論上分析出來的，它是試驗的結(jié)果，是可以觀察的。,4.1.1 客觀的先驗分布,通過試驗，得出頻率，用它來代替概率，這樣得出的概率估計稱為客觀概率。例如，為了估計某種新產(chǎn)品的銷售情況，在正式投產(chǎn)前，先生產(chǎn)少量產(chǎn)品，在幾個試銷點試銷，觀察應(yīng)劃為暢銷或滯銷

4、的試銷點各有多少個，由此計算出暢銷和滯銷的頻率，從而得出這種新產(chǎn)品暢銷、滯銷的客觀概率來。 對這些自然狀態(tài)的先驗概率的估計或指定，是根據(jù)某些客觀的情報或證據(jù)得出的，故稱其為客觀先驗分布。,4.1.2 主觀的先驗分布,把決策者這種知識、經(jīng)驗以及建立在這些基礎(chǔ)上的判斷，定量地概括在狀態(tài)參數(shù)的概率分布中，這樣得到的概率稱為主觀概率。 由于主觀概率不像客觀概率那樣受到許多限制，使用起來靈活方便，故應(yīng)用十分廣泛。對于確定先驗概率分布是有幫助的。它的缺點是直接依賴于決策者的知識和經(jīng)驗，缺乏客觀性。同一事件不同的決策者估計出來的概率一般說來是不一樣的，甚至差別可能很大。盡管如此，在沒有適當?shù)目陀^概率可以應(yīng)用

5、的情況下，主觀概率仍不失為人們經(jīng)常采用的一種估計方法。,4.1.2 主觀的先驗分布,主觀的先驗分布的確定具體分兩種情況，現(xiàn)介紹如下: （1）有信息主觀先驗概率的確定。所謂有信息是指決策者已經(jīng)積累了處理類似決策問題的經(jīng)驗，或者通過對有關(guān)專家咨詢獲得了對自然狀態(tài) 的某些認識。 （2）無信息主觀先驗概率的確定。所謂無信息是指對自然狀態(tài)的 先驗信息甚少或者完全沒有信息。,4.2 貝葉斯定理與后驗分析,4.2.1 貝葉斯定理 4.2.2 后驗概率的確定 4.2.3 后驗分析,4.2.1 貝葉斯定理,貝葉斯(1702-1763) Thomas Bayes是18世紀的一位英國牧師，也是一位英國數(shù)學家。他發(fā)明

6、了一個在概率運算和風險決策中廣泛適用的定理，即逆概計算公式，被命名為貝葉斯定理。要了解什么是貝葉斯定理，有必要先了解逆概公式，,4.2.1 貝葉斯定理,這個公式告訴我們，在已知 和 的條件下，可以計算出 。這就是逆概公式，即貝葉斯定理。 在逆概公式中， 稱為先驗概率分布， 為條件概率， 即為后驗概率分布。,4.2.1 貝葉斯定理,若假定自然狀態(tài)的先驗密度是 ，通過觀察與有關(guān)的隨機變量x的條件概率密度 ，則貝葉斯定理指出：由觀察x所確定的后驗密度是 式中 是x的邊際概率。,4.2.1 貝葉斯定理,貝葉斯定理的意義在于，能在出現(xiàn)一個新的補充事件條件下，重新修正對原有事件概率的估計。即計算出后驗概率

7、分布。 在提供了新的補充信息條件下，這一修正的概率比沒有補充信息條件下的概率估計更為準確。,4.2.1 貝葉斯定理,4.2.2 后驗概率的確定,利用貝葉斯定理進行決策分析，關(guān)鍵的問題是要計算后驗概率。即根據(jù)已獲取的補充信息，重新修正對原有事件概率的估計。簡而言之，就是修正先驗概率。計算后驗概率有公式計算法和概率樹計算法兩種方法。 1）公式計算法。它是指按逆概基本公式來計算后驗概率的方法。 2）概率樹計算法。這種方法是在形如樹狀的圖形上標示各種概率，并按照一定的順序進行計算。按這種方法要求畫兩個概率樹，一個是實際概率樹，另一個是信息概率樹。,4.2.3 后驗分析,決策者為了對決策問題的自然狀態(tài)有

