1、第三篇 數(shù)學(xué)物理方程,所謂數(shù)學(xué)物理方程，主要是指物理學(xué)和工程科學(xué)與技術(shù)中導(dǎo)出的，反映物理量之間關(guān)系的偏微分方程(和積分方程). 本篇主要介紹三類(lèi)典型的二階線性偏微分方程：波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和穩(wěn)定場(chǎng)方程及有關(guān)定解問(wèn)題的幾種常見(jiàn)解法,基本概念,第九章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題,偏微分方程作為一門(mén)數(shù)學(xué)分支，它是人們?cè)趯?duì)一些物理問(wèn)題，如彈性體的振動(dòng)、電磁波的傳播、熱的傳導(dǎo)等物理現(xiàn)象進(jìn)行研究后總結(jié)出來(lái)的.,人們通過(guò)研究這些物理現(xiàn)象，總結(jié)它們的物理規(guī)律，并將物理規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的形式，就得到了偏微分方程.,由于偏微分方程是從物理問(wèn)題中歸結(jié)出來(lái)的，所以也稱(chēng)之為數(shù)學(xué)物理方程，簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)理方程.在數(shù)學(xué)上，也稱(chēng)數(shù)理方程為泛定

2、方程.,由于偏微分方程反映的是同一類(lèi)物理現(xiàn)象的共同規(guī)律，所以?xún)H僅知道這種共同規(guī)律還不足以掌握和了解具體問(wèn)題的特殊性.就物理現(xiàn)象來(lái)說(shuō)，各個(gè)具體問(wèn)題的特殊性就在于研究對(duì)象所處的特定條件，即初始條件和邊界條件.在數(shù)學(xué)上，初始條件和邊界條件合稱(chēng)為定解條件.,偏微分方程用來(lái)描述同一類(lèi)物理現(xiàn)象的共性，是解決問(wèn)題的依據(jù)，定解條件則反映了具體問(wèn)題的個(gè)性，指出了問(wèn)題的具體情況. 泛定方程和定解條件合為一體，就稱(chēng)為數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題.數(shù)學(xué)物理方程這一部分的任務(wù)就是：在定解條件下，求解泛定方程.,9.1 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出 9.2 定解條件 9.3 二階線性偏微分方程的分類(lèi)與化簡(jiǎn) 9.4 行波法和DAlembert公

3、式,章節(jié)安排,第一節(jié) 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出,一、 波動(dòng)方程,假設(shè)有一根均勻且柔軟的弦，沿水平方向緊繃，給它一個(gè)很小的橫向擾動(dòng)，使弦在鉛直平面內(nèi)作微小橫振動(dòng)，求弦上各點(diǎn)的振動(dòng)情況，即弦上任意一點(diǎn)在任意時(shí)刻的橫向位移.,弦的振動(dòng)是一種機(jī)械運(yùn)動(dòng)，機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本定律是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的 ，然而弦并不是質(zhì)點(diǎn)，所以對(duì)整根弦并不適用. 但是，如果我們把整根弦細(xì)分為許多極小的小段，并將每個(gè)小段抽象為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，這樣我們就可以應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的基本定律了。,1. 均勻弦的微小橫振動(dòng),為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們假設(shè)弦的重量很輕，重力相對(duì)于弦的張力來(lái)說(shuō)可以忽略不計(jì)，從而將整根弦抽象為沒(méi)有質(zhì)量的弦.,圖9.1.1 均勻弦的微小橫振動(dòng),由于B

4、段是任選的，所以方程（7）適用于弦上各點(diǎn)，（7）式即為整根弦的微小橫振動(dòng)方程，我們稱(chēng)之為弦的受迫振動(dòng)方程,如果弦在振動(dòng)過(guò)程中是自由的（即不受外力作用），從而得到弦的自由振動(dòng)方程,（8）,方程(7)與(8)的差別在于(7)的右端多了一個(gè)與未知函數(shù)無(wú)關(guān)的項(xiàng),這個(gè)項(xiàng)稱(chēng)為自由項(xiàng).含有非零自由項(xiàng)的方程稱(chēng)為非齊次方程,自由項(xiàng)恒等于零的方程稱(chēng)為齊次方程. 方程(7)為一維非齊次波動(dòng)方程, 方程(8) 為一維齊次波動(dòng)方程 .,2桿的縱振動(dòng),假設(shè)有一根均勻且具有彈性的桿，桿的每單位長(zhǎng)度上單位橫截面積所受縱向外力為 ，桿在此力的作用下做微小縱振動(dòng)，求桿上各點(diǎn)的振動(dòng)情況.,圖9.1.2 桿的縱振動(dòng),這就是桿的受迫縱

