1、1,第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收,2,最佳接收或信號(hào)接收最佳化是通信理論中一個(gè)重要的問題。 最佳接收理論研究從噪聲中如何最好地提取有用信號(hào)。 “最好”或“最佳”的概念是在某個(gè)準(zhǔn)則意義下說的一個(gè)相對(duì)概念。,3,數(shù)字通信系統(tǒng)中，接收機(jī)觀察到接收波形是隨機(jī)波形； 帶噪聲的數(shù)字信號(hào)的接收過程是一個(gè)統(tǒng)計(jì)判決的過程。,4,10.1數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性 以二進(jìn)制接收電壓的統(tǒng)計(jì)特性。 假設(shè)：通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為0的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0；并設(shè)發(fā)送的二進(jìn)制碼元為“0”和“1”，其發(fā)送概率分別為P(0)和P(1)，則有 P(0) + P(1) = 1 若此通信系統(tǒng)的基帶截止頻率小于fH，接收噪聲電

2、壓n(t)抽樣值： 抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH，在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間Ts內(nèi)共得到k個(gè)抽樣值，k 2fHTs。,5,由于每個(gè)噪聲電壓抽樣值都是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，故其一維概率密度可以寫為 式中，n 噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差； n2 噪聲的方差，即噪聲平均功率； i 1，2，k。 設(shè)接收噪聲電壓n(t)的k個(gè)抽樣值的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為,6,由高斯噪聲的性質(zhì)可知，高斯噪聲的概率分布通過帶限線性系統(tǒng)后仍為高斯分布。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關(guān)、互相獨(dú)立的。這樣，此k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為 當(dāng)k 很大時(shí)，在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間Ts內(nèi)接收的噪聲平均功率可以表示為

3、： 或者將上式左端的求和式寫成積分式，則,7,注意到 式中 n0 噪聲單邊功率譜密度 則： 式中 n = (n1, n2, , nk) k 維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)噪聲的k個(gè)抽樣值。 n是一個(gè)k維矢量，可以看作是k 維空間中的一個(gè)點(diǎn)。,8,在碼元持續(xù)時(shí)間Ts、噪聲單邊功率譜密度n0和抽樣數(shù)k給定后，f(n)僅決定于該碼元期間內(nèi)噪聲的能量： 由于噪聲的隨機(jī)性，每個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間內(nèi)噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸?shù)拇a元中有一些會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，而另一些則無錯(cuò)。,9,設(shè)接收電壓r(t)為信號(hào)電壓s(t)和噪聲電壓n(t)之和: r(t) = s(t) + n(t) 則在發(fā)送碼元確定之后，接收電壓r(t

4、)的隨機(jī)性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為n2，但是均值變?yōu)閟(t)。所以，當(dāng)發(fā)送碼元“0”的信號(hào)波形為s0(t)時(shí)，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 式中 r = s + n k 維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)接收電壓的k個(gè)抽 樣值； s k 維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)信號(hào)電壓的k個(gè)抽樣值。,10,同理，當(dāng)發(fā)送碼元“1“的信號(hào)波形為s1(t)時(shí)，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 若通信系統(tǒng)傳輸?shù)氖荕 進(jìn)制碼元，即可能發(fā)送s1，s2，si，sM之一，則按上述原理不難寫出當(dāng)發(fā)送碼元是si時(shí)，接收電壓的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 r 是k維空間的一個(gè)點(diǎn)。,11,10.2 數(shù)字信號(hào)

5、的最佳接收 “最佳”的準(zhǔn)則：錯(cuò)誤概率最小 產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：暫不考慮失真的影響，主要討論在二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中如何使噪聲引起的錯(cuò)誤概率最小。 判決規(guī)則 設(shè)在一個(gè)二進(jìn)制通信系統(tǒng)中發(fā)送碼元“1”的概率為P(1)，發(fā)送碼元“0”的概率為P(0)，則總誤碼率Pe等于 式中 Pe1 = P(0/1) 發(fā)送“1”時(shí)，收到“0”的條件概率； Pe0 = P(1/0) 發(fā)送“0”時(shí)，收到“1”的條件概率； 上面這兩個(gè)條件概率稱為錯(cuò)誤轉(zhuǎn)移概率。,12,由接收矢量決定的兩個(gè)聯(lián)合概率密度函數(shù)f0(r)和f1(r)的曲線畫在下圖中： 可以將此空間劃分為兩個(gè)區(qū)域A0和A1，其邊界是r0，并將判決規(guī)則規(guī)定為： 若接收矢量落

