1、1 從平面向量到空間向量學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解空間向量的概念.2.了解空間向量的表示法，了解自由向量的概念.3.理解空間向量的夾角.4.理解直線的方向向量與平面的法向量的概念.知識(shí)點(diǎn)一空間向量的概念思考1類比平面向量的概念，給出空間向量的概念.思考2若表示兩個(gè)相等空間向量的有向線段的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也一定相同嗎？梳理空間向量的有關(guān)概念(1)定義：在空間中，把既有_又有_的量，叫作空間向量.(2)長(zhǎng)度：空間向量的大小叫作向量的_或_.(3)表示法(4)自由向量：與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.知識(shí)點(diǎn)二空間向量的夾角思考在平面內(nèi)，若非零向量a與b共線，則它們的夾角是多少？梳理空間向量的夾角(1)文字?jǐn)⑹觯篴，b

2、是空間中兩個(gè)非零向量，過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作a，b，則_叫作向量a與向量b的夾角，記作_.(2)圖形表示：角度表示a，b_a，b是_a，b是_a，b是_a，b_(3)范圍：_a，b_.(4)空間向量的垂直：如果a，b_，那么稱a與b互相垂直，記作_.知識(shí)點(diǎn)三向量與直線、平面1.向量與直線與平面向量一樣，也可用空間向量描述空間直線的方向.如圖所示.l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱為直線l的_向量，顯然，與平行的任意非零向量a也是直線l的方向向量，直線的方向向量_于該直線.2.向量與平面如圖，如果直線l垂直于平面，那么把直線l的方向向量a叫作平面的_.類型一有關(guān)空間向量的概念的理解例1

3、給出以下結(jié)論：兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同；若空間向量a，b滿足|a|b|，則ab；在正方體ABCDA1B1C1D1中，必有；若空間向量m，n，p滿足mn，np，則mp.其中不正確的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4反思與感悟在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相關(guān)概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的方向相同，模相等.兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反.跟蹤訓(xùn)練1(1)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，下列四對(duì)向量：與；與；與；與.其中互為相反向量的有n對(duì)，則n等于() A.1 B.2C.3 D.4(2)如圖，在長(zhǎng)方體AB

4、CDABCD中，AB3，AD2，AA1，則分別以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：?jiǎn)挝幌蛄抗灿卸嗌賯€(gè)？試寫出模為的所有向量；試寫出與向量相等的所有向量；試寫出向量的所有相反向量.類型二求空間向量的夾角例2如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，求下列各對(duì)向量的夾角：(1)，；(2)，；(3)，.引申探究在本例中，求，.反思與感悟求解空間向量的夾角，要充分利用原幾何圖形的性質(zhì)，把空間向量的夾角轉(zhuǎn)化為平面向量的夾角，要注意向量方向.跟蹤訓(xùn)練2在正四面體ABCD中，的大小為()A. B.C. D.類型三直線的方向向量與平面法向量的理解例3已知正四面體ABCD.(1)過(guò)點(diǎn)A作出方向向量為的空間直線；

5、(2)過(guò)點(diǎn)A作出平面BCD的一個(gè)法向量.反思與感悟直線的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè)，但一定為非零向量；平面的法向量也有無(wú)數(shù)個(gè)，它們互相平行.給定空間中任意一點(diǎn)A和非零向量a，可以確定：(1)唯一一條過(guò)點(diǎn)A且平行于向量a的直線；(2)唯一一個(gè)過(guò)點(diǎn)A且垂直于向量a的平面.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中點(diǎn)，以C1為起點(diǎn)，指出直線AP的一個(gè)方向向量.1.下列命題中，正確的是()A.若|a|b|，則a與b共線B.若|a|b|，則abC.若ab，則|a|b|D.若ab，則a與b不共線2.以長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的任意兩個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，能作為直線BB1的方向向量

6、的個(gè)數(shù)為()A.8 B.7 C.6 D.53.若把空間中所有單位向量的起點(diǎn)放置于同一點(diǎn)，則這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形為_(kāi).4.在長(zhǎng)方體中，從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3，在分別以長(zhǎng)方體的任意兩個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，模為1的向量個(gè)數(shù)為_(kāi).5.在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作為平面ABC法向量的是_.(填序號(hào))；.在空間中，一個(gè)向量成為某直線的方向向量的條件包含兩個(gè)方面：一是該向量為非零向量；二是該向量與直線平行或重合.二者缺一不可.給定空間中任意一點(diǎn)A和非零向量a，就可以確定唯一一條過(guò)點(diǎn)A且平行于向量a的直線.提醒：完成作業(yè)第二章1答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1在空

7、間中，把具有大小和方向的量叫作空間向量.思考2一定相同.因?yàn)橄嗟认蛄康姆较蛳嗤?，長(zhǎng)度相等，所以表示相等向量的有向線段的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同.梳理(1)大小方向(2)長(zhǎng)度模(3)有向線段|a|知識(shí)點(diǎn)二思考0或.梳理(1)AOBa，b(2)0銳角直角鈍角(3)0(4)ab知識(shí)點(diǎn)三1.方向平行2.法向量題型探究例1B跟蹤訓(xùn)練1B(2)解由于長(zhǎng)方體的高為1，所以長(zhǎng)方體的四條高所對(duì)應(yīng)的向量，共8個(gè)向量都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共有8個(gè).由于長(zhǎng)方體的左右兩側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)均為，故模為的向量有，.與向量相等的所有向量(除它自身之外)有，.向量的相反向量有，.例2解(1)由題意知，.又CAB，故，.(2)，.(3)，.引申探究解如圖，連接B1C，則B1CA1D，且，連接AC，在ACB1中，因?yàn)锳CAB1B1C，故AB1C，.跟蹤訓(xùn)練2C例3解(1)如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線AEBC，由直線的方向向量的定義可知，直線AE即為過(guò)點(diǎn)A且方向向量為的空間直線. (2)如圖，取BCD的中心O，由正四面體的性質(zhì)可知，AO垂直于平面BCD，故向量可作為平面BCD的一個(gè)法向量.跟蹤訓(xùn)練3解取BB1中點(diǎn)Q，C1C中點(diǎn)M，連接C1Q，BM，PM