1、蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院題 目 0-1背包問題算法實現(xiàn)院 系 數(shù)理院 專業(yè)班級 信計09 學(xué)生姓名 雷雪艷 學(xué) 號 200905130 指導(dǎo)教師 李秦 二一二年 六 月 五 日一、問題描述： 1、01背包問題：給定n種物品和一個背包，背包最大容量為M，物品i的重量是wi,其價值是平Pi，問應(yīng)當(dāng)如何選擇裝入背包的物品，似的裝入背包的物品的總價值最大？背包問題的數(shù)學(xué)描述如下：2、要求找到一個n元向量(x1，x2xn)，在滿足約束條件：情況下，使得目標(biāo)函數(shù)，其中，1in；M0；wi0；pi0。滿足約束條件的任何向量都是一個可行解，而使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大的那個可行解則為最優(yōu)解1。 給定n 種物品

2、和1個背包。物品i 的重量是wi，其價值為pi，背包的容量為M。問應(yīng)如何裝入背包中的物品，使得裝人背包中物品的總價值最大？在選擇裝人背包的物品時，對每種物品i只有兩種選擇，即裝入背包、不裝入背包。不能將物品i 裝人背包多次，也不能只裝入部分的物品i。該問題稱為0-1背包問題。0-1背包問題的符號化表示是，給定M0， w i 0， pi 0，1in ，要求找到一個n元0-1向量向量(x1，x2xn)， X i =0 或1 , 1in, 使得 ，而且達(dá)到最大2。二、解決方案：方案一：貪心算法1、貪心算法的基本原理與分析 貪心算法總是作出在當(dāng)前看來是最好的選擇，即貪心算法并不從整體最優(yōu)解上加以考慮，

3、它所作出的選擇只是在某種意義上的局部最優(yōu)解。貪心算法不是對所有問題都能得到整體最優(yōu)解，但對范圍相當(dāng)廣的許多問題它能產(chǎn)生整體最優(yōu)解。在一些情況下，即使貪心算法不能得到整體最優(yōu)解，但其最終結(jié)果卻是最優(yōu)解的很好近似解。貪心算法求解的問題一般具有兩個重要性質(zhì)：貪心選擇性質(zhì)和最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。所謂貪心選擇性質(zhì)是指所求問題的整體最優(yōu)解可以通過一系列局部最優(yōu)解的選擇，即貪心選擇來達(dá)到。這是貪心算法可行的第一個基本要素，也是貪心算法與動態(tài)規(guī)劃算法的主要區(qū)別。當(dāng)一個問題的最優(yōu)解包含其子問題的最優(yōu)解時，稱此問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)是該問題可用動態(tài)規(guī)劃算法或貪心算法求解的關(guān)鍵特征。2、0-1背包問

4、題的實現(xiàn)對于0-1背包問題，設(shè)A是能裝入容量為c的背包的具有最大價值的物品集合，則Aj=A-j是n-1個物品1,2,.,j-1,j+1,.,n可裝入容量為c-wj的背包的具有最大價值的物品集合。用貪心算法求解0-1背包問題的步驟是，首先計算每種物品單位重量的價值vi/wi；然后，將物品進(jìn)行排序，依貪心選擇策略，將盡可能多的單位重量價值最高的物品裝入背包。若將這種物品全部裝入背包后，背包內(nèi)的物品總量未超過c，則選擇單位重量價值次高的物品并盡可能多地裝入背包。依此策略一直進(jìn)行下去，直到背包裝滿為止。3、算法設(shè)計如下：#include#define max 100 /最多物品數(shù)void sort (

5、int n,float amax,float bmax) /按價值密度排序int j,h,k;float t1,t2,t3,cmax;for(k=0;kn;k+)ck=ak/bk;for(j=0;jn;j+)if(cjcj+1)t1=aj;aj=aj+1;aj+1=t1;t2=bj;bj=bj+1;bj+1=t2;t3=cj;cj=cj+1;cj+1=t3;void knapsack(int n,float limitw,float vmax,float wmax,int xmax)float c1; /c1為背包剩余可裝載重量int i;sort(n,v,w); /物品按價值密度排序c1=l

6、imitw;for(i=0;ic1)break;xi=1; /xi為1時，物品i在解中c1=c1-wi;void main()int n,i,xmax;float vmax,wmax,totalv=0,totalw=0,limitw;coutn limitw;for(i=1;i=n;i+)xi=0; /物品選擇情況表初始化為0cout請依次輸入物品的價值：endl;for(i=1;ivi;coutendl;cout請依次輸入物品的重量：endl;for(i=1;iwi;coutendl;knapsack (n,limitw,v,w,x);coutthe selection is:;for(i=