6、在區(qū)域A0內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“0”； 若接收矢量落在區(qū)域A1內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“1”。,13,這樣，總誤碼率可以寫為 式中，P(A0/1)表示發(fā)送“1”時(shí)，矢量r落在區(qū)域A0的條件概率 P(A1/0)表示發(fā)送“0”時(shí)， 矢量r落在區(qū)域A1的條件概率 這兩個(gè)條件概率可以寫為： 這兩個(gè)概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。,14,將上兩式代入 得到 即 上式表示Pe是r0的函數(shù)。為了求出使Pe最小的判決分界點(diǎn)r0，將上式對(duì)r0求導(dǎo) 并令導(dǎo)函數(shù)等于0， 求出最佳分界點(diǎn)r0的條件：,15,即 當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)，即P(1) = P(0)時(shí)，f0(r0) = f1(r0)，所以最佳分界點(diǎn)位于圖中兩條曲線交

7、點(diǎn)處的r 值上。 在判決邊界確定之后，按照接收矢量r 落在區(qū)域A0應(yīng)判為收到的是“0”的判決準(zhǔn)則，這時(shí)有： 若 則判為“0” ； 反之，若 則判為“1” 。 在發(fā)送“0”和發(fā)送“1”的先驗(yàn)概率相等時(shí)，上兩式的條件簡(jiǎn)化為：,16,這個(gè)判決準(zhǔn)則常稱為最大似然準(zhǔn)則。按照這個(gè)準(zhǔn)則判決就可以得到理論上最佳的誤碼率，即達(dá)到理論上的誤碼率最小值。 推廣到多進(jìn)制信號(hào)的場(chǎng)合：設(shè)在一個(gè)M 進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，可能的發(fā)送碼元是s1，s2，si，sM之一，它們的先驗(yàn)概率相等，能量相等。當(dāng)發(fā)送碼元是si時(shí)，接收電壓的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 于是，若 則判為si(t)，其中，,17,10.3 確知數(shù)字信號(hào)的最佳接收機(jī)

8、確知信號(hào)：指其取值在任何時(shí)間都是確定的、可以預(yù)知的信號(hào)。如恒參信道中 判決準(zhǔn)則 當(dāng)發(fā)送碼元為“0”，波形為so(t)時(shí)，接收電壓的概率密度為 當(dāng)發(fā)送碼元為“1”，波形為s1(t)時(shí)，接收電壓的概率密度為 因此，將上兩式代入判決準(zhǔn)則式，經(jīng)過簡(jiǎn)化，得到：,18,若 則判為發(fā)送碼元是s0(t)；若 則判為發(fā)送碼元是s1(t)。 將上兩式的兩端分別取對(duì)數(shù)，得到若 則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之則判為發(fā)送碼元是s1(t)。 假設(shè)兩個(gè)碼元的能量相同，即 判決規(guī)則還可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化：,19,若 式中 則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之，則判為發(fā)送碼元是s1(t)。 W0和W1可以看作是由先驗(yàn)概率決定的加權(quán)因子

9、。 最佳接收機(jī) 最佳接收機(jī)原理方框圖如下：,20,21,若此二進(jìn)制信號(hào)的先驗(yàn)概率相等，則上式 簡(jiǎn)化為 最佳接收機(jī)的原理方框圖也可以簡(jiǎn)化成,22,由上述討論不難推出M 進(jìn)制通信系統(tǒng)的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu) 上面的最佳接收機(jī)的核心是由相乘和積分構(gòu)成的相關(guān)運(yùn)算，所以常稱這種算法為相關(guān)接收法。 由最佳接收機(jī)得到的誤碼率是理論上可能達(dá)到的最小值。,23,10.4 確知數(shù)字信號(hào)最佳接收的誤碼率 總誤碼率 在最佳接收機(jī)中，若 則判為發(fā)送碼元是s0(t)。因此，在發(fā)送碼元為s1(t)時(shí)，若上式成立，則將發(fā)生錯(cuò)誤判決。所以若將r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，則上式成立的概率就是在發(fā)送碼元“1”的條件下收