8、更多的了解而進行統(tǒng)計調(diào)查，我們稱通過調(diào)查而獲得的信息為補充信息，利用貝葉斯定理將補充倍息和先驗分布結(jié)合起來，便產(chǎn)生了一種綜合信息，即為后驗分布。 可見，利用補充信息決策的關(guān)鍵，就是由先驗分布產(chǎn)生后驗分布，這一過程叫做后驗分析。后驗分析可用來作出較為正確的決策。,4.2.3 后驗分析,例2：某自動生產(chǎn)設(shè)備在生產(chǎn)過程中可能正常亦可能不正常，正常時產(chǎn)品的合格率為80，不正常時產(chǎn)品的合格率為30。從某時刻生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取一件進行檢驗，要求我們根據(jù)這件產(chǎn)品的情況來判斷設(shè)備是否正常。,4.2.3 后驗分析,該問題的自然狀態(tài)有兩種，即設(shè)備正常和設(shè)備不正常，分別用 和 表示，假設(shè)我們對該設(shè)備以往的生產(chǎn)情況一無

9、所知，那么判斷設(shè)備是否正常的可能性相等，即先驗概率為：,4.2.3 后驗分析,由于兩者的概率相等，實際上無法判斷出設(shè)備究竟是否正常。但如果我們從某時刻的產(chǎn)品中抽取一件產(chǎn)品，若發(fā)現(xiàn)為合格品，即抽樣的結(jié)果X“合格品”，這就得到了一種補充的信息，容易算出：,4.2.3 后驗分析,利用貝葉斯定理得：,4.2.3 后驗分析,4.2.3 后驗分析,即抽出一件產(chǎn)品為合格品后算得設(shè)備為正常的概率是0.73，設(shè)備不正常的概率是0.27，故應(yīng)判斷此時設(shè)備正常，即 。 若從某時刻生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取到的一件產(chǎn)品為不合格品，同樣利用貝葉斯定理算得： 故應(yīng)判斷此時設(shè)備不正常，即：,4.2.3 后驗分析,現(xiàn)在將情況改變一下如

10、果從某時刻生產(chǎn)的產(chǎn)品中連續(xù)抽取兩件產(chǎn)品，并檢查它們是否合格，然后再判斷設(shè)備此時是否正常。若抽樣的結(jié)果為X“合合”，即兩件產(chǎn)品皆為合格品，容易算出：,4.2.3 后驗分析,由貝葉斯定理得： 利用概率性質(zhì)得：,4.2.3 后驗分析,據(jù)上面求出的后驗概率，我們應(yīng)判斷此時設(shè)備為正常，即 。 若抽樣的結(jié)果為X“合不”，即抽得的第一件產(chǎn)品為合格品，第二件產(chǎn)品為不合格品，容易算出：,4.2.3 后驗分析,由貝葉斯定理及概率的性質(zhì)知： 因此，應(yīng)判斷此時設(shè)備不正常。,4.2.3 后驗分析,同樣的方法，可以求出抽出的兩件產(chǎn)品皆為不合格品，即X=“不不”，和第一件產(chǎn)品為不合格品。第二件產(chǎn)品為合格品，即X=“不合”的

