1、,電磁感應(yīng),高中物理競(jìng)賽系列講座,王玉水,物理競(jìng)賽大綱規(guī)定的考試內(nèi)容：法拉第電磁感應(yīng)定律，Lenz定律，感應(yīng)電場(chǎng)，自感系數(shù)和互感等。從考點(diǎn)內(nèi)容看，電磁感應(yīng)所涉及到的知識(shí)點(diǎn)與常規(guī)教學(xué)基本相同，但對(duì)學(xué)生能力的要求較高，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)的要求和物理方法的應(yīng)用都很高，希望同學(xué)們對(duì)于一些經(jīng)典問題有全面的理解。,1.電磁感應(yīng)現(xiàn)象,當(dāng)回路磁通量發(fā)生變化時(shí)在回路中產(chǎn)生電流的現(xiàn)象稱為電磁感應(yīng)現(xiàn)象。產(chǎn)生的電流叫感應(yīng)電流。,磁通量的變化量,感生電動(dòng)勢(shì),動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) 交流發(fā)電機(jī),內(nèi)容：導(dǎo)體回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小與穿過導(dǎo)體回路的磁通量的變化率成正比.,在 SI 制中 k =1,確定回路的繞行方向，,2.法拉第電磁感應(yīng)定律,感

2、應(yīng)電流和感應(yīng)電量,感應(yīng)電流的大小與 隨時(shí)間變化率有關(guān),感應(yīng)電量只與回路中磁通量的變化量有關(guān)，與磁通量變化率無關(guān)。,3.動(dòng)生電動(dòng)勢(shì),（1）它既可以表示是瞬時(shí)電動(dòng)勢(shì)，也可以表示平均電動(dòng)勢(shì)； （2）若速度v的方向與磁場(chǎng)B方向不垂直，則動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)=Blvsin （3）若磁場(chǎng)不是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，或切割磁感線的導(dǎo)體桿上各點(diǎn)速度不相等，可以用微元法處理， （4）這里的速度v實(shí)際上導(dǎo)體相對(duì)于磁場(chǎng)的做切割磁感線的運(yùn)動(dòng)速度。,例、長為l直導(dǎo)體在磁場(chǎng)B中做勻角速的轉(zhuǎn)動(dòng)，已知轉(zhuǎn)軸通過導(dǎo)體的端點(diǎn)，角速度為，若磁場(chǎng)沿徑向的變化規(guī)律為B=kr2，其中k為常數(shù)，求動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。,（3）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的導(dǎo)體桿切割磁感線問題的靈活應(yīng)用，特別是

3、對(duì)非勻強(qiáng)磁場(chǎng)問題。尤其是法拉第圓盤發(fā)電機(jī)（或電動(dòng)機(jī)）,（2）含源問題，應(yīng)用基爾霍夫定律,（1）含電容器問題，應(yīng)用微元（微積分）疊加處理,（4）功、功率和能量問題，電路產(chǎn)生的電能等于克服安培力做功,（5）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：微元法（微積分）的應(yīng)用,4.動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的相關(guān)應(yīng)用,1、如圖所示，電源的電動(dòng)勢(shì)為U，電容器的電容為 C，S 是單刀雙擲開關(guān)。MN、PQ 是兩根位于同一水平面的平行光滑長導(dǎo)軌，它們的電阻可以忽略不計(jì)。兩導(dǎo)軌間距為l，導(dǎo)軌處磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于兩導(dǎo)軌所在的平面并指向圖中紙面向里的方向。l1 和 l2 是兩根橫放在導(dǎo)軌上的導(dǎo)體小棒，它們?cè)趯?dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)與導(dǎo)軌保持垂直并接觸良

4、好，不計(jì)摩擦。兩小棒的電阻相同，質(zhì)量分別為 m1和m2，且m1m2，開始時(shí)兩根小棒均靜止在導(dǎo)軌上，現(xiàn)將開關(guān)S先接通1，然后接通2。求： （1）兩根小棒最終速度大?。?（1）當(dāng)電鍵S由1扳向2后，電容器對(duì)閉合回路放電，使兩個(gè)小棒向右作加速運(yùn)動(dòng)。初始時(shí)分兩小棒的安培力相同，但由于質(zhì)量不等，故速度不等，最終會(huì)導(dǎo)致兩小棒以相同速度運(yùn)動(dòng)，并使兩端電壓等于電容器兩端電壓，此時(shí)電流等于零，兩小棒作勻速運(yùn)動(dòng)。 對(duì)于中間過程的任一時(shí)刻，設(shè)l1電流為i1，l2電流為i2，安培力分別為F1=Bli1和F2=Bli2，由動(dòng)量定理，得,由于兩棒開始時(shí)刻靜止，而最終速度又等于v，則,兩式相加等于,任何時(shí)刻，通過l1和l2

