1、第五模塊平面向量 第二十三講 平面向量的概念及線性運算,回歸課本,1.向量的概念 (1)把既有大小又有方向的量叫做向量. (2)把只有大小,沒有方向的量(如年齡身高長度面積體積質量等),稱為數量. (3)向量的大小叫做向量的長度(或模).長度為零的向量叫零向量,記作0,零向量的方向任意,規(guī)定零向量與任意向量平行(共線).,(4)相等向量是指大小相等,方向相同的向量;相反向量是指大小相等,方向相反的向量,規(guī)定零向量的相等向量是0,零向量的相反向量是0. (5)方向相同或相反的向量叫平行向量,也叫共線向量.長度為1的向量叫做單位向量.,2.向量的線性運算 (1)向量加法的定義 已知向量ab,如圖,

2、平面內任取一點A,作 b,再作 則 叫做a與b的和,記作a+b.,即 求兩個向量和的運算叫做向量的加法.,(2)向量求和的三角形法則 利用向量加法的定義求兩個向量和的作圖法則,叫做向量求和的三角形法則.在運用此法則時,要注意“首尾相接”,即兩個向量的和向量是從第一個向量的起點指向第二個向量終點的向量.,(3)向量求和的平行四邊形法則 已知兩個不共線向量ab,作 對ABD三點不共線,以ABAD為鄰邊作平行四邊形ABCD,則對角線上的向量是 =a+b,這個法則叫做兩向量求和的平行四邊形法則.,(4)向量的減法 向量a加上向量b的相反向量叫做a與b的差,記作a-b,若 則 (5)實數與向量積的定義:

3、 實數與向量a的積是一個向量,記作a,|a|=|a|,當0時,a與a方向相同;0時,a與a方向相反;=0時,a=0.,(6)向量的加法減法和向量的數乘的綜合運算通常叫做向量的線性運算.向量加法的交換律表達式為a+b=b+a;向量加法的結合律表達式為(a+b)+c=a+(b+c). 若,為實數,則 (+)a=a+a (a)=a (a+b)=a+b.,3.向量共線的條件 平行向量基本定理:如a=b,則ab,如果ab(b0),則存在惟一實數使a=b.,考點陪練,答案:B,答案:B,A.ABC三點必在同一直線上 B.ABC必為等腰三角形且B為頂點 C.ABC必為直角三角形且B為直角 D.ABC必為等腰

4、直角三角形,答案:C,答案:D,答案:C,類型一向量的有關概念 解題準備:準確理解向量的基本概念是解決這類題目的關鍵.共線向量即為平行向量,非零向量平行具有傳遞性,兩個向量方向相同或相反就是共線向量,與向量長度無關,兩個向量方向相同且長度相等,才是相等向量.共線向量或相等向量均與向量起點無關.,【典例1】判斷下列命題是否正確 (1)若|a|=|b|,則a=b; (2)若ABCD是不共線的四點,則 是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件; (3)若a=b,b=c,則a=c; (4)a=b的充要條件是,(5)|a|=|b|是a=b的必要不充分條件. (6)平行向量就是共線向量; (7)相反向量一定

5、是平行向量; (8)平面內4個不同點ABCD共線的充要條件是存在非零實數k,使得 (9)已知a是任一個非零向量,則 是一個單位向量.,解(1)不正確,兩個向量的長度相等,但它們的方向不一定相同,因此,由|a|=|b|不能推出a=b. (2)正確, ,且 又ABCD是不共線的四點, 四邊形ABCD是平行四邊形. 反之,若四邊形ABCD是平行四邊形,則 且 與 方向相同,因此,(3)正確,a=b,ab的長度相等且方向相同. 又b=c,bc的長度相等且方向相同. ac的長度相等且方向相同,故a=c. (4)不正確,當ab且方向相反時,即使|a|=|b|也不能得到a=b.故 不是a=b的充要條件,而是