11、后驗概率： 根據(jù)這些后驗概率，合理的判斷應(yīng)當是：若兩件產(chǎn)品皆為不合格品，判斷設(shè)備此時不正常；或第一件產(chǎn)品為不合格品，第二件產(chǎn)品為合格品，判斷設(shè)備此時不正常。,4.3 決策法則,4.3.1 預(yù)先后驗分析 4.3.2 決策法則,4.3.1 預(yù)先后驗分析,在利用補充信息進行決策時，我們已經(jīng)看到，當補充信息值X確定之后，按照后驗分析方法，求出后驗分布，便可確定出最優(yōu)行動方案。這一工作不一定在收集補充信息情報之后做。事實上，在收集補充信息之前，我們便可以分析出補充信息值X的種種可能，然后對每一個X值完成后驗分析工作，找出最優(yōu)行動方案。這個過程稱為預(yù)先后驗分析。于是，預(yù)先后驗分析可以產(chǎn)生一個決策法則。按照

12、這一決策法則，可以知道在任一信息值X下哪一個行動方案為最優(yōu)。,4.3.1 預(yù)先后驗分析,例3：有兩類盒子。甲類盒子只有一個，其中裝有80個紅球，20個白球；乙類盒子共三個，每個盒子均裝有20個紅球，80個白球。這四個盒子外表一樣，內(nèi)容不知。今從中任取一盒，請你猜它是哪類的。如果猜中，付你1元錢；如果未猜中，不付你錢。那么，你怎樣猜法? 如果從這個盒子中任意抽取N個球(回置地)，讓你觀察，你如何根據(jù)這N個球的性質(zhì)來選擇自己的行動?,4.3.1 預(yù)先后驗分析,解：令 表示所取出的這個盒子中紅球所占的比例。顯然， 只能取兩個值：若這個盒子是甲類 的， 若這個盒子是乙類的， 。用 、 分別表示猜這個盒

13、子是甲類的和猜測它是乙類的這兩個行動方案。顯然，收益矩陣如表4-1所示。,4.3.1 預(yù)先后驗分析,表4-1,4.3.1 預(yù)先后驗分析,于是，行動方案 、 的先驗期望收益值分別為： 因此，先驗最優(yōu)行動方案為 ，即如果只根據(jù)先驗資料應(yīng)猜此盒子為乙類的。,4.3.1 預(yù)先后驗分析,假設(shè)N = 1，即從叫你猜的那個盒子中取出1個球來觀察。規(guī)定：對于紅球，X = 1；對于白球，X 0, 其抽樣分布如表4-2所示。 表 4-2 N = 1時猜盒問題的抽樣分布,4.3.1 預(yù)先后驗分析,表示從甲類盒子中抽取1球是白球的概率，即如果確定這個球是從甲盒中取出的話，它是白球的概率，顯然它等于0.2。對另外三個概

14、率可做類似理解。 利用先驗分布和抽樣分布計算后驗分布：,4.3.1 預(yù)先后驗分析,4.3.1 預(yù)先后驗分析,將這些結(jié)果列入表4-3中。 表4-3 N = 1時猜盒問題的后驗分布,4.3.1 預(yù)先后驗分析,于是，當抽到的球為白球時， 最優(yōu)行動方案為 , 即應(yīng)猜此盒為乙類的。,4.3.1 預(yù)先后驗分析,當抽到的球為紅球時， 最優(yōu)行動方案為a1，即應(yīng)猜此盒為甲類的。,4.3.1 預(yù)先后驗分析,綜合上述，當X = 0時，最優(yōu)行動方案為；當X = 1時，最優(yōu)行動方案為。 如果樣本容量N = 2時，其抽樣分布如表4-4所示。 表4-4 N = 2時猜盒問題的抽樣分布,4.3.1 預(yù)先后驗分析,利用先驗分布

15、與抽樣分布，計算出各抽樣信息值的概率和后驗概率如表4-5所示。 表4-5 N = 2時猜盒問題的后驗分布,4.3.1 預(yù)先后驗分析,在每一信息值下，分別用后驗分布代替先驗分布，計算出每個行動方案的期望收益值如表4-6所示。 表4-6 N = 2時猜盒問題各行動的后驗收益期望值,4.3.1 預(yù)先后驗分析,因此，N = 2 時的最優(yōu)行動方案： X=0 =a2 X=1 =a2 X=2 =a1 這里， 表示信息值為X時的后驗最優(yōu)行動。,4.3.1 預(yù)先后驗分析,由上可知，利用抽樣信息決策，只要確定了樣本容量，并選好了統(tǒng)汁量表示抽樣結(jié)果，那么，在實際抽樣進行以前，即可進行預(yù)先后驗分析，產(chǎn)生一個根據(jù)抽樣結(jié)

