1、22.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程.2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.3.會(huì)利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的定義觀察圖形，思考下列問(wèn)題思考1圖中動(dòng)點(diǎn)M的幾何性質(zhì)是什么？思考2若|MF1|MF2|F1F2|，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？梳理把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的_等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做_，_叫做雙曲線的焦距知識(shí)點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程思考1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式有兩種，如何區(qū)別焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸？思考2如圖，類(lèi)比橢圓中a，b，c的意義，對(duì)于雙曲線，你能在y軸上找一點(diǎn)B，使|

2、OB|b嗎？梳理焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|2c，c2a2b2類(lèi)型一求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)與橢圓1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(2，)；(2)焦距為26，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,12)；(3)過(guò)點(diǎn)P(3，)，Q(，5)，且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上反思與感悟待定系數(shù)法求方程的步驟(1)定型：即確定雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸(2)設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，若不知道焦點(diǎn)的位置，則進(jìn)行討論，或設(shè)雙曲線的方程為Ax2By21(AB0，b0)，點(diǎn)A，B均在雙曲

3、線的右支上，線段AB經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F2，|AB|m，F(xiàn)1為雙曲線的左焦點(diǎn)，則ABF1的周長(zhǎng)為_(kāi)引申探究本例(2)中若F1PF290，其他條件不變，求F1PF2的面積(2)已知雙曲線1的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，若雙曲線上一點(diǎn)P使得F1PF260，則F1PF2的面積為_(kāi)反思與感悟求雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的方法(1)方法一：根據(jù)雙曲線的定義求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿(mǎn)足的關(guān)系式；通過(guò)配方，利用整體的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面積(2)方法二：利用公式SPF1F2|F1F

4、2|yP|(yP為P點(diǎn)的縱坐標(biāo))求得面積特別提醒：利用雙曲線的定義解決與焦點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，一是要注意定義條件|PF1|PF2|2a的變形使用，特別是與|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|間的關(guān)系跟蹤訓(xùn)練2已知雙曲線的方程是1，點(diǎn)P在雙曲線上，且到其中一個(gè)焦點(diǎn)F1的距離為10，點(diǎn)N是PF1的中點(diǎn)，求|ON|的大小(O為坐標(biāo)原點(diǎn))命題角度2與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題例3已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_(kāi)反思與感悟定義法求雙曲線方程的注意點(diǎn)(1)注意條件中是到定點(diǎn)距離之差，還是差的絕對(duì)值(2)當(dāng)差的絕對(duì)值為常數(shù)時(shí)要注

5、意常數(shù)與兩定點(diǎn)間距離的大小問(wèn)題(3)求出方程后要注意表示滿(mǎn)足方程的解的坐標(biāo)是否都在所給的曲線上跟蹤訓(xùn)練3在ABC中，已知A(2，0)，B(2，0)，且三內(nèi)角A，B，C滿(mǎn)足2sin Asin C2sin B，求頂點(diǎn)C的軌跡方程1到兩定點(diǎn)F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)的距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)M的軌跡是()A橢圓 B線段C雙曲線 D兩條射線2設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x21的左，右焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3|PF1|4|PF2|，則PF1F2的面積等于()A4 B8C24 D483橢圓1與雙曲線1有相同的焦點(diǎn)，則a的值是()A. B1或2C1或 D14若kR，方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則

6、k的取值范圍是()A3k2 Bk3Ck2 Dk25求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)a3，c4，焦點(diǎn)在x軸上；(2)焦點(diǎn)為(0，6)，(0,6)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,6)；(3)以橢圓1長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過(guò)(3，)1雙曲線定義中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立，要注意與橢圓中a，b，c的區(qū)別在橢圓中a2b2c2，在雙曲線中c2a2b2.3用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要先判斷焦點(diǎn)所在的位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，由條件列出a，b，c的方程組如果焦點(diǎn)不確定要分類(lèi)討論，采用待定系數(shù)法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1|MF1|MF2|常數(shù)(常數(shù)|F

7、1F|或|F2F|)且常數(shù)0，b0)，則有解得故所求雙曲線的方程為1.方法二由橢圓方程1知焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求雙曲線方程為1(1625)因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(2，)，所以1，解得20或7(舍去)，故所求雙曲線的方程為1.(2)雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,12)，M(0,12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，故焦點(diǎn)在y軸上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0，b0)，c，b2c2a26a2.由題意知1，1，解得a25或a230(舍)b21.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0)點(diǎn)P(4，2)和點(diǎn)Q(2，2)在雙曲

8、線上，解得雙曲線的方程為1.(3)橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，故可設(shè)雙曲線的方程為1.由題意，知解得故雙曲線的方程為1.例2(1)4a2m(2)16解析(1)由雙曲線的定義，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又|AF2|BF2|AB|，所以ABF1的周長(zhǎng)為|AF1|BF1|AB|4a2|AB|4a2m.(2)由1，得a3，b4，c5.由雙曲線定義和余弦定理，得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，SF1PF2|PF1|P

9、F2|sinF1PF26416.引申探究解由雙曲線方程知a3，b4，c5，由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a6，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36.在RtF1PF2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100.將代入得|PF1|PF2|32，所以SF1PF2|PF1|PF2|16.跟蹤訓(xùn)練2解設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F2，連接PF2，ON是三角形PF1F2的中位線，所以|ON|PF2|，因?yàn)閨PF1|PF2|8，|PF1|10，所以|PF2|2或18，|ON|PF2|1或9.例3x21(x1)解析如圖，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和B，根

10、據(jù)兩圓外切的條件 |MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|, 因?yàn)閨MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|2，這表明動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)C2，C1的距離的差是常數(shù)2且26|C1C2|.根據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，這里a1，c3，則b28，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，其軌跡方程為x21 (x1)跟蹤訓(xùn)練3解由正弦定理，得sin A，sin B，sin C(R為ABC的外接圓半徑)因?yàn)?sin Asin C2sin B，所以2ac2b，即ba，從而有|CA|CB|AB|2)當(dāng)堂訓(xùn)練1D2.C3.D4.A5解(1)由題設(shè)知，a3，c4，由c2a2b2，得b2c2a242327.因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由