10、到“0”的概率，即發(fā)生錯(cuò)誤的條件概率P(0 / 1)。此條件概率的計(jì)算結(jié)果如下,24,式中 同理，可以求出發(fā)送s0(t)時(shí)，判決為收到s1(t)的條件錯(cuò)誤概率 式中,25,因此，總誤碼率為 先驗(yàn)概率對(duì)誤碼率的影響 當(dāng)先驗(yàn)概率P(0) = 0及P(1) = 1時(shí)，a = - 及b = ，因此由上式計(jì)算出總誤碼率Pe = 0。在物理意義上，這時(shí)由于發(fā)送碼元只有一種可能性，即是確定的“1”。因此，不會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。同理，若P(0) = 1及P(1) = 0 ，總誤碼率也為零。,26,當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)： P(0) = P(1) = 1/2，a = b。這樣，上式可以化簡(jiǎn)為 式中 上式表明，當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)

11、，對(duì)于給定的噪聲功率2，誤碼率僅和兩種碼元波形之差s0(t) s1(t)的能量有關(guān)，而與波形本身無關(guān)。差別越大，c 值越小，誤碼率Pe也越小。 當(dāng)先驗(yàn)概率不等時(shí)： 由計(jì)算表明，先驗(yàn)概率不等時(shí)的誤碼率將略小于先驗(yàn)概率相等時(shí)的誤碼率。就誤碼率而言，先驗(yàn)概率相等是最壞的情況。,27,先驗(yàn)概率相等時(shí)誤碼率的計(jì)算 在噪聲強(qiáng)度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號(hào)碼元的區(qū)別。為了定量地描述碼元區(qū)別，定義碼元的相關(guān)系數(shù) 如下： 式中 E0、E1為信號(hào)碼元的能量。 當(dāng)s0(t) = s1(t)時(shí)，1，為最大值；當(dāng)s0(t) = -s1(t)時(shí)，1，為最小值。 的取值范圍在-1 +1。,28,當(dāng)兩碼元的能量相等時(shí)，

12、令E0 = E1 = Eb，則上式可以寫成 并且 將上式代入誤碼率公式，得到 再作如下的代數(shù)變換： 則有,29,于是上式變?yōu)?式中 誤碼率最終表示式：,30,式中 誤差函數(shù) 補(bǔ)誤差函數(shù) Eb 碼元能量； 碼元相關(guān)系數(shù)； n0 噪聲功率譜密度。 上式是一個(gè)非常重要的理論公式，它給出了理論上二進(jìn)制等能量數(shù)字信號(hào)誤碼率的最佳（最小可能）值。在下圖中畫出了它的曲線。實(shí)際通信系統(tǒng)中得到的誤碼率只可能比它差，但是絕對(duì)不可能超過它。,31,誤碼率曲線,dB,32,最佳接收性能特點(diǎn) 誤碼率僅和Eb / n0以及相關(guān)系數(shù)有關(guān)，與信號(hào)波形及噪聲功率無直接關(guān)系。 碼元能量Eb與噪聲功率譜密度n0之比，實(shí)際中相當(dāng)于信

13、號(hào)噪聲功率比Ps/Pn。因?yàn)槿粝到y(tǒng)帶寬B等于1/Ts， 則有 按照能消除碼間串?dāng)_的奈奎斯特速率傳輸基帶信號(hào)時(shí)，所需的最小帶寬為(1/2Ts) Hz。對(duì)于已調(diào)信號(hào)，若采用的是2PSK或2ASK信號(hào)，則其占用帶寬應(yīng)當(dāng)是基帶信號(hào)帶寬的兩倍，即恰好是(1/Ts) Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)當(dāng)作信號(hào)噪聲功率比看待。,33,相關(guān)系數(shù) 對(duì)于誤碼率的影響。 當(dāng)兩種碼元的波形相同，相關(guān)系數(shù)最大，即 = 1時(shí)，誤碼率最大。這時(shí)的誤碼率Pe = 1/2。因?yàn)檫@時(shí)兩種碼元波形沒有區(qū)別，接收端是在沒有根據(jù)的亂猜。 當(dāng)兩種碼元的波形相反，相關(guān)系數(shù)最小，即 = -1時(shí)，誤碼率最小。這時(shí)的最小誤碼率等于 例如