7、1;i=n;i+)coutxi;if(xi=1)totalw=totalw+wi;totalv=totalv+vi;coutendl;cout背包的總重量為：totalwendl; /背包所裝載總重量cout背包的總價值為：totalvendl; /背包的總價值4、貪心算法運行結(jié)果如下圖所示：方案二：動態(tài)規(guī)劃算法1、動態(tài)規(guī)劃的基本原理與分析動態(tài)規(guī)劃算法的基本思想是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然后從這些子問題的解得到原問題的解。但是經(jīng)分解得到的子問題往往不是互相獨立的。不同子問題的數(shù)目常常只有多項式量級。如果能夠保存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，就可以避免

8、大量重復(fù)計算，從而得到多項式時間算法。它把已知問題分為很多子問題，按順序求解子問題，在每一種情況下，列出各種情況的局部解，按條件從中選取那些最有可能產(chǎn)生最佳的結(jié)果舍棄其余。前一子問題為后面子問題提供信息，而減少計算量，最后一個子問題的解即為問題解。采用此方法求解0-1背包問題的主要步驟如下：分析最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)：最有子結(jié)構(gòu)性質(zhì)；建立遞歸方程；計算最優(yōu)值；構(gòu)造最優(yōu)解4。2、 0-1背包問題的實現(xiàn) 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)0-1背包問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。設(shè)(y1，y2yn)是所給0-1背包問題的一個最優(yōu)解，則(y2，y3yn)是下面相應(yīng)子問題的一個最優(yōu)解：因若不然，設(shè)(z2，z3zn)是上述問題的一個最優(yōu)解，

9、而(y2，y3yn)不是它的最優(yōu)解，由此可見,且c。因此c這說明(y1，z2zn)是所給0-1背包問題的一個更優(yōu)解，從而(y1，y2yn)不是所給0-1背包問題的最優(yōu)解。此為矛盾1。 遞歸關(guān)系設(shè)所給0-1背包問題的子問題 的最優(yōu)值為m(i,j)，即m(i,j)是背包容量為j，可選擇物品為i，i+1，n時0-1背包問題的最優(yōu)值。由0-1背包問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，可以建立計算m(i,j)的遞歸式如下：3、算法設(shè)計如下：#include#includeusing namespace std;const int MAX=1000;int wMAX,vMAX,bestMAX;int VMAXMAX; /

10、最大價值矩陣int W,n; /W為背包的最大載重量，n為物品的數(shù)量/求最大值函數(shù)int max(int x,int y) return x = y?x:y;/求最小值函數(shù)int min(int x,int y)return x= y ? y:x;void Knaspack()int Max=min(wn-1,W); for(int j=1; j = Max ; j+)Vnj=0;for( j=wn; j 1 ; i-)Max=min(wi-1,W);for( j=1; j = Max ; j+)Vij=Vi+1j;for( j=wi; j w1) V1W=max(V1W,V2W-w1+v1)

11、;/生成向量數(shù)組，決定某一個物品是否應(yīng)該放入背包void Traceback()for(int i=1; i n ; i+) /比較矩陣兩鄰兩行(除最后一行)，背包容量為W的最優(yōu)值.if(ViW = Vi+1W) /如果當(dāng)前行的最優(yōu)值與下一行的最優(yōu)值相等，則表明該物品不能放入。besti=0;else /否則可以放入besti=1;W-=wi;bestn=(VnW )?1:0;void main() coutnW;cout輸入每件商品的重量w:endl;for(int i=1;iwi;memset(V,0,sizeof(V);cout輸入每件商品的價值v:endl;for( i=1;ivi;K

12、naspack();/構(gòu)造矩陣 Traceback(); /求出解的向量數(shù)組int totalW=0;int totalV=0;/顯示可以放入的物品cout所選擇的商品如下:endl;cout序號i:重量w:價格v:endl;for(i=1; i = n ; i+)if(besti = 1)totalW+=wi;totalV+=vi;coutsetiosflags(ios:left)setw(5)i wi viendl;cout放入的物品重量總和是:totalW 價值最優(yōu)解是:V1W totalVendl;4、計算復(fù)雜性分析利用動態(tài)規(guī)劃求解0-1背包問題的復(fù)雜度為0(minnc,2n。動態(tài)規(guī)劃