5、振動(dòng)方程,雖然桿的縱振動(dòng)與弦的橫振動(dòng)機(jī)理并不完全相同，但它們所滿(mǎn)足的偏微分方程的形式卻是完全一樣的，這是因?yàn)樗麄儩M(mǎn)足同一類(lèi)物理規(guī)律.我們將用來(lái)描述所有連續(xù)介質(zhì)（弦、桿、膜、氣體、電磁場(chǎng)等）振動(dòng)過(guò)程的方程統(tǒng)稱(chēng)為波動(dòng)方程，換句話說(shuō)，波動(dòng)方程可用來(lái)描述振動(dòng)過(guò)程.,弦的橫振動(dòng)方程和桿的縱振動(dòng)方程中的空間坐標(biāo)是一維的，更一般的，三維空間中的波動(dòng)方程為,（11）,其中,（12）,為L(zhǎng)aplace算符,二 熱傳導(dǎo)方程,假設(shè)有一塊熱的物體，如果體內(nèi)各處的溫度是不均勻的，那么熱量就會(huì)從溫度高的地方向溫度低的地方傳遞，這種現(xiàn)象就是熱傳導(dǎo).由于熱量的傳遞過(guò)程總是表現(xiàn)為溫度隨著時(shí)間和點(diǎn)的位置的變化而變化，所以，解決熱

6、傳導(dǎo)問(wèn)題就要?dú)w結(jié)為求物體內(nèi)溫度的分布.,熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)方法和波動(dòng)方程的推導(dǎo)方法是類(lèi)似的，不同之處只是在于具體的物理規(guī)律不同.這里要用到的是熱學(xué)方面的兩個(gè)基本規(guī)律：能量守恒定律和熱傳導(dǎo)的Fourier定律,首先簡(jiǎn)單介紹一下Fourier定律,（13）,（14）,即,負(fù)號(hào)表示熱流方向與溫度的變化方向相反,現(xiàn)在我們來(lái)研究三維各向同性介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)方程,圖9.1.3 熱傳導(dǎo),根據(jù)能量守恒定律,并得熱傳導(dǎo)方程,如果介質(zhì)內(nèi)沒(méi)有熱源 ，則熱傳導(dǎo)方程簡(jiǎn)化為,（17）,與熱傳導(dǎo)類(lèi)似，由于物質(zhì)濃度的不均勻而導(dǎo)致粒子擴(kuò)散的輸運(yùn)過(guò)程也可以通過(guò)方程（16）或（17）來(lái)描述，我們稱(chēng)這一類(lèi)方程為熱傳導(dǎo)方程或輸運(yùn)方程。,從

7、物理的觀點(diǎn)來(lái)看，輸運(yùn)方程是用來(lái)描述輸運(yùn)過(guò)程的，當(dāng)我們研究熱的傳導(dǎo)、粒子的擴(kuò)散、粘性液體的流動(dòng)等物理現(xiàn)象時(shí)，就會(huì)得到輸運(yùn)方程.,三 穩(wěn)定場(chǎng)方程,在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，在一定條件下，當(dāng)物體的溫度達(dá)到穩(wěn)恒狀態(tài)（不隨時(shí)間的變化而變化）時(shí) ，溫度分布所滿(mǎn)足的熱傳導(dǎo)方程就會(huì)轉(zhuǎn)化為Poisson（泊松）方程,或者Laplace方程,（18）,（19）,Poisson方程和Laplace方程統(tǒng)稱(chēng)為穩(wěn)定場(chǎng)方程. 穩(wěn)定場(chǎng)方程可以用來(lái)描述一切穩(wěn)定的物理狀態(tài)，如穩(wěn)定的電場(chǎng)和磁場(chǎng)、不可壓縮液體的位流、穩(wěn)定熱場(chǎng)等等.,最后指出，量子力學(xué)中描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程,（20）,也是一種線性偏微分方程，其中表示波函數(shù)，表示勢(shì)能.