14、，2PSK信號(hào)的相關(guān)系數(shù)就等于 -1。 當(dāng)兩種碼元正交，即相關(guān)系數(shù) 等于0時(shí)，誤碼率等于 例如，2FSK信號(hào)的相關(guān)系數(shù)就等于或近似等于零。,34,若兩種碼元中有一種的能量等于零，例如2ASK信號(hào)，則 誤碼率為 比較以上3種情況，它們之間的性能差3dB，即2ASK信號(hào)的性能比2FSK信號(hào)的性能差3dB，而2FSK信號(hào)的性能又比2PSK信號(hào)的性能差3dB。,35,多進(jìn)制通信系統(tǒng) 若不同碼元的信號(hào)正交，且先驗(yàn)概率相等，能量也相等，則其最佳誤碼率計(jì)算結(jié)果如下： 式中，M 進(jìn)制數(shù)； E M 進(jìn)制碼元能量； n0 單邊噪聲功率譜密度。 由于一個(gè)M 進(jìn)制碼元中含有的比特?cái)?shù)k 等于log2M，故每個(gè)比特的能量

15、等于 并且每比特的信噪比為 下圖畫出了誤碼率Pe與Eb/n0關(guān)系曲線。,36,誤碼率曲線 由此曲線看出，對(duì)于 給定的誤碼率，當(dāng)k 增大時(shí)，需要的信噪 比Eb/n0減小。當(dāng)k 增 大到時(shí)，誤碼率曲 線變成一條垂直線； 這時(shí)只要Eb/n0等于 0.693(-1.6 dB)，就能 得到無誤碼的傳輸。,37,確知信號(hào) 接收信號(hào) 隨參信號(hào) 隨機(jī)相位信號(hào) 起伏信號(hào),38,確知信號(hào)：所有參數(shù)(幅度、頻率、相位、到達(dá)時(shí)間等)都確知，未知的只是信號(hào)出現(xiàn)與否。 隨機(jī)相位信號(hào)，除相位外其余參數(shù)都確知的信號(hào)。 起伏信號(hào)指振幅、相位都是隨機(jī)參數(shù)，而其余參數(shù)是確知的。,39,10.5 隨相數(shù)字信號(hào)的最佳接收 恒參信道傳輸

16、后，傳輸延遲的不確定性使碼元相位帶有隨機(jī)性。假設(shè)： 2FSK信號(hào)的能量相等、先驗(yàn)概率相等、互不相關(guān)； 通信系統(tǒng)中存在帶限白色高斯噪聲； 接收信號(hào)碼元相位的概率密度服從均勻分布。 此信號(hào)表示為： 其隨機(jī)相位的概率密度為：,40,判決條件：由于已假設(shè)碼元能量相等 對(duì)于確知信號(hào)先驗(yàn)概率相等的信號(hào)： 若接收矢量r使f1(r) f0(r)，則判發(fā)送碼元是“0”， 若接收矢量r使f0(r) f1(r)，則判發(fā)送碼元是“1”。 現(xiàn)在，由于接收矢量具有隨機(jī)相位，故上式中的f0(r)和f1(r)分別可以表示為： 上兩式經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算后，代入判決條件，就可以得出最終的判決條件：,41,若接收矢量r 使M12 M0

17、2，則判為發(fā)送碼元是“0”， 若接收矢量r 使M02 M12，則判為發(fā)送碼元是“1”。 上面就是最終判決條件，其中： 按照上面判決準(zhǔn)則構(gòu)成的隨相信號(hào)最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)示于下圖中。,42,最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu),43,誤碼率： 隨相信號(hào)最佳接收機(jī)的誤碼率，結(jié)果如下： 上述最佳接收機(jī)及其誤碼率也就是2FSK確知信號(hào)的非相干接收機(jī)和誤碼率。因?yàn)殡S相信號(hào)的相位帶有由信道引入的隨機(jī)變化，所以在接收端不可能采用相干接收方法。換句話說，相干接收只適用于相位確知的信號(hào)。對(duì)于隨相信號(hào)而言，非相干接收已經(jīng)是最佳的接收方法了。,44,10.6 起伏數(shù)字信號(hào)的最佳接收 包絡(luò)相位都隨機(jī)變化，如衰落信號(hào)?？紤]2FSK信號(hào) 假設(shè)：