5、的電流的代數(shù)和等于電容器的放電電流i，即有,其中Q為初始時(shí)刻電容器所帶電量，q為最終速度時(shí)電容器所帶電量,由于,最終有,（2）在整個(gè)過程中的焦耳熱損耗。,由能量關(guān)系，得,2、如圖所示，水平放置的金屬細(xì)圓環(huán)半徑為a，豎直放置的金屬細(xì)圓柱（其半徑比a小得多）的端面與金屬圓環(huán)的上表面在同一平面內(nèi)，圓柱的細(xì)軸通過圓環(huán)的中心O一質(zhì)量為m，電阻為R的均勻?qū)w細(xì)棒被圓環(huán)和細(xì)圓柱端面支撐，棒的一端有一小孔套在細(xì)軸O上，另一端A可繞軸線沿圓環(huán)作圓周運(yùn)動(dòng)，棒與圓環(huán)的摩擦系數(shù)為圓環(huán)處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=kr、方向豎直向上的恒定磁場(chǎng)中，式中k為大于零的常量，r為場(chǎng)點(diǎn)到軸線的距離金屬細(xì)圓柱與圓環(huán)用導(dǎo)線ed連接不計(jì)棒與

6、軸及與細(xì)圓柱端面的摩擦，也不計(jì)細(xì)圓柱、圓環(huán)及導(dǎo)線的電阻和感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)問沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng),分析：哪些是常量？哪些是變量？,對(duì)于在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的導(dǎo)體桿切割磁感線，可以簡單地用平均速度求解，現(xiàn)在還可以嗎？,下面用積分方法求做,長度微元dx的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)d =Bvdx=kx2dx,故總電動(dòng)勢(shì)大小為,求安培力矩再次用到積分方法,利用外力力矩等于安培力矩與摩擦力矩之和即得,本題也可以由能量關(guān)系計(jì)算，外力的功率等于電功率與克服摩擦力功率之和,3、如圖所示，OO為一固定不動(dòng)的半徑為a1的圓柱形金屬軸，其電阻可忽略不計(jì)。一個(gè)內(nèi)半徑為a1、外半徑

7、為a2、厚度為h（ha1）的勻質(zhì)環(huán)形導(dǎo)體圓盤套在OO上，與OO接觸良好，并可繞OO無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。圓盤上距離中心r處的電阻率與r成正比，即 =0r，0為常量。整個(gè)環(huán)形圓盤處在與盤面垂直的恒定磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。圖中的電源S是一個(gè)不論負(fù)載如何變化，均能提供恒定不變的電流I的恒流源，電阻R0是跨接在電源S兩端的固定電阻。電源一端接在固定金屬軸上端面的中心X處，另外一端通過無摩擦的電刷Y與圓盤保持良好接觸，此裝置可以作為“圓盤電動(dòng)機(jī)”。,當(dāng)電源接通后，若它不帶任何負(fù)載，稱為空載狀態(tài)，空載達(dá)到穩(wěn)定時(shí)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度用0表示；當(dāng)接有負(fù)載并達(dá)到穩(wěn)定時(shí)圓盤的角速度用，負(fù)載沒有畫出，不記一切摩擦。試求