8、不過(guò)我們無(wú)法推導(dǎo)薛定諤方程，它的正確性是從它所推斷出的結(jié)論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得較好而被證實(shí)的.注意，它的左端有一個(gè)虛數(shù)，因此它的性質(zhì)與經(jīng)典的熱傳導(dǎo)方程有很大區(qū)別.,第二節(jié) 定解條件,上一節(jié)中推導(dǎo)出的偏微分方程，可以用來(lái)描述具有某種共同物理規(guī)律的一類(lèi)物理現(xiàn)象，但并不能惟一地、確定地描寫(xiě)某一個(gè)具體的物理過(guò)程.為了完全描寫(xiě)一個(gè)具有確定解的物理問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上就要構(gòu)成一個(gè)定解問(wèn)題，即除了微分方程，還必須有初始條件和邊界條件.,一初始條件,初始條件應(yīng)該完全描寫(xiě)初始時(shí)刻介質(zhì)內(nèi)部及邊界上任意一點(diǎn)的狀態(tài)分布情況.,振動(dòng)問(wèn)題,從物理的角度考慮，對(duì)于波動(dòng)方程，應(yīng)該給出初始時(shí)刻的“位移”和“速度”；從數(shù)學(xué)的角度看，由于波

9、動(dòng)方程關(guān)于時(shí)間的偏導(dǎo)是二階的，因此需要列出兩個(gè)初始條件：,例1 有一根長(zhǎng)為 的兩端固定且緊繃的弦，用手將弦的中點(diǎn)橫向撥開(kāi)距離 ，如圖9.2.1所示，然后輕輕放手任其振動(dòng)，試寫(xiě)出初始條件.,圖9.2.1,解：顯然，弦的振動(dòng)滿(mǎn)足波動(dòng)方程，初始時(shí)刻就是輕輕放手的那個(gè)瞬間，初始條件就是放手瞬間弦的位移和速度.由于是輕輕地放手，所以初速度為零，即,初始位移為,而不能寫(xiě)成,輸運(yùn)問(wèn)題,對(duì)于熱傳導(dǎo)方程，由于方程中只出現(xiàn)了未知函數(shù)關(guān)于時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)，所以只需要給出初始溫度 一個(gè)條件即可,穩(wěn)定問(wèn)題,對(duì)于穩(wěn)定場(chǎng)方程，由于方程中不出現(xiàn)關(guān)于時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此不需要初始條件,二邊界條件,我們知道，超距作用在

10、物理學(xué)中是不存在的，研究對(duì)象總是通過(guò)邊界與外界相接觸，所以外界對(duì)研究對(duì)象的作用只能通過(guò)邊界來(lái)進(jìn)行，對(duì)于具體的物理問(wèn)題，我們就必須清楚邊界所處的物理狀態(tài)，即邊界條件.,邊界條件應(yīng)該完全描寫(xiě)邊界上各點(diǎn)在任意時(shí)刻（ ）的狀態(tài)分布情況.,常見(jiàn)的線性邊界條件通常分為三類(lèi)： 第一類(lèi)邊界條件 第二類(lèi)邊界條件 第三類(lèi)邊界條件,第一類(lèi)邊界條件,直接給出所研究的物理量在邊界上的數(shù)值的邊界條件稱(chēng)為第一類(lèi)邊界 條件，即,（1）,（2）,（3）,第二類(lèi)邊界條件,直接給出所研究的物理量在邊界外法線方向的方向?qū)?shù)的邊界條件稱(chēng)為第二類(lèi)邊界條件，即,（4）,圖9.2.2,（5）,（7）,（6）,（8）,（9）,第三類(lèi)邊界條件,

11、第三類(lèi)邊界條件既不直接給出所研究物理量在邊界的函數(shù)值，也不直接給出所研究物理量在邊界外法線方向的方向?qū)?shù)的函數(shù)值，而是給出二者的線性組合在邊界上的值，即,（10）,（11）,（12）,其他條件,現(xiàn)實(shí)世界中的物質(zhì)系統(tǒng)一般都是有限的，存在著邊界，比如任意一根弦都是有限長(zhǎng)的，存在兩個(gè)端點(diǎn).但是，當(dāng)我們著重討論靠近某一端的那段弦時(shí)，在不太長(zhǎng)的時(shí)間里，另一端的影響還沒(méi)來(lái)得及傳到，不妨認(rèn)為另一端并不存在，或者說(shuō)在無(wú)限遠(yuǎn)處，這樣，有限長(zhǎng)的弦就抽象成半無(wú)界的弦了，自然不需要提出另一端的邊界條件.如果我們著重討論不靠近兩端的那段弦，在不太長(zhǎng)的時(shí)間里，兩端的影響都還沒(méi)來(lái)得及傳到，不妨認(rèn)為兩端不存在或者說(shuō)兩端都在無(wú)