6、必要不充分條件. (5)正確,|a|=|b|a=b,但a=b|a|=|b|. |a|=|b|是a=b的必要不充分條件.,(6)正確.不同于平面幾何中的平行與共線的概念,向量的平行與共線是同一概念. (7)正確.由相反向量的定義可知(7)正確. (8)不正確.點的共線與向量的共線是不同的概念. (9)正確.由單位向量的定義可知模長為1的向量即為單位向量,而 答案(1)(4)(8)不正確,(2)(3)(5)(6)(7)(9)正確,反思感悟熟練掌握有關基本概念是解決此類小題的關鍵.,類型二向量的線性運算及應用 解題準備:1.向量的加法:(1)定義:求兩個向量和的運算,叫做向量的加法;(2)法則:三角

7、形法則,平行四邊形法則;(3)運算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c). 2.向量的減法:(1)定義:求兩個向量差的運算,叫做向量的減法;(2)法則:三角形法則.(3) 常用于向量式的化簡.,3.實數與向量的積:(1)定義:實數與向量a的積是一個向量,記作a,規(guī)定:|a|=|a|.當0時,a的方向與a的方向相同;當0時,a的方向與a的方向相反;當=0時,a=0.由此可見,總有a與a平行;(2)運算律:(ua)=(u)a,(+u)a=a+ua,(a+b)=a+b.,反思感悟在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中,選用從同一頂點發(fā)現的基本向量或首尾相連的向量,運用向量加、減法運

8、算及數乘運算來求解,即充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關系,運用三角形、平行四邊形法則,充分利用三角形中的中位線,相似三角形對應邊成比例的平面幾何的性質,把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解.,類型三數乘向量與共線向量定理的應用 解題準備:(1)向量共線是指存在實數使兩向量互相表示. (2)向量共線的充要條件中,通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,要注意待定系數法的運用和方程思想. (3)證明三點共線問題,可用向量共線來解決,但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系,當兩向量共線且有公共點時,才能得出三點共線.,(2)ka+b與a+kb共線, 存在實數,使ka+b=(a

9、+kb), 即ka+b=a+kb. (k-)a=(k-1)b. a、b是不共線的兩個非零向量. k-=k-1=0,k2-1=0. k=1.,反思感悟(1)向量共線的充要條件中要注意當兩向量共線時,通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,要注意待定系數法的運用和方程思想. (2)證明三點共線問題,可用向量共線來解決,但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系,當兩向量共線且有公共點時,才能得到三點共線.,錯源一忽視零向量性質致誤 【典例1】下列敘述錯誤的是_. 若ab,bc,則ac; 若非零向量a與b方向相同或相反,則a+b與a、b之一的方向相同; |a|+|b|=|a+b|a與b方向相同; 向

10、量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個實數,使得b=a; 若a=b,則a=b.,剖析忽視零向量的特殊性是本題出錯的主要原因,本題前四個結論都與此有關;另外兩個相反向量的和是一個零向量,不是實數零;最后一個結論可能忽視了=0的情況.,正解這六個命題都是錯誤的,因為對于,當b=0,a不一定與c平行; 對于,當a+b=0時,其方向任意,它與a、b的方向都不相同; 對于,當a、b之一為零向量時結論不成立; 對于,當a=0,且b=0,有無數個值;當a=0但b0,不存在. 對于,由于兩個向量之和得到的仍是一個向量,所以 對于,當=0時,不管a與b的大小與方向如何,都有a=b,此時不一定有a=b.,答案

11、評析零向量的特殊性 零向量是向量中最特殊的向量,規(guī)定零向量的長度為0,其方向是任意的,零向量與任意向量都共線.它在向量中的位置正如實數中0的位置一樣,但有了它容易引起一些混淆,稍微考慮不到就會出錯,考生應給予足夠的重視.,錯源二錯用實數運算律或運算法則,錯解|a+b+c|=|a|+|b|+|c|= 剖析上述解法受實數運算律和運算法則的影響致錯.,答案4,技法一數形結合思想 【典例1】已知任意四邊形ABCD,O為其內部一點,且滿足 試確定該點的位置. 解題切入點條件中涉及四個向量的和的問題,為了利用向量的加法法則,我們可把四個向量之和的問題,轉化為向量兩兩相加的情形來解決.,解點O是四邊形ABCD對邊中點連線的交點,證明如下: 如圖,以OA、OD為鄰邊作AODE,設OE與AD交于I;以OB、OC為鄰邊作BOCF,設OF與BC交于J,于是I、J分別是AD與BC的中點.,技法二分類討論思想 【典例2】已知向量a、b,求作向量c,使a+b+c=0