8、（1）當(dāng)電動(dòng)機(jī)輸出最大機(jī)械功率時(shí)，/0的大?。?（2）在（1）的情況下，圓盤的發(fā)熱功率為多少？,（1）接通電路時(shí)，恒流源提供的電流一部份流經(jīng)R，另一部分流經(jīng)圓盤，由于盤中有沿半徑流動(dòng)的電流而受到安培力矩作用，形成一個(gè)法拉第電動(dòng)機(jī)。當(dāng)圓盤在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于電磁感應(yīng)，在盤中出現(xiàn)反電動(dòng)勢(shì)，其等效電路如圖所示。圓盤所在支路的電路方程為,隨著圓盤角速度的增大，反電動(dòng)勢(shì)亦隨之增大，電流i減小。在電動(dòng)機(jī)有負(fù)載時(shí)，當(dāng)電流小到某一值時(shí)，磁場(chǎng)的磁力矩與負(fù)載的機(jī)械力矩平衡，轉(zhuǎn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定，盤做勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為；如果電動(dòng)機(jī)沒有負(fù)載，此種情況的穩(wěn)定態(tài)是盤中沒有電流，磁力矩等于零，圓盤勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為0,當(dāng)圓盤以

9、某一角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓盤產(chǎn)生的反電動(dòng)勢(shì)的大小為,再計(jì)算圓盤的電阻。由于盤中的電流沿半徑方向，可用微元法計(jì)算圓盤的電阻，具體計(jì)算略，得,當(dāng)電動(dòng)機(jī)空載時(shí)的角速度為0，此時(shí)反電動(dòng)勢(shì) ，而流過圓盤的電流i=0，有 ，得到角速度為,當(dāng)有負(fù)載時(shí)，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，此時(shí)流過圓盤的電流為i，得,求安培力的功率仍然用微元法，對(duì)第j個(gè)小圓環(huán)，所受安培力的功率為,整個(gè)圓盤的安培力的功率為,當(dāng)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，電動(dòng)機(jī)輸出的機(jī)械功率也就是安培力的功率,于是,where,（2）當(dāng)電動(dòng)機(jī)輸出的機(jī)械功率最大時(shí)，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為=0/2，設(shè)此時(shí)流經(jīng)圓盤的電流為i,圓盤電阻消耗的功率為,代入整理，最終得,此題是第22屆全國

10、中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽的題目，仍然是考察對(duì)法拉第圓盤電動(dòng)機(jī)的應(yīng)用，而這類題目在競(jìng)賽中出現(xiàn)過多次，所涉及到方法也應(yīng)該是考生所熟悉的。本題涉及到（1）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生的（反）電動(dòng)勢(shì)（2）含源電路的歐姆定律（3）電阻的計(jì)算（4）安培力的計(jì)算（5）電功率的計(jì)算（6）力矩平衡（7）函數(shù)求極值等。這就要求考生對(duì)典型問題或典型模型要吃透，真正理解其中蘊(yùn)含的物理思想和物理方法，并能做到舉一反三靈活應(yīng)用。,4、磁懸浮列車是一種高速運(yùn)載工具。它具有兩個(gè)重要系統(tǒng)。一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力（可由超導(dǎo)電磁鐵提供）使車體在導(dǎo)軌上懸浮起來與軌道脫離接觸。另一是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，在沿軌道上安裝的三相繞組（線圈）中，通上三相交流電，產(chǎn)

11、生隨時(shí)間、空間作周期性變化的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)與固連在車體下端的感應(yīng)金屬板相互作用，使車體獲得牽引力。,為了有助于了解磁懸浮列車的牽引力的來由，我們求解下面的問題。 設(shè)有一與軌道平面垂直的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t和空間位置x變化規(guī)律為,式中B、k、均為已知常量，坐標(biāo)軸x與軌道平行,在任一時(shí)刻t，軌道平面上磁場(chǎng)沿x方向的分布是不均勻的，如圖所示。圖中Oxy平面代表軌道平面，“”表示磁場(chǎng)的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙里，“ ”表示磁場(chǎng)的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙外。規(guī)定指向紙外時(shí)B取正值?！啊焙汀?”的疏密程度表示沿著x軸B的大小分布。一個(gè)與軌道平面平行的具有一定質(zhì)量的金屬矩形框MNPQ處在該磁場(chǎng)中，已知與軌