18、 通信系統(tǒng)中的噪聲是帶限白色高斯噪聲； 信號(hào)是互不相關(guān)的等能量、等先驗(yàn)概率的2FSK信號(hào)。 2FSK信號(hào)的表示式 式中，A0和A1是由于多徑效應(yīng)引起的隨機(jī)起伏振幅，它們服從同一瑞利分布：,45,式中，s2為信號(hào)的功率； 0和1的概率密度服從均勻分布： 此外，由于Ai是余弦波的振幅，所以信號(hào)si(t, i, Ai)的功率s2和其振幅Ai的均方值之間的關(guān)系為,46,接收矢量的概率密度: 由于接收矢量不但具有隨機(jī)相位，還具有隨機(jī)起伏的振幅，故此概率密度f0(r)和f1(r)分別可以表示為：,47,經(jīng)過繁復(fù)的計(jì)算，上兩式的計(jì)算結(jié)果如下： 式中 n0 噪聲功率譜密度； n2 噪聲功率。,48,誤碼率：

19、實(shí)質(zhì)上，和隨相信號(hào)最佳接收時(shí)一樣，比較f0(r)和f1(r)仍然是比較M02和M12的大小，起伏信號(hào)最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)和隨相信號(hào)最佳接收機(jī)的一樣。但是，這時(shí)的最佳誤碼率則不同于隨相信號(hào)的誤碼率。這時(shí)的誤碼率等于 式中， 接收碼元的統(tǒng)計(jì)平均能量。,49,誤碼率曲線 由此圖看出，在有衰落時(shí)， 性能隨誤碼率下降而迅速 變壞。當(dāng)誤碼率等于10-2 時(shí)，衰落使性能下降約 10 dB；當(dāng)誤碼率等于10-3 時(shí)，下降約20 dB。,50,10.7 實(shí)際接收機(jī)和最佳接收機(jī)的性能比較,實(shí)際接收機(jī)的Pe,最佳接收機(jī)的Pe,51,普通接收機(jī)與最佳接收機(jī)的性能在公式的形式上是一樣的。 普通接收系統(tǒng)的r(r=S/N)與最

20、佳接收系統(tǒng)的Eb/n0相對(duì)應(yīng)。 分析r和Eb/n0的關(guān)系。,52,對(duì)于普通接收機(jī)，設(shè)濾波器的帶寬為B， 對(duì)于最佳接收機(jī)的,53,實(shí)際的帶通濾波器帶寬B總是大于或等于1T 故在同樣的輸入條件下，普通接收系統(tǒng)的性能總是比最佳接收系統(tǒng)的差。這個(gè)差值，將取決于B與1T的比值。,54,10.8 數(shù)字信號(hào)的匹配濾波接收法 什么是匹配濾波器？ 用線性濾波器對(duì)接收信號(hào)濾波時(shí)，使抽樣時(shí)刻上輸出信號(hào)噪聲比最大的線性濾波器稱為匹配濾波器。 假設(shè)條件： 接收濾波器的傳輸函數(shù)為H(f)，沖激響應(yīng)為h(t)，濾波器輸入碼元s(t)的持續(xù)時(shí)間為Ts，信號(hào)和噪聲之和r(t)為 式中，s(t) 信號(hào)碼元， n(t) 高斯白噪聲

21、；,55,并設(shè)信號(hào)碼元s(t)的頻譜密度函數(shù)為S(f)，噪聲n(t)的單邊功率譜密度n0 輸出電壓 假定濾波器是線性的，根據(jù)線性電路疊加定理，當(dāng)濾波器輸入電壓r(t)中包括信號(hào)和噪聲兩部分時(shí)，濾波器的輸出電壓y(t)中也包含相應(yīng)的輸出信號(hào)so(t)和輸出噪聲no(t)兩部分，即 式中,56,輸出噪聲功率No等于 輸出信噪比 在抽樣時(shí)刻t0上，輸出信號(hào)瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比為,57,匹配濾波器的傳輸特性： 利用施瓦茲不等式求 r0的最大值 若 其中k為任意常數(shù)，則上式的等號(hào)成立。 將上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令 則有 式中,58,而且當(dāng) 時(shí)，上式的等號(hào)成立，即得到最大輸出信噪比