13、主要是求解最優(yōu)決策序列，當(dāng)最優(yōu)決策序列中包含最優(yōu)決策子序列時，可建立動態(tài)規(guī)劃遞歸方程，它可以幫助高效地解決問題8。5、動態(tài)規(guī)劃運行結(jié)果如下圖所示：方案三：回溯法1、回溯法的基本原理與分析回溯是一種系統(tǒng)地搜索問題解答的方法。為了實現(xiàn)回溯，首先需要為問題定義一個解空間，這個解空間必須至少包含問題的一個解(可能是最優(yōu)的)。回溯法需要為問題定義一個解空間，這個解空間必須至少包含問題的一個解(可能是最優(yōu)的)。使用遞歸回溯法解決背包問題的優(yōu)點在于它算法思想簡單，而且它能完全遍歷搜索空間，肯定能找到問題的最優(yōu)解奉但是由于此問題解的總組合數(shù)有個，因此隨著物件數(shù)n的增大，其解的空間將以n級增長，當(dāng)n大到一定程度

14、上，用此算法解決背包問題將是不現(xiàn)實的。下一步是組織解空間以便它能被容易地搜索。典型的組織方法是圖或樹。一旦定義了解空間的組織方法，這個空間即可按照深度優(yōu)先的方法從開始結(jié)點進(jìn)行搜索，利用限界函數(shù)避免移動到不可能產(chǎn)生解的子空間。2、 0-1背包問題的實現(xiàn)回溯法是一種系統(tǒng)地搜索問題解答的方法。為了實現(xiàn)回溯，首先需要為問題定義一個解空間，這個解空間必須至少包含問題的一個解(可能是最優(yōu)的)。一旦定義了解空間的組織方要選擇一個對象的子集，將它們裝人背包，以便獲得的收益最大，則解空間應(yīng)組織成子集樹的形狀。首先形成一個遞歸算法，去找到可獲得的最大收益。然后，對該算法加以改進(jìn)，形成代碼。改進(jìn)后的代碼可找到獲得最

15、大收益時包含在背包中的對象的集合。左子樹表示一個可行的結(jié)點，無論何時都要移動到它，當(dāng)右子樹可能含有比當(dāng)前最優(yōu)解還優(yōu)的解時，移動到它。一種決定是否要移動到右子樹的簡單方法是r為還未遍歷的對象的收益之和，將r加到cp (當(dāng)前節(jié)點所獲收益)之上，若( r+cp) bestp(目前最優(yōu)解的收益)，則不需搜索右子樹。一種更有效的方法是按收益密度vi/wi對剩余對象排序，將對象按密度遞減的順序去填充背包的剩余容量， 當(dāng)遇到第一個不能全部放人背包的對象時， 就使用它的一部分。3、算法設(shè)計如下：#includeusing namespace std;class Knapfriend int Knapsack(

16、int p,int w,int c,int n );public:void print()for(int m=1;m=n;m+) coutbestxm ; coutendl;private:int Bound(int i);void Backtrack(int i);int c;/背包容量int n; /物品數(shù)int *w;/物品重量數(shù)組int *p;/物品價值數(shù)組int cw;/當(dāng)前重量int cp;/當(dāng)前價值int bestp;/當(dāng)前最優(yōu)值int *bestx;/當(dāng)前最優(yōu)解int *x;/當(dāng)前解;int Knap:Bound(int i)/計算上界int cleft=c-cw;/剩余容量i

17、nt b=cp;/以物品單位重量價值遞減序裝入物品while(i=n&wi=cleft) cleft-=wi; b+=pi; i+;/裝滿背包if(in) if(bestpcp) for(int j=1;j=n;j+) bestxj=xj; bestp=cp;return;if(cw+wibestp)/搜索右子樹 xi=0; Backtrack(i+1); class Objectfriend int Knapsack(int p,int w,int c,int n);public:int operator=a.d);private:int ID;float d;int Knapsack(in

18、t p,int w,int c,int n)/為Knap:Backtrack初始化int W=0;int P=0;int i=1;Object *Q=new Objectn;for(i=1;i=n;i+)Qi-1.ID=i;Qi-1.d=1.0*pi/wi;P+=pi;W+=wi;if(W=c) return P;/裝入所有物品/依物品單位重量排序float f;for( i=0;in;i+)for(int j=i;jn;j+) if(Qi.dQj.d) f=Qi.d; Qi.d=Qj.d; Qj.d=f; Knap K;K.p = new intn+1; K.w = new intn+1;K