12、道垂直的金屬框邊MN的長度為，與軌道平行的金屬框邊MQ的長度為d，金屬框的電阻為R，不計(jì)金屬框的電感。,（1）試求在時(shí)刻t，當(dāng)金屬框的MN邊位于x處時(shí)磁場(chǎng)作用于金屬框的安培力，設(shè)此時(shí)刻金屬框沿x軸正方向移動(dòng)的速度為。 （2）試討論安培力的大小與金屬框幾何尺寸的關(guān)系。,本題的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),1、磁場(chǎng)的傳播速度,2、動(dòng)生電動(dòng)勢(shì),3、安培力的數(shù)學(xué)表達(dá)式,振幅部分,相因子部分,振幅為零,振幅最大,1.渦旋電場(chǎng)的引入,Maxwell神來之筆,2.感生電動(dòng)勢(shì)的大小,由于磁場(chǎng)的時(shí)間變化而產(chǎn)生的電場(chǎng),3.渦旋電場(chǎng)及其相關(guān)的計(jì)算,其中，l是S的邊界,理論上，可以用微積分計(jì)算任何情況下，時(shí)變磁場(chǎng)產(chǎn)生的渦旋電場(chǎng)，當(dāng)然，

13、在中學(xué)階段，我們只能計(jì)算一些特殊情況下的渦旋電場(chǎng)。,例、一半徑為R的光滑絕緣大圓環(huán)上套有一質(zhì)量為 m帶電為q的小環(huán)。大圓環(huán)水平放置，與一強(qiáng)度為B0的均勻恒定磁場(chǎng)垂直。從時(shí)間t=0開始該磁場(chǎng)變?yōu)锽(t)=B0+t，(0).求任意時(shí)刻小環(huán)對(duì)大圓環(huán)的作用力的表達(dá)式。,4.電子感應(yīng)加速器,（1）原理：電子感應(yīng)加速器（betatron）是應(yīng)用感生電場(chǎng)加速電子的裝置。 在電磁鐵的兩極之間安置一個(gè)環(huán)形真空室，當(dāng)用交變電流激勵(lì)電磁鐵時(shí)，在環(huán)形室內(nèi)就會(huì)感生出很強(qiáng)的、同心環(huán)狀的感生電場(chǎng)。用電子槍將電子注入環(huán)形室，電子在有旋電場(chǎng)的作用下被加速，并在Lorentz力的作用下，沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)。,（2）兩個(gè)基本磁場(chǎng)：加速

14、B1、旋轉(zhuǎn)B2,練習(xí)、一個(gè)電子感應(yīng)加速器的簡化模型如圖所示，在半徑為r0的區(qū)域內(nèi)有磁場(chǎng)B1，在rr0的外環(huán)型區(qū)域內(nèi)有磁場(chǎng)B2，欲使帶正電荷q的粒子能在環(huán)形區(qū)域內(nèi)沿半徑為r=r0的圓形軌道上不斷被加速，試分析B1、B2的時(shí)間變化率滿足什么關(guān)系？,（3）交變勵(lì)磁場(chǎng)的四分之一加速,實(shí)際上，若交流電的周期為50Hz，則在磁場(chǎng)變化的第一個(gè)四分之一周期（約5ms的時(shí)間）內(nèi)，電子就能在感生電場(chǎng)的作用下，在圓形軌道上經(jīng)歷回旋數(shù)十萬圈的持續(xù)加速，從而獲得足夠高的能量，并在第一個(gè)四分之一周期結(jié)束時(shí)被引出加速器至靶室。,6.綜合問題例解,例、有一個(gè)勻質(zhì)細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)，總電阻為R，半徑為a，圓環(huán)內(nèi)充滿方向垂直于環(huán)面的勻強(qiáng)

15、磁場(chǎng)，磁場(chǎng)隨時(shí)間線性變化，其變化率為k，圓環(huán)上對(duì)稱分布A、D、C三點(diǎn)，電流表與A、C相連接，如圖所示，若電流表的內(nèi)阻為r，求通過電流表的電流強(qiáng)度。,總電動(dòng)勢(shì),1、電荷Q均勻分布在均勻電介質(zhì)的圓盤上，圓盤放入均勻的外磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于盤面。圓盤質(zhì)量為m，它可以繞過圓盤中心垂直于盤面的固定軸的自由轉(zhuǎn)動(dòng)。如果切斷外磁場(chǎng)，原來靜止的圓盤將以多大的角速度開始轉(zhuǎn)動(dòng)？,2、如圖所示，均勻磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化，B=B0kt（k為大于0的常數(shù)）。現(xiàn)有兩個(gè)完全相同的均勻金屬圓環(huán)相互交疊并固定在圖中所示位置，環(huán)面處于圖中紙面內(nèi)。圓環(huán)的半徑為R，電阻為r，相交點(diǎn)的電接觸良好。兩