22、2E/n0。 上式表明，H(f)就是我們要找的最佳接收濾波器傳輸特性。它等于信號(hào)碼元頻譜的復(fù)共軛（除了常數(shù)因子外）。故稱此濾波器為匹配濾波器。,59,匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)： 由上式可見，匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)就是信號(hào)s(t)的鏡像s(-t)，但在時(shí)間軸上（向右）平移了t0。,60,圖解,61,實(shí)際的匹配濾波器 一個(gè)實(shí)際的匹配濾波器應(yīng)該是物理可實(shí)現(xiàn)的，其沖激響應(yīng)必須符合因果關(guān)系，在輸入沖激脈沖加入前不應(yīng)該有沖激響應(yīng)出現(xiàn)，即必須有： 即要求 或 上式的條件說明，接收濾波器輸入端的信號(hào)碼元s(t)在抽樣時(shí)刻t0之后必須為零。一般不希望在碼元結(jié)束之后很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選

23、t0 = Ts。故匹配濾波器的沖激響應(yīng)可以寫為,62,這時(shí)，若匹配濾波器的輸入電壓為s(t)，則輸出信號(hào)碼元的波形為： 上式表明，匹配濾波器輸出信號(hào)碼元波形是輸入信號(hào)碼元波形的自相關(guān)函數(shù)的k倍。k是一個(gè)任意常數(shù)，它與r0的最大值無關(guān)；通常取k 1。,63,【例10.1】設(shè)接收信號(hào)碼元s(t)的表示式為 試求其匹配濾波器的特性和輸出信號(hào)碼元的波形。 【解】上式所示的信號(hào)波形是一個(gè)矩形脈沖，如下圖所示。 其頻譜為 由 令k = 1，可得其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為 由 令k = 1，還可以得到此匹配濾波器的沖激響應(yīng)為,64,此沖激響應(yīng)示于下圖。 表面上看來，h(t)的形狀和信號(hào)s(t)的形狀一樣。實(shí)際

24、上，h(t)的形狀是s(t)的波形鏡像再右移Ts而來。 由 可以求出此匹配濾波器的 輸出信號(hào)波形如下：,65,由其傳輸函數(shù) 可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下： 因?yàn)樯鲜街械?1/j2f)是理想積分器的傳輸函數(shù)，而exp(-j2fTs)是延遲時(shí)間為Ts的延遲電路的傳輸函數(shù)。,66,【例10.2】 設(shè)信號(hào)的表示式為 試求其匹配濾波器的特性和匹配濾波器輸出的波形。 【解】 上式給出的信號(hào)波形 是一段余弦振蕩， 如右圖所示： 其頻譜為,Ts,67,因此，其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為 上式中已令t0 = Ts。 此匹配濾波器的沖激響應(yīng)為： 為了便于畫出波形簡(jiǎn)圖，令 式中，n = 正整數(shù)。這樣，上式可以化簡(jiǎn)為

25、 h(t)的曲線示于下圖：,68,這時(shí)的匹配濾波器輸出波形可以由卷積公式求出： 由于現(xiàn)在s(t)和h(t)在區(qū)間(0, Ts)外都等于零，故上式中的積分可以分為如下幾段進(jìn)行計(jì)算： 顯然，當(dāng)t 2Ts時(shí)，式中的s()和h(t-)不相交，故s0(t)等于零。,69,當(dāng)0 t Ts時(shí)，上式等于 當(dāng)Ts t 2Ts時(shí)，上式等于 若因f0很大而使(1/4f0)可以忽略，則最后得到,70,按上式畫出的曲線示于下圖中。,71,匹配濾波器接收電路的構(gòu)成 對(duì)于二進(jìn)制確知信號(hào)，使用匹配濾波器構(gòu)成的接收電路： 兩個(gè)匹配濾波器，分別匹配于兩種信號(hào)碼元。在抽樣時(shí)刻對(duì)抽樣值進(jìn)行比較判決。哪個(gè)匹配濾波器的輸出抽樣值更大，就