16、果采取行動的決策法則。,4.3.1 預(yù)先后驗分析,上例中，如果樣本容量為1。抽樣結(jié)果有兩種可能： X = 0或X = 1。預(yù)先后驗分析所得到的決策法則是：若X = 0，則采取行動方案a2；若X = 1，則采取行動方案a1。當樣本容量為2時，抽樣結(jié)果有三種可能：X = 0或X = 1或X = 2。預(yù)先后驗分析所得到的決策法則是：當X = 0 或1時，采取行動方案a2；當X = 2時，采取行動方案a1。,4.3.2 決策法則,一般地說，所謂決策法則，就是由所有可能信息值的集合到所有可能行動的集合的一個映射。換句話說，決策法則是這樣一個規(guī)則 ，按照這個規(guī)則，對于每一個信息值X均有唯一確定的可行行動

17、與之對應(yīng)。 上例中，如果樣本容量為1，由于所有可能的抽樣結(jié)果有2個，可行行動也有2個，故決策法則共有 個：,4.3.2 決策法則,4.3.2 決策法則,而預(yù)先后驗分析所得到的決策法則是 。 如果樣本容量為2，那么抽樣結(jié)果有3種可能，可行行動還是2個，因此決策法則共有 個。 而按預(yù)先后驗分析所得到的決策法則是 。 一般地，對于有S個可行行動的決策問題，若補充情息值有n個，則決策法則共有 個。,4.3.2 決策法則,需注意的是，這里所講的決策法則與前面所講的決策原則不是一回事。決策原則，是判別諸行動間優(yōu)劣關(guān)系的標準，它所指明的是什么叫一個行動方案優(yōu)于另一個行動方案，據(jù)此可以選出最優(yōu)行動方案來；而決

18、策法則是信息值與所采取的行動的對應(yīng)關(guān)系，它所指明的是如何根據(jù)信息值選擇行動方案。 在利用補充信息決策時，一般說來，有許多決策法則可供選用。這些決策法則中（按預(yù)先規(guī)定好的標準）之最佳者，稱為最佳決策法則。,4.4 風險函數(shù)、貝葉斯風險和貝葉斯原則,4.4.1 風險函數(shù) 4.4.2 貝葉斯風險 4.4.3 貝葉斯原則 4.4.4 貝葉斯分析的正規(guī)型和擴展型,4.4 風險函數(shù)、貝葉斯風險和貝葉斯原則,既然決策法則可以有很多，那么，這些法則中哪個優(yōu)哪個劣呢？根據(jù)什么原則比較？像前面那樣用預(yù)先后驗分析方法所得到的決策法則的優(yōu)劣程度如何呢？本節(jié)中將討論這些問題。,4.4.1 風險函數(shù),設(shè)給定一個決策法則

19、，在任一狀態(tài) 下，當信息值X確定后，它所對應(yīng)的行動 也就確定了，從而 的損失值 也就隨之確定了。 對于一個好的決策法則，應(yīng)要求 較小。但是，評價一個決策法則的好壞，不能只看信息一次所取之值，而應(yīng)當用各信息值下的平均效果來衡量。,4.4.1 風險函數(shù),因此，在狀態(tài) 下，決策法則的好壞應(yīng)以 對信息值X的數(shù)學期望的大小為標準。為此定義： 為決策法則 的風險函數(shù)。 風險函數(shù)表示按決策法則決定行動在固定狀態(tài)下當出現(xiàn)各種不同情報值時的平均損失。它是 的函數(shù)。,4.4.2 貝葉斯風險,需要注意的是，風險函數(shù)中還含有狀態(tài)參數(shù) 。 當然，如果存在一個決策法則 ，在任何狀態(tài) 下，它的風險函數(shù)值 都比其他任何決策法

