1、,第六章 定積分,1,學(xué)習(xí)交流PPT,一、問題的提出,二、定積分的定義,三、存在定理,四、幾何意義,五、定積分的性質(zhì),五、小結(jié),2,學(xué)習(xí)交流PPT,實(shí)例1 （求曲邊梯形的面積）,一、問題的提出,3,學(xué)習(xí)交流PPT,用矩形面積近似取代曲邊梯形面積,顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積,（四個(gè)小矩形）,（九個(gè)小矩形）,4,學(xué)習(xí)交流PPT,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,播放,5,學(xué)習(xí)交流PPT,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,6,學(xué)習(xí)交流PPT,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系

2、,7,學(xué)習(xí)交流PPT,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,8,學(xué)習(xí)交流PPT,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,9,學(xué)習(xí)交流PPT,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,10,學(xué)習(xí)交流PPT,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,11,學(xué)習(xí)交流PPT,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,12,學(xué)習(xí)交流PPT,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,13,學(xué)習(xí)交流PPT,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加

3、細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,14,學(xué)習(xí)交流PPT,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,15,學(xué)習(xí)交流PPT,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,16,學(xué)習(xí)交流PPT,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,17,學(xué)習(xí)交流PPT,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,18,學(xué)習(xí)交流PPT,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,19,學(xué)習(xí)交流PPT,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,20,學(xué)

4、習(xí)交流PPT,曲邊梯形如圖所示，,21,學(xué)習(xí)交流PPT,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,22,學(xué)習(xí)交流PPT,二、定積分(definite integral)的定義,定義,23,學(xué)習(xí)交流PPT,記為,積分上限,積分下限,積分和,24,學(xué)習(xí)交流PPT,注意：,25,學(xué)習(xí)交流PPT,定理1,定理2,三、存在定理,定理,26,學(xué)習(xí)交流PPT,對定積分的補(bǔ)充規(guī)定:,說明,在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小,27,學(xué)習(xí)交流PPT,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負(fù)值,四、定積分的幾何意義,28,學(xué)習(xí)交流PPT,幾何意義：,29,學(xué)習(xí)交流PPT,五、小結(jié),定積分的實(shí)質(zhì)：特殊

5、和式的極限,定積分的思想和方法：,求近似以直（不變）代曲（變）,取極限,30,學(xué)習(xí)交流PPT,對定積分的補(bǔ)充規(guī)定:,在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小,說明,定積分的性質(zhì),一、基本內(nèi)容(性質(zhì)證明不作要求),31,學(xué)習(xí)交流PPT,性質(zhì)1,性質(zhì)2,性質(zhì)1+性質(zhì)2 得：,32,學(xué)習(xí)交流PPT,推廣：,即線性組合的定積分等于定積分的線性組合 說明定積分也具有線性運(yùn)算性質(zhì),33,學(xué)習(xí)交流PPT,補(bǔ)充：不論 的相對位置如何, 上式總成立.,例 若,則,（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）,性質(zhì)3,34,學(xué)習(xí)交流PPT,性質(zhì)5（非負(fù)性）,性質(zhì)4,令,于是,解,35,學(xué)習(xí)交流PPT,性質(zhì)5

6、的推論：（比較定理）,（1）,（2）,說明： 可積性是顯然的.,性質(zhì)6（估值定理）,（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）,36,學(xué)習(xí)交流PPT,37,學(xué)習(xí)交流PPT,38,學(xué)習(xí)交流PPT,積分中值公式,性質(zhì)7（定積分中值定理）,積分中值公式的幾何解釋：,39,學(xué)習(xí)交流PPT,定積分的性質(zhì),（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）,典型問題,（）估計(jì)積分值；,（）不計(jì)算定積分比較積分大小,二、小結(jié),40,學(xué)習(xí)交流PPT,第二講 微積分基本公式,內(nèi)容提要 1. 變上限的定積分； 2.牛頓萊布尼茲公式 。 教學(xué)要求 1.理解作為變上限的函數(shù)的定積分及求導(dǎo)方法； 2.熟悉牛頓萊布尼茲公式 。,41,學(xué)習(xí)交

