1、第三章 集合與關(guān)系,4-4 基數(shù)的概念 授課人：李朔 Email:,一、后繼集,比較兩個(gè)集合的“大小”，確定有限集和無限集的概念，首先需要引進(jìn)自然數(shù)集合。 定義4-4.1 給定集合A的后繼集定義為集合： A+=A A 若A為空集 ，則后繼集為+,(+)+, (+)+)+,這些集合可寫成如下形式： , , 簡(jiǎn)化為：、,、, 若若命名集合為0，那么 +=0+=1，1+= ,=2 2+=,一、自然數(shù)集,這樣就得到自然數(shù)集合0,1,2,3,，這個(gè)集合亦能概括成如下公理形式(G.Peano皮亞諾公理)： (1) ； (2) 若 ，則 ； (3) 如果子集 具有性質(zhì)： ， 若 ，有 ， 則S = N。 性

2、質(zhì)3)稱極小性質(zhì)，它指明了自然數(shù)系統(tǒng)的最小性，即自然數(shù)系統(tǒng)是滿足公理1)和2)的最小集合。當(dāng)然，自然數(shù)集亦可不從0開始，這只需定義為1則自然數(shù)集就從1開始。,2、等勢(shì),從上述定義可以看到，任意一個(gè)自然數(shù)可看作是一個(gè)集合的名。此外，從實(shí)際生活中我們知道任意自然數(shù)，例如3這個(gè)概念是從觀察許多只含三個(gè)元素的集合的共同特點(diǎn)而加以抽象概括出來的，這個(gè)共同特點(diǎn)就是體現(xiàn)于這些被觀察的任意一個(gè)集合的元素都可與集合,中元素存在一一對(duì)應(yīng)，且其任意兩個(gè)集合的元素之間也存在一一對(duì)應(yīng)。由此可見，“對(duì)應(yīng)”是集合之間進(jìn)行比較的一個(gè)非常重要的概念。 定義4-4.2 給定兩個(gè)集合P與Q，如果我們對(duì)P中每個(gè)不同元素，與Q中每個(gè)不

3、同元素，可以分別兩兩成對(duì)，那么我們說P的元素與Q的元素間存在著一一對(duì)應(yīng)。 例如，2，4，6，8，2n，與1，3，5，2n-1，之間存在著一一對(duì)應(yīng)的。,2、等勢(shì),定義4-4.3 當(dāng)且僅當(dāng)集合A的元素與集合B的元素之間存在著一一對(duì)應(yīng)，集合A與集合B稱為是等勢(shì)的(或稱同濃的)。記作AB。 例題1 驗(yàn)證自然數(shù)集N與非負(fù)偶數(shù)集合M是等勢(shì)的。證明： 因?yàn)镹與M的元素之間可作一一對(duì)應(yīng)的映射，即f(n)2n 例題2 設(shè)P為實(shí)數(shù)集合，S是P的子集，即SP，且 Sx|xPOxl，證明 SP證明：令f：PS f(x) 顯然f的值域是S，且f是雙射函數(shù)。,2、等勢(shì),定理4-4.1 在集合族上等勢(shì)關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。

4、證明 設(shè)集合族為Sa)對(duì)任意AS，必有AA。b)若A，BS，如果AB，必有BA。c)若A，B，CS，如果AB且BC，必有AC。,3、有限集和無限集,定義4-4.4 如果有一個(gè)從集合0，1，g一1到A的雙射函數(shù)，那么稱集合A是有限的；如果集合A不是有限的，則它是無限的。 定理4-4.2 自然數(shù)集合N是無限的。證明 設(shè)n是N的任意元素，f是任意的從0，1，n-1到N的函數(shù)。設(shè)k1+maxf(0)，f(1)，f(n-1)，那么kN，但對(duì)每一個(gè)x0，1，n-1，有f(x)k。因此f不能是滿射函數(shù)，即f也不是雙射函數(shù)。因?yàn)閚和f都是任意的，故N是無限的。 對(duì)于有限集的大小概念很易理解，對(duì)于無限集的度量要考慮到集合的等勢(shì)關(guān)系。,4、基數(shù),設(shè)有集合A，一切與該集合等勢(shì)的集合，其元素之間可以一一對(duì)應(yīng)，若以此作為度量標(biāo)準(zhǔn)，我們可有如下定義。 定義4-4.5 集合A中元素的個(gè)數(shù)稱為集合A的基數(shù)，記為KA(或 ) 從基數(shù)的定義可以看到，有限集合的基數(shù)就是其元素的個(gè)數(shù)。這里約定空集的基數(shù)為0。 例如，A(a，b，c)，B ， ， ， ，C桌、燈泡，教室，因?yàn)锳RC，即KAKBKC。KAA，B，C， *可以看到，如果兩個(gè)集合能夠建立雙射函數(shù)，則兩集合元素間必一一對(duì)應(yīng)，從基數(shù)的定義可以知道，該兩集合應(yīng)具有相同的基數(shù)。,4、基數(shù),例題3 證明區(qū)間0,1與(0,