20、則在同一狀態(tài)下的風險函數(shù)值小，我們自然認為這個決策法則為最佳的。 但是，一般說來，這是不易做到的。多數(shù)情況是這樣的：對于某一個（或某些）值，決策法則的風險函數(shù)值最??；,4.4.2 貝葉斯風險,多數(shù)情況是這樣的：對于某一個（或某些） 值，決策法則 的風險函數(shù)值 最?。欢鴮τ诹硪粋€（或另一些） 值，另一個決策法則 的風險函數(shù) 最小。因此，一個決策法則的好壞，只能用在各種不同狀態(tài)下其風險函數(shù)值的平均值來衡量。因此，一個決策法則的好壞，只能用在各種不同狀態(tài)下其風險函數(shù)值的平均值來衡量。為此定義： 為決策法則的貝葉斯風險。,4.4.3 貝葉斯原則,根據(jù)以上的分析，衡量一個決策法則的好壞，應(yīng)以其貝葉斯風險

21、為標準。貝葉斯原則：貝葉斯風險最小的決策法則為最佳決策法則。 例4：在例3中，當進行容量為1或2的抽樣時，求各決策法則的風險函數(shù)和貝葉斯風險，并分別指出最佳決策法則。,4.4.3 貝葉斯原則,該決策問題的損失矩陣如表4-9所示。 注意，這里的“損失”意味著相對與獲得1元錢，沒有任何獲得即為損失1元，如果獲得1元，則損失為0。,4.4.3 貝葉斯原則,4.4.3 貝葉斯原則,先研究n = 1的情況。這時共有四個決策法則。我們知道：,4.4.3 貝葉斯原則,對于決策法則 ，無論X = 0 或 1，都有： 于是，,4.4.3 貝葉斯原則,即 的風險函數(shù)為： 其貝葉斯風險：,4.4.3 貝葉斯原則,對

22、于決策法則 ， 于是，,4.4.3 貝葉斯原則,同樣地， 于是， 的風險函數(shù)為： 因此其貝葉斯風險為：,4.4.3 貝葉斯原則,對于決策法則 ，同樣方法可求得其貝葉斯風險為： 對于決策法則 ，其貝葉斯風險為：,4.4.3 貝葉斯原則,以上計算結(jié)果表明，最佳決策法則為 。 對于N2的情況，同樣可計算出各決策法則的風險函數(shù)，貝葉斯風險，和最佳法則，對此留作課后習題供讀者自己求解。,4.4.3 貝葉斯原則,以上所介紹的決策分析，又稱為正序分析。 其分析過程為：在進行抽樣(或其他調(diào)查之前)，枚舉所有可能出現(xiàn)的抽樣結(jié)果X，及所有可能的決策法則（方案） ，針對每一種決策法則 ，計算其貝葉斯風險，比較各種方

23、案的貝葉斯風險的大小，貝葉斯風險最小的決策方案即為最佳決策方案。,4.4.4 貝葉斯分析的正規(guī)型和擴展型,在預(yù)先給定先驗密度 ，通過試驗又得到一個與自然狀態(tài)有關(guān)的另一個隨機變量x的值，它的概率密度為f(x|)。當f(x|)為已知時，由后悔值函數(shù) 可求得風險函數(shù) 。對于給定的先驗密度 ，又可由風險函數(shù) ，求得貝葉斯風險值 。貝葉斯決策原則：如果決策規(guī)則 的貝葉斯風險小于決策規(guī)則 在同樣先驗密度 下的貝葉斯風險值，即,4.4.4 貝葉斯分析的正規(guī)型和擴展型,則定義決策規(guī)則 優(yōu)于另一決策規(guī)則 。很顯然，在一組決策中，最優(yōu)決策應(yīng)當是貝葉斯風險值最小的決策，即 為行動函數(shù)集， 稱為對應(yīng)于先驗密度 的貝葉

