1、第一章 行列式,第1次課 1-112 目的要求:1.了解排列與逆序的定義,會求排列的逆序數(shù) 2.掌握二、三階行列式的對角線展開法 3.了解n階行列式的定義 注意：n階行列式的展開式的特點(diǎn),1-1 排列與逆序 定義1.1:由n個不同元素1,2n 組成的有序數(shù)組稱為這n個元素的全排列,也稱n元排列。 例如:54123是一個五元排列 例如:13x52是一個五元排列，x必為4 例如:3元排列有 一共有6個。,一般表示為j1j2j3,注意:n元排列的所有排列種數(shù),共 有n!個.事實(shí)上,從n個元素中任取一個放在第一個位置上,有n種取法.又從剩下的n-1個元素中任取一個放在第二個位置上,有n-1種取法直到最

2、后只剩下一個元素放在第n個位置上.只有1種取法,于是n元排列有 n(n-1)(n-2)321=n!,我們規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序, n 個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.,排列的逆序數(shù),上例三元排列中，只有123的數(shù)字是從小到大按自然數(shù)的順序,其他排列中都有大的數(shù)排列在小的數(shù)之前,因此,引入逆序和逆序數(shù)的概念 定義1.2 在一個排列中,如一個較大的數(shù)排在一個較小的數(shù)前面,就稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序.一個n元排列中所有逆序的總數(shù),稱為這個排列的逆序數(shù).記作 為偶數(shù)時，稱偶排列,為奇數(shù)時，稱為奇排列 公式 =kn+kn-1+k2 其中kn是第k個數(shù)前面比它大的數(shù)的個數(shù)。 注意：由定義可知，

3、一個n元排列的逆序數(shù)的計(jì)算方法：先算出jn前面比jn大的數(shù)kn。然后數(shù)出jn-1前面比jn-1大的數(shù)kn-1。從后向前，用類似方法計(jì)算,下去，直到算出j2前面比j2大的數(shù)K2,于是得到排列的逆序數(shù)為 例1：計(jì)算下列排列的逆序數(shù)。并判斷其奇偶性 (1) 2431 (2) 54231 (3) n(n-1)3 2 1 (4) 135(2n-1)246 2n,練習(xí) 求i，j使25i4j1為偶排列。,解 6元排列使i、j只能取3或6；由于,所以，i=6,j=3。,奇排列,偶排列,（偶數(shù)）,定理：經(jīng)過一次對換，排列的奇偶性改變 證明： 1 先證相鄰兩數(shù)對換 該排列ij ji 當(dāng)ij時，j的逆序減少1，而i

4、的逆序不變 改變了奇偶性 2再證一般性 該排列ik1k2kmj,一共經(jīng)過2m+1次相鄰對換，也改變了奇偶性。 例4 若排列j1j2jn的逆序數(shù)(j1j2jn)=K 證明：,1.2 n階行列式,一、二階與三階行列式 中學(xué)階段，我們學(xué)過用加減消元，也稱高斯消元解二元線性方程組 為了消去x2 (1)xa22-(2)xa12得,(a11a22a12a21)x1=b1a22b2a12 當(dāng)a11a22-a12a210 唯一解,但當(dāng)a11a22-a12a21=0時結(jié)果怎樣?,如 當(dāng)14-22=0 實(shí)際上只有一個有效方程.此時有無窮多解. 又如 當(dāng)14-22=0 但兩方程矛盾 無解,顯然,a11a22a12a

5、210是方程組是否有解起了關(guān)鍵作用. 定義1.4 為二階行列式,aij(i,j=1,2)為元素i為行標(biāo), j為列標(biāo),對角線法則:主對角元乘積減去次對角元乘積.因此,當(dāng)a11a22a12a210時,其中D稱系數(shù)行列式.D1,D2分別為用常數(shù)項(xiàng)分別代替1,2列 同樣可定義由9個元素排成的3行3列構(gòu)成的行列式為3階行列式,（展開式）,對角線展開法則：主對角線的元素乘積之和減去次對角線元素乘積之和,注意：1.對角線法則只適用二階、三階行列式。 2.展開式的每一項(xiàng)都是由不同的行，不同的列的元素相乘而得的。 3.符號規(guī)律：主對角線方向?yàn)檎螌蔷€方向?yàn)樨?fù)。換個說法，當(dāng)行標(biāo)按自然數(shù)排列排好后，列標(biāo)為偶排列

6、取正號，列標(biāo)為奇排列取負(fù)號。,故展開式可表為： 例5 計(jì)算,例6 解方程,二、n階行列式 定義1.5 由n2個數(shù) aij(i,j=1,2n) 組成的符號,特點(diǎn)：1. n=1，|a11|=a11為一階行列式 4. 行標(biāo)按自然排列，符號由列標(biāo)排列的奇偶性決定,5.列標(biāo)按自然排列,符號由行標(biāo)排列的奇偶性決定. 例6 1.下列各項(xiàng)中,為五階行列式帶正號的項(xiàng): (A) a13a44a32a41a55 (B) a21a32a41a15a54 (C) a31a25a43a14a52 (D) a15a31a22a44a53,解:由定義可知(A)、(B)不是五階行列式的項(xiàng)(C)、(D)是五階行列式的項(xiàng)而(C)可

7、寫成 a14a25a31a43a52 (行標(biāo)按自然排列) (45132)=7 (C)為帶負(fù)號的項(xiàng) (D)可寫成,a15a22a31a44a53 (行標(biāo)按自然排列) (52143)=2+1+2+1=6 選(D) 例7 練習(xí)1.21. 例8 計(jì)算下三角行列式,解：由定義,除了a11a22a33ann這一項(xiàng)外。其余各均均為0 D=(-1)(123n)a11a22ann =a11a22ann 結(jié)論：下三角行列式等于主對角元素乘積,例9 幾個特殊的n階行列式 1.上(下)三角行列式,=a11a22ann,2.主對角行列式,3.次(副)對角行列式,例10 (1)一個n階行列式中(展開式)帶正號的項(xiàng)有：,解：,例11 用定義計(jì)算行列式,當(dāng)i3=2行時,i4=4行 a44=3 當(dāng) i3=4時,i4=2行 a24=2,例12 計(jì)算行列式,解：,解：,1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的.,2、 階行列式