7、流PPT,記為,稱它為變上限定積分所確定的函數(shù)（ 積分上限函數(shù)或變上限積分）。,一、積分上限函數(shù),42,學(xué)習(xí)交流PPT,積分上限函數(shù)的性質(zhì),證,43,學(xué)習(xí)交流PPT,由積分中值定理得,44,學(xué)習(xí)交流PPT,補(bǔ)充,45,學(xué)習(xí)交流PPT,解,解,46,學(xué)習(xí)交流PPT,例2 求,解,分析：這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.,47,學(xué)習(xí)交流PPT,一般地，若,?,設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)，,其速度 ，,若已知路程函數(shù),的路程也可表示為,內(nèi)所經(jīng)過的路程為,二、牛頓萊布尼茲公式,48,學(xué)習(xí)交流PPT,定理2,微積分基本公式表明：,注意,求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.,49,學(xué)習(xí)交流PPT,牛頓（英國 1642.

8、 12. 251727. 3. 20）,萊布尼茲（德國1646. 7. 11716. 11. 14）,50,學(xué)習(xí)交流PPT,說明：,或,解,解,51,學(xué)習(xí)交流PPT,解,52,學(xué)習(xí)交流PPT,3. 牛頓萊布尼茲公式,1 . 變上限定積分,2. 變上限定積分的導(dǎo)數(shù),小結(jié),牛頓萊布尼茲公式揭示了定積分與原函數(shù),之間的關(guān)系,53,學(xué)習(xí)交流PPT,作業(yè):,學(xué)習(xí)指導(dǎo)書: P 172 D 3(1)(2) ;D 4(7)(9),54,學(xué)習(xí)交流PPT,第三節(jié)定積分的換元法,上一節(jié)我們建立了積分學(xué)兩類基本問題之間的聯(lián)系微積分基本公式，利用這個(gè)公式計(jì)算定積分的關(guān)鍵是求出不定積分，而換元法和分部積分法是求不定積分的

9、兩種基本方法，如果能把這兩種方法直接應(yīng)用到定積分的計(jì)算，相信定能使得定積分的計(jì)算簡化，下面我們就來建立定積分的換元積分公式和分部積分公式。,55,學(xué)習(xí)交流PPT,先來看一個(gè)例子,例1,換元求不定積分,令,則,故,56,學(xué)習(xí)交流PPT,為去掉根號,令,則,當(dāng) x 從0連續(xù)地增加到4時(shí)，t 相應(yīng)地從1連續(xù)地增加到3,于是,嘗試一下直接換元求定積分,57,學(xué)習(xí)交流PPT,將上例一般化就得到定積分的換元積分公式,由此可見，定積分也可以象不定積分一樣進(jìn)行換元，所不同的是不定積分換元時(shí)要回代原積分變量，而對定積分則只需將其上、下限換成新變量的上、下限即可計(jì)算出定積分，而不必回代原積分變量,58,學(xué)習(xí)交流P

10、PT,一、換元公式,59,學(xué)習(xí)交流PPT,應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:,（1）,（2）,60,學(xué)習(xí)交流PPT,計(jì)算,解1,由定積分的幾何意義,等于圓周的第一象限部分的面積,解2,故,o,例2,61,學(xué)習(xí)交流PPT,令,解4,令,仍可得到上述結(jié)果,解3,62,學(xué)習(xí)交流PPT,解,令,例3 計(jì)算,63,學(xué)習(xí)交流PPT,證,64,學(xué)習(xí)交流PPT,即： 奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于0 偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于對稱的 部分區(qū)間上積分的兩倍 由定積分的幾何意義，這個(gè)結(jié)論也是比較明顯的,65,學(xué)習(xí)交流PPT,例5 計(jì)算,解,原式,偶函數(shù),奇函數(shù),四分之一單位圓的面積,66,學(xué)習(xí)交流PPT,定積分的換元法,幾個(gè)

11、特殊積分、定積分的幾個(gè)等式,二、小結(jié),67,學(xué)習(xí)交流PPT,作業(yè):,學(xué)習(xí)指導(dǎo)書: P 177 D 3(1)(3)(5) ;D 4(1)(5),68,學(xué)習(xí)交流PPT,三 定積分的分部積分法,(Formula for Integration by Parts),69,學(xué)習(xí)交流PPT,例1 計(jì)算,解,令,則,70,學(xué)習(xí)交流PPT,例2 計(jì)算,解,注 本題是一個(gè)集湊微分法、根式換元法、 分布積分法的綜合題。,71,學(xué)習(xí)交流PPT,例3 計(jì)算,解,72,學(xué)習(xí)交流PPT,作業(yè):,學(xué)習(xí)指導(dǎo)書: P 183 D 1(1)(2)(5) ;D 2(2)(5),73,學(xué)習(xí)交流PPT,內(nèi)容提要 1.元素法； 2.平面