24、斯規(guī)則。,4.4.4 貝葉斯分析的正規(guī)型和擴展型,所以：,4.4.4 貝葉斯分析的正規(guī)型和擴展型,如果隨機變量x和都是離散型的，則,4.4.4 貝葉斯分析的正規(guī)型和擴展型,由此可知，貝葉斯分析就是進行一決策規(guī)則 ，使其貝葉斯風險為最小。按這種思路進行的貝葉斯分析，稱為貝葉斯分析的正規(guī)行。不難看出，按貝葉斯分析的正規(guī)型求最優(yōu)決策規(guī)則是比較麻煩的，因為必須給定不同的行動方案 ， ，然后分別求出 ，再找出他們的最小值。實際上，貝葉斯分析都采用另一種思路和形式，一般稱為貝葉斯分析的擴展型。,4.4.4 貝葉斯分析的正規(guī)型和擴展型,貝葉斯分析方法的擴展型 由 改變積分次序（根據(jù)Fubini定理）為,4.

25、4.4 貝葉斯分析的正規(guī)型和擴展型,顯然要使 為最小，必須選在X域上的積分 為最小，根據(jù)貝葉斯定理,4.4.4 貝葉斯分析的正規(guī)型和擴展型,所以 為的后驗密度。,4.4.4 貝葉斯分析的正規(guī)型和擴展型,因此如果我們相對于每個給定的x選擇一行動a使式 為最小，它必然會使 的后驗期望后悔值為極小。由此，對每個x選擇一行動a使后驗期望后悔值最小，就是等價地使,4.4.4 貝葉斯分析的正規(guī)型和擴展型,為極小，就能找到貝葉斯行動a對應(yīng)的貝葉斯規(guī)則 。 這樣，問題就變成用試驗數(shù)據(jù)來修正自然狀態(tài)的先驗分布，然后用期望值法求出每一個行動的期望后悔值，選其中期望后悔值最小的行動，就是在給定試驗數(shù)據(jù)x情況下的最優(yōu)

26、行動。,4.4.4 貝葉斯分析的正規(guī)型和擴展型,對每一個試驗數(shù)據(jù)x，進行同樣的貝葉斯分析，便可以得到?jīng)Q策人根據(jù)試驗數(shù)據(jù)x所應(yīng)采取的一組最優(yōu)決策規(guī)則 。,4.5 反序分析,按貝葉斯原則求解最佳決策方案，對任何一個決策問題，均有兩種基本方法： 1）正序分析，上節(jié)已作介紹； 2）反序分析。反序分析所需的計算量少且容易掌握，而且理論上可以證明，反序分析方法求得的最佳決策方案，和正序分析求得的最佳決策方案是一致的。故反序分析較常用。,4.5 反序分析,反序分析的過程為：在抽樣之前，針對所有可能出現(xiàn)的抽樣結(jié)局（抽樣方法與樣本容量均事先擬定），分別計算各自然狀態(tài)的后驗概率，利用這些概率求出各行動方案的后驗損

27、失值，爾后比較這些后驗損失值的大小，選探各種抽樣結(jié)果下的最佳行動方案，綜合成最佳決策方案?？梢宰C明，由反序分析得的最佳方案確為貝葉斯原則下的最佳決策方案。 下面通過一個具體實例來說明反序分析的全過程：,4.5 反序分析,例4 某公司的產(chǎn)品每1000件裝成一箱運交顧客。每箱的不合格品率可分5以下、515之間以及15以上三種情況，為了計算簡便，這三種狀態(tài)分別表示為 ， ， ，按照以往的經(jīng)驗，公司的決策者推測為這三種值的概率分別為0.60，0.30，0.10，即先檢概率分布為：,4.5 反序分析,該公司的每箱產(chǎn)品在運交顧客之前，面臨這樣的決策問題：或是檢驗箱中每件產(chǎn)品，或是不作任何檢驗。假如整箱檢驗

