1、11.2瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)際背景理解函數(shù)的瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義.2.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)及切線方程.3.理解導(dǎo)數(shù)與平均變化率的區(qū)別與聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)一曲線上一點(diǎn)處的切線思考1曲線的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)嗎？思考2曲線上在某一點(diǎn)處的切線的含義是什么？設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點(diǎn)，這時(shí)，直線PQ稱為曲線的割線，隨著點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，割線PQ在點(diǎn)P附近越來(lái)越逼近曲線C.當(dāng)點(diǎn)Q無(wú)限逼近點(diǎn)P時(shí)，直線PQ最終就成為在點(diǎn)P處最逼近曲線的直線l，這條直線l稱為曲線在點(diǎn)P處的切線知識(shí)點(diǎn)二瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度思考運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)加速度為0，那么該時(shí)刻物體是否一定停止

2、了運(yùn)動(dòng)？1如果t無(wú)限趨近于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體位移S(t)的平均變化率無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在tt0時(shí)的瞬時(shí)速度，即位移對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率2如果當(dāng)t無(wú)限趨近于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體速度v(t)的平均變化率無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在tt0時(shí)的瞬時(shí)加速度，即速度對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率知識(shí)點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)及其幾何意義1導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0(a，b)，若x無(wú)限趨近于0時(shí)，比值無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱f(x)在xx0處可導(dǎo)，并稱該常數(shù)A為函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)2導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0

3、)處的切線的斜率，切線PT的方程是yf(x0)f(x0)(xx0).類型一求瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度例1已知質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系為v3t22(速度單位：cm/s，時(shí)間單位：s)(1)當(dāng)t2，t0.01時(shí)，求；(2)求質(zhì)點(diǎn)M在t2時(shí)的瞬時(shí)加速度反思與感悟(1)求瞬時(shí)速度的關(guān)鍵在于正確表示“位移的增量與時(shí)間增量的比值”，求瞬時(shí)加速度的關(guān)鍵在于正確表示“速度的增量與時(shí)間增量的比值”，注意二者的區(qū)別(2)求瞬時(shí)加速度：求平均加速度；令t0，求出瞬時(shí)加速度跟蹤訓(xùn)練1質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動(dòng)方程s(t)at21做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，若質(zhì)點(diǎn)M在t2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為8 m/s，求常數(shù)a的值類

4、型二求曲線在某點(diǎn)處的切線方程例2已知曲線C：yx3.(1)求曲線C在橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)處的切線方程；(2)第(1)小題中的切線與曲線C是否還有其他公共點(diǎn)？反思與感悟(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式便可求出曲線在該點(diǎn)處的切線方程注意若在點(diǎn)(x0，y0)處切線的傾斜角為，此時(shí)所求的切線平行于y軸，所以直線的切線方程為xx0.(2)曲線的切線與曲線的交點(diǎn)可能不止一個(gè)跟蹤訓(xùn)練2曲線yx311在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是_類型三求切點(diǎn)的坐標(biāo)例3已知拋物線y2x21分別滿足下列條件，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)(1)切線的傾斜角為45

5、；(2)切線平行于直線4xy20；(3)切線垂直于直線x8y30.反思與感悟根據(jù)切線斜率求切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟：(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)；(2)求導(dǎo)函數(shù)f(x)；(3)求切線的斜率f(x0)；(4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程，解方程求x0；(5)點(diǎn)(x0，y0)在曲線f(x)上，將x0代入求y0得切點(diǎn)坐標(biāo)跟蹤訓(xùn)練3已知直線l：y4xa與曲線C：y2x2相切，求a的值及切點(diǎn)坐標(biāo)1若做直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度(單位：m/s)與時(shí)間(單位：s)的關(guān)系為v(t)t22，則在前4 s內(nèi)的平均速度是_m/s，在t4 s時(shí)的瞬時(shí)速度是_m/s.2已知曲線y2x2上一點(diǎn)A(1,2)，則A處的切線斜率為_(kāi)3若

6、曲線yx2axb在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是xy10，則a_，b_.4如圖，函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是yx8，則f(5)f(5)_.1平均變化率和瞬時(shí)變化率的關(guān)系平均變化率，當(dāng)x趨于0時(shí)，它所趨于的一個(gè)常數(shù)就是函數(shù)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率即有：x趨于0是指自變量間隔x越來(lái)越小，能達(dá)到任意小的間隔，但始終不能為0，即對(duì)于瞬時(shí)變化率，我們通過(guò)減小自變量的改變量以致趨于零的方式，實(shí)現(xiàn)用割線斜率“逼近”切線斜率，用平均速度“逼近”瞬時(shí)速度一般地，可以用平均變化率“逼近”瞬時(shí)變化率2不管是求切線的斜率、瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度，還是求實(shí)際問(wèn)題中的瞬時(shí)變化率，它們的解題步驟是一樣的：(1)計(jì)算y；(

7、2)求；(3)看x0時(shí)，無(wú)限趨近于哪個(gè)常數(shù)提醒：完成作業(yè)1.1.2(一)答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1切線與曲線不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)，如圖，曲線C在點(diǎn)P處的切線l與曲線C還有一個(gè)公共點(diǎn)Q.思考2曲線上某一點(diǎn)處的切線，其含義是以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線知識(shí)點(diǎn)二思考不是瞬時(shí)加速度刻畫的是速度在某一時(shí)刻的變化快慢，瞬時(shí)加速度為0，并不是速度為0.題型探究例1解6t3t.(1)當(dāng)t2，t0.01時(shí)，6230.0112.03(cm/s2)(2)當(dāng)t無(wú)限趨近于0時(shí)，6t3t無(wú)限趨近于6t，則質(zhì)點(diǎn)M在t2時(shí)的瞬時(shí)加速度為12 cm/s2.跟蹤訓(xùn)練1解質(zhì)點(diǎn)M在t2時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t2處的瞬時(shí)變化率質(zhì)點(diǎn)M在t2附

8、近的平均變化率4aat，從而當(dāng)t0時(shí)，4aat4a，4a8，即a2.例2解(1)42x，當(dāng)x0時(shí)，4.曲線C在橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)處切線的斜率為4，又切點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y234，所求切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2)由題意得：得：x312x160.可化為(x2)2(x4)0，可得x2或x4，當(dāng)x4時(shí)，y20.故切線與曲線C還有一個(gè)公共點(diǎn)(4，20)跟蹤訓(xùn)練29例3解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則y2(x0x)212x14x0x2(x)2，4x02x，當(dāng)x0時(shí)，4x0，即f(x0)4x0.(1)拋物線的切線的傾斜角為45，斜率為tan 451，即f(x0)4x01，解得x0，切點(diǎn)坐標(biāo)為(，)(2)拋物線的切線平行于直線4xy20，k4，即f(x0)4x04，解得x01，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)(3)拋物線的切線與直線x8y30垂直，k()1，即k8，f(x0)4x08