12、圖形的面積； 教學(xué)要求 1.熟練掌握應(yīng)用微元法去解決積分中的實(shí)際應(yīng)用題； 2.熟悉各種平面面積的積分表達(dá)方法；,第五節(jié) 定積分的應(yīng)用,74,學(xué)習(xí)交流PPT,回顧,用定積分求曲邊梯形面積的問題：,及直線,所圍成的曲邊梯形的面積,其求解步驟如下：,一、 定積分的微元法,75,學(xué)習(xí)交流PPT,第一步：分割,將區(qū)間,任意分成,個(gè)小區(qū)間,由此曲邊梯形就相應(yīng)地分成,個(gè)小曲邊梯形。,第二步：近似,形面積之和,即,所求的曲邊梯形面積A為每個(gè)小曲邊梯,為底,的小矩形面積,近似代替小曲邊梯形面積,76,學(xué)習(xí)交流PPT,第三步： 求和,第四步： 取極限,總結(jié)：,上述四步中，由第一步知，,有關(guān)，,部分量的和，,可加性

13、.,分成許多小區(qū)間，,的面積A這個(gè)量就相應(yīng)地分成許多部分量，,如果把區(qū)間,具有,這種性質(zhì)稱為所求量A對區(qū)間,則所求,而A是所有,所求面積A這個(gè)量與,77,學(xué)習(xí)交流PPT,就是定積分的被積表達(dá)式,上述第二步中的近似表達(dá)式,可確定定積分的被積表達(dá)式,方法是：,于是有,再將區(qū)間,則,可寫為,稱,為面積A的微元，,于是,即,記為,78,學(xué)習(xí)交流PPT,一般地，當(dāng)所求量F符合下列條件：,以上方法稱為,這就給出了定積分的被積表達(dá)式,于是,“微元法”,79,學(xué)習(xí)交流PPT,微元法解決實(shí)際問題的一般步驟如下：,(1) 根據(jù)問題的具體情況，,選取一個(gè)變量,例如取,為積分變量，,并確定它的變化區(qū)間,以上步驟要熟練

14、掌握!,80,學(xué)習(xí)交流PPT,如：平面圖形的面積；,引力和平均值;,液體的壓力；,變力做功；,平面曲線的弧長；,體積；,注意 微元法解決實(shí)際問題的使用對象：,具有可加性的量,等等.,81,學(xué)習(xí)交流PPT,定積分的幾何應(yīng)用,1）如果,則,S,S,即,（一）、在直角坐標(biāo)系下的面積問題,82,學(xué)習(xí)交流PPT,如圖,則,83,學(xué)習(xí)交流PPT,用微元法：,84,學(xué)習(xí)交流PPT,用微元法：,85,學(xué)習(xí)交流PPT,所圍成的圖形,例1 計(jì)算由拋物線,的面積A .,解,用微元法,86,學(xué)習(xí)交流PPT,確定積分區(qū)間：,解,方法一：選擇 x 作積分變量,從而得到積分區(qū)間,區(qū)間上任取一小區(qū),間,dA,面積微元,87,學(xué)習(xí)交流PPT,確定積分區(qū)間：,面積微元,方法二：選擇 y 作積分變量,解得 y=0, y=1,從而得到積分區(qū)間,區(qū)間上任取一小區(qū),間,1,y,y+dy,dA,88,學(xué)習(xí)交流PPT,6.6 反常積分初步,一 無窮限積分,（一）無窮限積分的定義和性質(zhì),1 定義：,89,學(xué)習(xí)交流PPT,上式右邊兩個(gè)反常積分中若有一個(gè)發(fā)散，則此無窮限積分發(fā)散，只有右邊兩個(gè)都收斂才收斂。,90,學(xué)習(xí)交流PPT,2 利用定義判別無窮限積分的斂散性,例1 討論下列無窮限積分的斂散性：,解：,91,學(xué)習(xí)交流PPT,3 無窮限積分的性質(zhì),（1）性質(zhì)1：,（2）性質(zhì)2：,（3）性質(zhì)3：,（4）性質(zhì)4：,