28、，每一件的檢驗費用為0.1元，于是一箱的檢驗費為100元，記這種檢驗方案為a1。采用a1的優(yōu)點是可檢查出一箱中的所有不合格品，保證運交顧客產(chǎn)品百分之百合格。假如整箱都不作檢驗，顧客買到不合格品時必須準予更換，每更換的一件所需的費用總和為1.25元，這種整箱都不檢驗的行動方案記為a2。采用a2的優(yōu)點是可節(jié)省檢驗費100元。,4.5 反序分析,為了更好地對上述問題做出決策，決策者從每箱中抽出兩件產(chǎn)品進行檢驗這兩件產(chǎn)品提供的情況做出最佳決策，方法如下： 設(shè)抽出的兩件產(chǎn)品為 ， ，并規(guī)定當?shù)趇件產(chǎn)品檢驗結(jié)果為不合格品時，記 ，否則 。另外設(shè)抽樣總的結(jié)果為：,4.5 反序分析,X的值剛好為抽出的兩件產(chǎn)品

29、中的不合格品數(shù)目，它是一個隨機變數(shù)。在抽樣試驗前，我們就能知道X可能有0，1，2三種結(jié)果。X的概率分布是幾何分布，此外可認為X近似服從二項分布。 在實際進行抽樣試驗前，決策者先作下面分析：假定抽樣后觀察到的不合格品數(shù)為0，即X=0，則可計算各狀態(tài) ， ， 的后驗概率，及每一種可能行動方案a1，a2的后驗損失，計算格式及結(jié)果如表4-10所示。,4.5 反序分析,表中數(shù)值顯示行動a1的后驗損失為100元，而行動a2的后驗損失為90.75元，故出現(xiàn)的抽樣結(jié)果X=0時，最佳行動方案為a2。假如抽樣結(jié)果為X=1，計算列入表4-11中，可得最佳行動方案a1。最后假設(shè)抽樣結(jié)果為X=2，計算結(jié)果列入表16-7

30、中，最佳行動方案為a1。綜合這些結(jié)論，即,4.5 反序分析,表4-10 不合格品為0件（即X = 0）時的后驗損失表,4.5 反序分析,表4-11 不合格品為1件（即X = 1）時的后驗損失表,4.5 反序分析,表4-12 不合格品為2件（即X = 2）時的后驗損失表,4.5 反序分析,從前面的分析看出，利用補充信息來修正先驗概率，可以使決策的準確度提高，從而提高決策的科學性和效益性。 因此，信息本身是有價值的-能帶來收益。但獲得的情報越多，花費也更多。因此有一個獲取補充信息是否有利的問題：收益與成本的比較。,4.6 完全信息價值與最佳樣本容量,4.6.1 完全信息價值與補充信息價值 4.6.

31、2 最佳樣本容量,4.6.1 完全信息價值與補充信息價值,完全信息價值與補充信息價值 完全信息價值與補充信息價值，是開展貝葉斯決策分析常用的兩個基本指標。所謂完全信息，是指在對某一問題進行決策時，對于所有可能出現(xiàn)的自然狀態(tài)都可以提供完全確切的情報。,決策者掌握了完全信息，便可以根據(jù)一定的目標，選擇最佳的行動方案，風險型的決策問題，也就轉(zhuǎn)化為確定型的決策問題。因此，完全信息的價值，可以由掌握完全信息前后，所采取的不同行動方案的收益值的差額來表示。因為，不同狀態(tài)下收益值的差額有所不同，所以人們用收益值差額的期望值來綜合反映完全信息的價值。其計算公式如下：,4.6.1 完全信息價值與補充信息價值,計