16、個(gè)環(huán)的接觸點(diǎn)與間的劣弧對(duì)圓心的張角為60求t=t0時(shí)，每個(gè)環(huán)所受的均勻磁場(chǎng)的作用力，不考慮感應(yīng)電流之間的作用。,提示1：在任意時(shí)刻t兩環(huán)中的感應(yīng)電流的分布如何？,I1,I1,I2,I2,提示2：此題關(guān)鍵自然是要求兩個(gè)感應(yīng)電流的大小，如何求？,提示3：求兩個(gè)感應(yīng)電流的大小自然要用基爾霍夫定律，方程如何列？電動(dòng)勢(shì)如何求？,提示4：電流終于求出來了，如何求作用力呢？先對(duì)其中一環(huán)，例如左環(huán)做受力分析吧，可是這是圓環(huán)而不是直導(dǎo)線啊，安培力如何求呢？想一想,3、一個(gè)用絕緣材料制成的扁平薄圓環(huán)，其內(nèi)、外半徑分別為a1、a2，厚度可以忽略兩個(gè)表面都帶有電荷，電荷面密度隨離開環(huán)心距離r變化的規(guī)律均為 =0/r2

17、，0為已知常量。薄圓環(huán)繞通過環(huán)心垂直環(huán)面的軸沿逆時(shí)針方向以大小不變的角加速度減速轉(zhuǎn)動(dòng)，t = 0時(shí)刻的角速度為0將一半徑為a0 (a0a1)、電阻為R并與薄圓環(huán)共面的導(dǎo)線圓環(huán)與薄圓環(huán)同心放置，如圖所示。試求在薄圓環(huán)減速運(yùn)動(dòng)過程中導(dǎo)線圓環(huán)中的張力F與時(shí)間t的關(guān)系。,提示：半徑為r、通有電流I的圓線圈（環(huán)形電流），在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=kI/r（k為已知常量）,提示1：用微元疊加（積分）求環(huán)形電流在圓心處的磁場(chǎng),ri,ri+ri,微電流元,微磁場(chǎng)元,總磁場(chǎng)微元累加或積分,提示2：用Faraday電磁感應(yīng)定律求半徑為a0的小環(huán)中產(chǎn)生的感應(yīng)電流,提示3：求安培力,4如圖所示，在一個(gè)半徑為r、質(zhì)

18、量為M、可以無摩擦地自由轉(zhuǎn)動(dòng)的勻質(zhì)圓盤中部裝有一細(xì)長的螺線管，其半徑為a，沿軸線方向單位長度的線圈匝數(shù)為n，線圈中通有穩(wěn)恒電流I。在圓盤邊緣上均勻地鑲嵌N個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電小球。設(shè)開始時(shí)刻，圓盤靜止，然后將電流切斷，試求圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。,（1）RL暫態(tài)特性,合上開關(guān)K,（2）RC暫態(tài)特性,1、如圖所示，一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)，垂直于一軌距為l的導(dǎo)軌平面，軌道平面與水平面有的傾角一根無摩擦的導(dǎo)體棒，質(zhì)量為m，橫跨在兩根金屬導(dǎo)軌上若開關(guān)依次接通1、2 、3 ，使阻值為R（其余電阻均不計(jì)）、電容為C或電感為L的元件與棒構(gòu)成電路，當(dāng)從靜止放開導(dǎo)體棒后，求棒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,本題三個(gè)感應(yīng)電流

19、電路中,“電源”均為受有恒定外力（重力之“下滑”分力）的金屬桿在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做切割運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，通過開關(guān)轉(zhuǎn)換，構(gòu)成純電阻電路、純電容電路及純電感電路初始狀態(tài)相同的三個(gè)電路，在不同的電路條件下，其暫態(tài)過程及穩(wěn)定態(tài)迥異。,S1，純電阻電路,經(jīng)加速度減小的加速過程，達(dá)到穩(wěn)定態(tài),S2 ，純電容電路,穩(wěn)定態(tài)時(shí)電流恒定，導(dǎo)體棒做勻加速運(yùn)動(dòng),S3純電感電路,取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),純電感電路無穩(wěn)定狀態(tài)，導(dǎo)體棒和電流均做周期性變化,振動(dòng)方程為,2、圖中oxy是位于水平光滑桌面上的直角坐標(biāo)系，在x0的一側(cè)，存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B ，磁場(chǎng)方向垂直于oxy平面向里。在x0的一側(cè)，一邊長分別為l1和l2的剛性矩形超導(dǎo)線框位