26、判決那個(gè)為輸出。若此二進(jìn)制信號(hào)的先驗(yàn)概率相等，則此方框圖能給出最小的總誤碼率。,72,匹配濾波器可以用不同的硬件電路實(shí)現(xiàn)，也可以用軟件實(shí)現(xiàn)。 目前，由于軟件無線電技術(shù)的發(fā)展，它日益趨向于用軟件技術(shù)實(shí)現(xiàn)。 在上面的討論中對(duì)于信號(hào)波形從未涉及，也就是說最大輸出信噪比和信號(hào)波形無關(guān)，只決定于信號(hào)能量E與噪聲功率譜密度n0之比，所以這種匹配濾波法對(duì)于任何一種數(shù)字信號(hào)波形都適用，不論是基帶數(shù)字信號(hào)還是已調(diào)數(shù)字信號(hào)。例10.1中給出的是基帶數(shù)字信號(hào)的例子；而例10.2中給出的信號(hào)則是已調(diào)數(shù)字信號(hào)的例子。,73,匹配濾波器的性能 用匹配濾波器得到的最大輸出信噪比就等于最佳接收時(shí)理論上能達(dá)到的最高輸出信噪比：

27、 匹配濾波器輸出電壓的波形y(t) 可以寫成 在抽樣時(shí)刻Ts，輸出電壓等于 可以看出，上式中的積分是相關(guān)運(yùn)算，即將輸入r(t)與s(t)作相關(guān)運(yùn)算，而后者是和匹配濾波器匹配的信號(hào)。它表示只有輸入電壓r(t) = s(t) + n(t)時(shí)，在時(shí)刻t = Ts才有最大的輸出信噪比。式中的k是任意常數(shù)，通常令k = 1。,74,用上述相關(guān)運(yùn)算代替上圖中的匹配濾波器得到如下圖所示的相關(guān)接收法方框圖。 匹配濾波法和相關(guān)接收法完全等效，都是最佳接收方法。,75,【例10.3】設(shè)有一個(gè)信號(hào)碼元如例10.2中所給出的s(t)。試比較它分別通過匹配濾波器和相關(guān)接收器時(shí)的輸出波形。 【解】此信號(hào)碼元通過相關(guān)接收器

28、后，輸出信號(hào)波形等于 上式中已經(jīng)假定f0很大，從而結(jié)果可以近似等于t / 2，即與t 成直線關(guān)系。這兩種結(jié)果示于下圖中。由此圖可見，只有當(dāng)t = Ts時(shí)，兩者的抽樣值才相等。,76,匹配濾波器的實(shí)際應(yīng)用 匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)應(yīng)該和信號(hào)波形s(t)嚴(yán)格匹配，包括對(duì)相位也有要求。對(duì)于確知信號(hào)的接收，這是可以做到的。對(duì)于隨相信號(hào)而言，就不可能使信號(hào)的隨機(jī)相位和h(t)的相位匹配。但是，匹配濾波器還是可以用于接收隨相信號(hào)的。下面就對(duì)此作進(jìn)一步的分析。 設(shè)匹配濾波器的特性仍如例10.2所給出： 并設(shè)此匹配濾波器的輸入是r(t)，則此濾波器的輸出y(t)由卷積公式求出為：,77,式中 由上式看出，

29、當(dāng)t = Ts時(shí)，y(t)的包絡(luò)和10.5節(jié)隨相信號(hào)最佳接收判決條件式中的M0和M1形式相同。所以，按照10.5節(jié)隨相信號(hào)最佳接收時(shí)的判決準(zhǔn)則比較M0和M1，就相當(dāng)于比較上式的包絡(luò)。,78,因此，10.5節(jié)中的隨相信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)圖可以改成如下圖所示的結(jié)構(gòu)： 在此圖中，有兩個(gè)匹配濾波器，其特性分別對(duì)二進(jìn)制的兩種碼元匹配。匹配濾波器的輸出經(jīng)過包絡(luò)檢波，然后作比較判決。 由于起伏信號(hào)最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)和隨相信號(hào)的相同，所以上圖同樣適用于對(duì)起伏信號(hào)作最佳接收。,79,10.9 最佳基帶傳輸系統(tǒng) 何謂最佳基帶傳輸系統(tǒng)？ 設(shè)基帶數(shù)字信號(hào)傳輸系統(tǒng)由發(fā)送濾波器、信道和接收濾波器組成： 其傳輸函數(shù)分別為GT(