32、算公式： 上式中，EVPI (Expected Value of Perfect Information)是完全信息價值的期望值，,4.6.1 完全信息價值與補充信息價值,表示各方案在狀態(tài) 下的最大收益值 表示先驗分析中的最佳方案在狀態(tài) 下的收益值。 EVPI實質(zhì)上反映了由于未掌握完全信息而造成的平均機會損失。EVPI越大表明通過收集補充信息使決策效益提高的余地越大。同時，它也代表了為取得該項情報可付出的代價的上限。,4.6.1 完全信息價值與補充信息價值,一個情報值的補充情報價值EVAI( expected value of additional information)是指決策者根據(jù)該補充

33、情報進行決策取得的收益與他沒有掌握這個補充情報，只能按先驗分布進行決策所獲得的收益之間的差值 。 定理：任何補充情報價值都是非負的，且不超過完全情報價值，即,4.6.1 完全信息價值與補充信息價值,抽樣情報價值：當補充情報是采用抽樣方法獲得時，這種補充情報價值習慣上稱為抽樣情報價值EVSI( expected value of sampling information)。,4.6.1 完全信息價值與補充信息價值,4.6.2 最佳樣本容量,最佳樣本容量 我們已經(jīng)知道，抽樣調(diào)查可以獲得補充情報，以減少不確定性代價，改善決策效果。但是與獲得其他類型的補充情報一樣，一般來說，是要支付一定費用的。所以，

34、對于一個具體的問題，是否要抽樣？如果抽樣，樣本容量又應(yīng)當是多大？這是抽樣之前必須弄清楚的問題。 抽樣所支付的費用叫抽樣成本。樣本容量為N時的抽樣成本記為 ，顯然有：,4.6.2 最佳樣本容量,若 ，抽樣成本也可以分為兩部分：固定成本和可變成本。用 表示固定成本；一般情況下，可變成本與N成正比，用 表示單位可變成本。則有： 當樣本容量N確定以后，抽樣情報價值也是隨之而確定。抽樣情報值也是N的函數(shù)，記之為EVSI(N)。對不向的N，抽樣情報價值可以不同。稱下面的差數(shù)：,4.6.2 最佳樣本容量,為抽樣凈值。它反映出在扣除抽樣成本之后，抽樣給決策帶來的純凈的好處。 顯然，如果對任何自然數(shù)N，都有 ，

35、 則不宜進行抽樣；如果對某一個N有 ， 則進行容量為N的抽樣是值得的（當然，不一定是最好的)；使 達到最大值的非負整數(shù)稱為最佳樣本容量。,4.7 貝葉斯決策的典型案例分析,案例2 某公司考慮生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，已知這產(chǎn)品的銷售狀況取決于市場需求情況。經(jīng)理在決策前已預(yù)見到生產(chǎn)后銷售結(jié)果為好、中、差三種情況的概率及相應(yīng)的盈利額見下表所示： 各種情況的概率及贏利額,4.7 貝葉斯決策的典型案例分析,在這種情況下，試對兩個問題進行決策：1是否值得做一次市場調(diào)查，以獲得市場需求出現(xiàn)“好”、“中”、“差”的后驗概率；2是否生產(chǎn)這種新產(chǎn)品。且設(shè)市場調(diào)查費用估算需6000元。但為了決定是否進行市場調(diào)查，除了要事先估計調(diào)查費用外，對調(diào)查情況下和不調(diào)查情況下的期望盈利位也應(yīng)事先做出估計，從而可以確定是否值得花這筆調(diào)查費用。為此將公司過去實踐中的有關(guān)資料整理成表如下：,4.7 貝葉斯決策的典型案例分析,公司過去的有關(guān)資料,4.7 貝葉斯決策的典型案例分析,解：依題意，本問題也是一個兩階段決策問題。 表中列出概率，即銷售結(jié)果B為已知時，調(diào)查結(jié)論A的條件概