1、2.5 線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解,線性時變系統(tǒng)客觀存在，研究具有重要意義。,電路系統(tǒng)電阻R隨溫度 t 發(fā)生變化；,火箭控制系統(tǒng)燃料消耗使其質(zhì)量m隨時間 t 發(fā)生變化等。,線性時變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述：,2.5.1 線性時變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的求解,時變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程,齊次一階微分方程,分離變量法求解一階微分方程,A(t)與 滿足矩陣乘法可交換條件,A(t)與 滿足矩陣乘法可交換條件：,矩陣乘法可交換條件為對任意的時間t1和t2滿足：,時變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為,對上式求導(dǎo)數(shù)，得：,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,注意：一般時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣難以得到封閉形式。,例2.6：系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,A(t)與

2、 滿足矩陣乘法可交換條件。,逐次逼近法求解時變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程,第一次逼近，令,第二次逼近，令,依此類推，第 n 次逼近的近似解為,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為,皮亞諾-貝克（Peano-Baker)級數(shù),例2.7：時變系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為,A(t)與 不滿足矩陣乘法可交換條件：,2.5.2 線性時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,一般情況下，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣不能寫成封閉形式，利用數(shù)值計(jì)算近似求得。,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)：,（1） 時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 滿足如下矩陣微分方程和初始條件,證明：,代入狀態(tài)方程得,由于X(t0)是任意的，則必有,當(dāng)t = t0 得到,證明：,2.5.3 線性時變系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的求解,當(dāng)t=t0時

3、，有,2.6 線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解,線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：,離散時變系統(tǒng),離散定常系統(tǒng),求解方法： 1。迭代法 2。解析法 3。Z變換法,2.6.1 迭代法,迭代法：既適應(yīng)于離散時變系統(tǒng)也適應(yīng)于離散定常系統(tǒng)。,求解條件： 1。給定離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式(G，H，C，D)；,2。給定離散系統(tǒng)初始狀態(tài) X（t0） 或 X（0）及控制輸入U（k）。,1. 討論時變系統(tǒng),給定初始條件：X（0）, 控制輸入U（k）, k = 0, 1, 2, 3, ,2. 討論定常系統(tǒng),給定初始條件：X（0）, 控制輸入U（k）, k = 0, 1, 2, 3, ,例2.8 設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,系統(tǒng)的

4、初始狀態(tài)為： , 輸入控制為：u(k)=1(k),求離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。,解 采用迭代法,2.6.2 解析法,1. 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,定義2.4：定義線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為滿足矩陣差分方程 的解,性質(zhì)：,利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為：,若初始時刻 k=h , 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 X(h) , 則線性定常離散系統(tǒng)的解可表示為：,系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為：,證明：僅針對線性時不變離散系統(tǒng)進(jìn)行討論,2. 線性時間離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,定義2.5：定義線性時間離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為滿足以下矩陣差分方程的解,性質(zhì)：,利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，線性時間離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為

5、：,若初始時刻 k=h , 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 X(h) , 則線性時間離散系統(tǒng)的解可表示為：,系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為：,2.6.3 Z 變換法,Z 變換法：只適應(yīng)于離散定常系統(tǒng)。,求解條件： 1。給定離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式(G，H，C，D)；,2。給定離散系統(tǒng)初始狀態(tài) X（0）及控制輸入U（k）。,對上式進(jìn)行 Z 變換得：,系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為：,例2.9：系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,其中，,試求 u(k) = 1 時狀態(tài)方程的解。,解：采用Z變換法求狀態(tài)方程的解,2.6.4 化G為標(biāo)準(zhǔn)型法,1。當(dāng)離散系統(tǒng)矩陣 G 特征值為單根時，可用線性非奇異變換陣 P 將系統(tǒng)矩陣 G 化為對角線標(biāo)準(zhǔn)型,2。當(dāng)離散系統(tǒng)矩陣

6、G 特征值具有重根時，可用線性非奇異變換陣 P 將系統(tǒng)矩陣 G 化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,2.6.5 化G為有限項(xiàng),應(yīng)用凱萊-哈密爾頓定理，系統(tǒng)矩陣 G 滿足其自身的化零多項(xiàng)式。,離散系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可化為G的有限項(xiàng),例2.10 ： 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,試求 x(0) = 1 0T 時系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。,解： 離散系統(tǒng)特征方程為：,特征值為,根據(jù)上述公式，待定系數(shù)可由下式求?。?解之得,離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：,離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為：,2.7 線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化,在利用數(shù)字計(jì)算機(jī)求解連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程或者對連續(xù)受控對象進(jìn)行控制時都會遇到把連續(xù)時間狀態(tài)方程化為離散時間狀態(tài)方程的問題。

7、,三個假設(shè)：1）假定離散方式是等周期采樣，采樣周期為 T ；2）采用零階保持器，輸入向量u(t)只在采樣時刻變化； u(t)= u(kT)=常數(shù) kT t (k+1)T 3）采樣周期的選擇滿足香農(nóng)(shannon)采樣定理。,其中，A，B，C，D 均為常數(shù)矩陣。,連續(xù)線性定常系統(tǒng)：,離散線性定常系統(tǒng)：,其中，G，H，C，D 均為常數(shù)矩陣。,連續(xù)系統(tǒng),離散系統(tǒng),證明：,當(dāng) t0 = kT 時，有,當(dāng) t = (k+1)T 時，有,作變量代換，令 t = (k+1)T- , 則 = (k+1)T- t,線性定常連續(xù)系統(tǒng)離散化成線性定常離散系統(tǒng)步驟：,給定,例2.11 已知線性連續(xù)定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,求其離散化狀態(tài)方程。,解：,當(dāng) T=1 時,離散狀態(tài)方程：,線性時