30、f)、C(f)和GR(f)。 用一個(gè)基帶總傳輸函數(shù)H(f)表示： H(f) = GT(f)C(f)GR(f),抽樣 判決,80,為了消除碼間串?dāng)_，要求H(f)必須滿足奈奎斯特第一準(zhǔn)則。當(dāng)時(shí)忽略了噪聲的影響，只考慮碼間串?dāng)_。 現(xiàn)在，我們將分析在H(f)滿足消除碼間串?dāng)_的條件之后，如何設(shè)計(jì)GT(f)、C(f)和GR(f)，以使系統(tǒng)在加性白色高斯噪聲條件下誤碼率最小。 將消除了碼間串?dāng)_并且噪聲最小的基帶傳輸系統(tǒng)稱為最佳基帶傳輸系統(tǒng)。 設(shè)計(jì)最佳基帶傳輸系統(tǒng)的方法 由于信道的傳輸特性C(f)往往不易得知，并且還可能是時(shí)變的。所以，在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，有兩種分析方法： 1）假設(shè)信道具有理想特性，即假設(shè)C(f)

31、= 1。 2）考慮到信道的非理想特性。,81,10.9.1 理想信道的最佳傳輸系統(tǒng) 最佳傳輸系統(tǒng)的條件 C(f) = 1。于是 H(f) = GT(f) GR(f) 上式中GT(f)表示發(fā)送濾波器的特性，若傳輸系統(tǒng)的輸入為沖激脈沖，則GT(f)還表示發(fā)送信號(hào)波形的頻譜。 現(xiàn)在，將分析在H(f)按照消除碼間串?dāng)_的條件確定之后，如何設(shè)計(jì)GT(f)和GR(f)，以使系統(tǒng)在加性白色高斯噪聲條件下誤碼率最小。 由對(duì)匹配濾波器頻率特性的要求可知，接收匹配濾波器的傳輸函數(shù)GR(f)應(yīng)當(dāng)是信號(hào)頻譜S(f)的復(fù)共軛。現(xiàn)在，信號(hào)的頻譜就是發(fā)送濾波器的傳輸函數(shù)GT(f)，所以要求接收匹配濾波器的傳輸函數(shù)為： 上式中

32、已經(jīng)假定k = 1。,82,由 H(f) = GT(f) GR(f) ，有 將上式代入所要求的接收匹配濾波器的傳輸函數(shù) 得到 即 上式左端是一個(gè)實(shí)數(shù)，所以上式右端也必須是實(shí)數(shù)。因此，上式可以寫為 所以得到接收匹配濾波器應(yīng)滿足的條件為,83,由于上式條件沒有限定對(duì)接收濾波器的相位要求，所以可以選用 這樣，由H(f) = GT(f) GR(f) ，得到發(fā)送濾波器的傳輸特性為 上兩式就是最佳基帶傳輸系統(tǒng)對(duì)于收發(fā)濾波器傳輸函數(shù)的要求。,84,最佳基帶傳輸系統(tǒng)的誤碼率性能 設(shè)基帶信號(hào)碼元為M 進(jìn)制的多電平信號(hào)。一個(gè)碼元可以取下列M 種電平之一： 其中d為相鄰電平間隔的一半，如下圖所示。圖中的M 8。 在接收端，判決電路的判決 門限值則應(yīng)當(dāng)設(shè)定在：,85,按照這樣的規(guī)定，在接收端抽樣判決時(shí)刻，若噪聲值不超過d，則不會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤判決。但是，當(dāng)噪聲值大于最高信號(hào)電平值或小于最低電平值時(shí)，不會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤判決；也就是說，對(duì)于最外側(cè)的兩個(gè)電平，只在一個(gè)方向有出錯(cuò)的可能。這種情況的出現(xiàn)占所有可能的1/M。所以，錯(cuò)誤概率為 式中，是噪聲的抽樣值，而P(| |d)是噪聲抽樣值大于d 的概率。 現(xiàn)在來計(jì)算上式中的P(| |d) 。設(shè)接收濾波器輸入端高斯白噪聲的單邊功率譜密度為n0，接收濾波器輸出的帶限高斯噪聲的功率為2，則有,86,上式中的積分值是一個(gè)實(shí)常數(shù)，我們假設(shè)其等于1，即