20、于桌面上，框內(nèi)無電流，框的一對(duì)邊與x軸平行。線框的質(zhì)量為m，自感為L。現(xiàn)讓超導(dǎo)線框沿x軸方向以初速度v0進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，試定量地討論線框以后可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)情況及與初速度v0大小的關(guān)系。（假定線框在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持超導(dǎo)狀態(tài)）,解：以線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)為t=0時(shí)刻，在此后的某一時(shí)刻t，線框的位移為x，速度為v，電流為i，此時(shí)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為=Bl2v,自感電動(dòng)勢(shì)為L=Ldi/dt，由于是超導(dǎo)線框，有,（1）,C為一待定常數(shù)，由初始條件決定，由于t=0時(shí)，x=0，i=0，所以C=0。,此時(shí)線框受到的安培力為,（5）,諧振子運(yùn)動(dòng)的通解,（6）,（7）,由初始條件：t=0時(shí)，x=0，v=v0，可以求出,（9）,

21、于是，線框的運(yùn)動(dòng)方程為,（11）,（12）,（1）線框的初速度v0較小，在安培力的作用下，當(dāng)它的速度減為0時(shí)，整個(gè)線框未全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，這時(shí)在安培力的繼續(xù)作用下，線框?qū)⒎聪蜻\(yùn)動(dòng)，最后退出磁場(chǎng)區(qū)線框一進(jìn)一出的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)簡諧振動(dòng)的半個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，,故當(dāng)xl1時(shí)，v=0，數(shù)學(xué)上有,（13）,若線框的初速度v0比較大，整個(gè)線框能全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)當(dāng)線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)時(shí)，其速度仍大于0，這要求滿足下式,（15）,設(shè)全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)的時(shí)間為，由（11）式，得,（16）,代入方程（12）,（18）,線框在0時(shí)間內(nèi)，做簡諧振動(dòng)，在t以速度v（19）做勻速直線運(yùn)動(dòng),說明：此題也可以用廣義勢(shì)能來處理計(jì)算諧振子的振幅，由

22、,（1）,（2）,3、一個(gè)細(xì)的超導(dǎo)圓環(huán)質(zhì)量m、半徑r、電感L，放在豎直的圓柱形磁棒上面，如圖所示圓環(huán)與棒有同一對(duì)稱軸在圓環(huán)周圍的圓柱形磁棒的磁場(chǎng)在以圓環(huán)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的Oxy坐標(biāo)中可近似地表示為By=B0（1y）和 Bx=B0 x，其中B0、為常量初始時(shí)，圓環(huán)中沒有電流，當(dāng)它被放開后開始向下運(yùn)動(dòng)且保持它的軸仍為豎直，試確定圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)并求圓環(huán)中的電流,初始時(shí)，圓環(huán)中沒有電流，環(huán)中磁通量 :,圓環(huán)開始向下運(yùn)動(dòng)時(shí),變化,感應(yīng)電流I的磁通量,環(huán)中磁通總量 :,超導(dǎo)線圈,環(huán)受安培力為 :,其中,環(huán)面過平衡位置時(shí) :,環(huán)所在處磁場(chǎng),Fm,Fm,mg,環(huán)面在平衡位置下y時(shí) :,續(xù)解,圓環(huán)在y 軸上做簡諧運(yùn)動(dòng),周期為:,圓環(huán)中最大電流為:,圓環(huán)中電流隨時(shí)間變化規(guī)律為:,4、如圖所示，有二平行金屬導(dǎo)軌，相距l(xiāng)，位于同一水平面內(nèi)（圖中紙面），處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向豎直向下（垂直紙面向里）質(zhì)量均為m的兩金屬桿ab和cd放在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直初始時(shí)刻， 金屬桿ab和cd分別位于x