12、限遠(yuǎn)處，這樣，有限長(zhǎng)的弦就抽象成無(wú)界的弦了，當(dāng)然不需要提出邊界條件.這就是無(wú)界條件和半無(wú)界條件.,一般來(lái)說(shuō)，由泛定方程和定解條件構(gòu)成的定解問(wèn)題一定可以求出特解，但是必須指出的是：如果我們所研究的系統(tǒng)是由不同特性的幾種介質(zhì)組成的，那么在定解條件中除了初始條件和邊界條件外，在兩種介質(zhì)的交界面（或交界線、交界點(diǎn)）上還應(yīng)當(dāng)有銜接條件.,（15）,（16）,在某些情況下，出于物理上的合理性等原因，要求解為單值、有 限等條件，提出所謂的自然邊界條件，如Euler方程,的通解為,三定解問(wèn)題的適定性,由物理模型建立的定解問(wèn)題能否反映客觀規(guī)律性，這需要依靠實(shí)踐的檢驗(yàn).然而，從數(shù)學(xué)上可以由以下三個(gè)方面加以論證：,

13、第一，定解問(wèn)題的解是否存在，即解的存在性問(wèn)題； 第二，定解問(wèn)題的解是否只有一個(gè)，即解的惟一性問(wèn)題； 第三，當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，定解問(wèn)題的解的變化是否也是微小的，即解的穩(wěn)定性問(wèn)題.,解的存在性和惟一性很容易理解，下面簡(jiǎn)單介紹一下解的穩(wěn)定性問(wèn)題.解的穩(wěn)定性問(wèn)題主要是討論當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，相應(yīng)的解該如何變化.我們?cè)谘芯课锢憩F(xiàn)象時(shí),定解條件是通過(guò)測(cè)量得到的,而測(cè)量就不免有誤差.如果定解條件的微小誤差導(dǎo)致解的極大變化,那么我們所考慮的定解問(wèn)題就不能正確地反映實(shí)際的物理問(wèn)題,因而求得的解是無(wú)意義的.相反地，如果定解問(wèn)題的解是穩(wěn)定的,那么,只要定解條件的誤差在一定的范圍之內(nèi),我們所得到的解就必

14、然近似于所要求的解.,定解問(wèn)題的解的存在性、惟一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱(chēng)為定解問(wèn)題的適定性.如果一個(gè)定解問(wèn)題的解是存在的惟一的而且穩(wěn)定的,我們就說(shuō),該定解問(wèn)題是適定的.,第三節(jié) 二階線性偏微分方程的分類(lèi)與化簡(jiǎn),一二階線性偏微分方程,在數(shù)理方程的建立過(guò)程中，我們主要討論了三類(lèi)典型的偏微分方程：波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和穩(wěn)定場(chǎng)方程這三類(lèi)方程描寫(xiě)了不同的物理現(xiàn)象及其過(guò)程，后面我們將會(huì)看到它們的解也表現(xiàn)出各自不同的特點(diǎn)，但是從形式上它們都屬于二級(jí)線性偏微分方程.,（1）,二疊加原理,線性偏微分方程（9.3.1）具有一個(gè)非常重要的特征，我們稱(chēng)之為疊加原理，即若 是線性偏微分方程,（2）,（3）,的解。,（4）,需要注

15、意的是，疊加原理僅適用于線性問(wèn)題，對(duì)非線性問(wèn)題并不適 用.,第四節(jié) 行波法和DAlembert公式,我們?cè)诮獬Ｎ⒎址匠虝r(shí)，總是首先求出方程的通解，然后再利用附加條件確定通解中的常數(shù)系數(shù)，從而得到方程的確定解，這就是所謂的通解法.現(xiàn)在我們利用通解法來(lái)嘗試求解無(wú)限長(zhǎng)的弦的自由橫振動(dòng)問(wèn)題.,一DAlembert（達(dá)朗貝爾）公式,解： 列出定解問(wèn)題 弦的自由橫振動(dòng)屬于波動(dòng)，因此可以用齊次波動(dòng)方程來(lái)描述.由于弦是無(wú)限長(zhǎng)的，在有限的時(shí)間內(nèi)，當(dāng)弦的兩個(gè)端點(diǎn)的影響還沒(méi)來(lái)得及傳到時(shí)，不妨認(rèn)為沒(méi)有邊界條件.因此，可以列出下面的定解問(wèn)題, 簡(jiǎn)化泛定方程 泛定方程（1）為即,（3）,作變量代換：令,，即,則在此變換下有,（4）,從而（1）簡(jiǎn)化為,（5）, 求泛定方程的通解 方程（5）很容易求解：先對(duì),積分，有,（6）,（7）,為了使通解（7）滿(mǎn)足初始條件（2），將（7）式代入（2）式，得,于是,代入通解即得原定解問(wèn)題的解,（8）,我們稱(chēng)（8）式為DAlembert公式,二 通解的物理意義,圖9.4.1 DAlembert公式解的物理意義,先考察第一項(xiàng),可以看作是左右行波的疊加,