19、.x = new intn+1;K.bestx = new intn+1;K.x0=0;K.bestx0=0;for( i=1;i=n;i+)K.pi=pQi-1.ID;K.wi=wQi-1.ID;K.cp=0;K.cw=0;K.c=c;K.n=n;K.bestp=0;/回溯搜索K.Backtrack(1); K.print(); delete Q;delete K.w;delete K.p;return K.bestp;void main()int *p;int *w; int c=0;int n=0;int i=0;char k;while(k)cout請輸入背包容量(c)：c;cout請

20、輸入物品的個數(shù)(n)：n;p=new intn+1;w=new intn+1;p0=0;w0=0;cout請輸入物品的價值(p)：endl;for(i=1;ipi;cout請輸入物品的重量(w)：endl;for(i=1;iwi;cout最優(yōu)解為(bestx)：endl;cout最優(yōu)值為(bestp)：endl;coutKnapsack(p,w,c,n)endl; couts 重新開始endl;coutq 退出k;4、運行結(jié)果如下圖所示：方案四：分枝-限界法1、分枝-限界法的基本原理與分析 分枝限界發(fā)是另一種系統(tǒng)地搜索解空間的方法，它與回溯法的主要區(qū)別在于對E-結(jié)點(expansion nod

21、e)的擴充方式。每個活結(jié)點有且僅有一次會變成E-結(jié)點。當(dāng)一個結(jié)點變?yōu)镋-結(jié)點時，則生成從該結(jié)點移動一步即可到達(dá)的所有新結(jié)點。在生成的結(jié)點中，拋棄那些不可能導(dǎo)出(最優(yōu))可行解的結(jié)點，其余結(jié)點加人活結(jié)點表，然后從表中選擇一個結(jié)點作為下一個E結(jié)點。從活結(jié)點表中取出所選擇的結(jié)點并進(jìn)行擴充，直到找到解或活動表為空，擴充才結(jié)束。2、0-1背包問題的實現(xiàn)0-1背包問題的最大收益分枝定界算法可以使用定界函數(shù)來計算活結(jié)點的收益上限upprofit，使得以活結(jié)點為根的子樹中的任一結(jié)點的收益值都不可能超過upprofit，活結(jié)點的最大堆使用upprofit作為關(guān)鍵值域。在子集樹中執(zhí)行最大收益分枝定界搜索的函數(shù)首先初

22、始化活結(jié)點的最大堆，并使用一個數(shù)組bestx來記錄最優(yōu)解。由于需要不斷地利用收益密度來排序，物品的索引值會隨之變化，因此必須將函數(shù)所生成的結(jié)果映射回初始時的物品索引。函數(shù)中的循環(huán)首先檢驗E-結(jié)點左孩子的可行性，如它是可行的，則將它加入子集樹及活結(jié)點隊列(即最大堆)，僅當(dāng)結(jié)點右子樹的定界值指明可能找到一個最優(yōu)解時才將右孩子加入子集樹和隊列中。3、算法設(shè)計： #include class Knap;class Object;class Objectfriend int Knapsack(int *,int *,int ,int ,int *);public:int operator = a.d);

23、private:int ID;float d;/單位重量價值;class bbnodefriend Knap;friend int Kanpsack(int *,int *,int ,int ,int *);private:bbnode * parent;/指向父節(jié)點的指針bool LChild; /左兒子結(jié)點標(biāo)志;class HeapNodefriend Knap;public:operator int () const return uprofit;void Insert(HeapNode N);void DeleteMax(HeapNode N);private:int uprofit,

24、 /結(jié)點的價值上界profit; /結(jié)點所對應(yīng)的價值 int weight; /結(jié)點所對應(yīng)的重量int level; /活結(jié)點在子集樹中所處的層序號bbnode * ptr; /指向活結(jié)點在子集樹中相應(yīng)結(jié)點的指針;void HeapNode:Insert(HeapNode N)void HeapNode:DeleteMax(HeapNode N)class Knapfriend int Knapsack(int *,int *,int ,int ,int *);public:int MaxKnapsack();private:HeapNode *H;int MaxBoundary(int i)

25、;void AddLiveNode(int up,int cp,int cw,bool ch,int level);bbnode * E; /指向擴展結(jié)點的指針int c; /背包容量int n; /物品總數(shù)int *w; /物品重量數(shù)組int *p; /物品價值數(shù)組int cw; /當(dāng)前背包重量int cp; /當(dāng)前背包價值int * bestx; /最優(yōu)解的記錄數(shù)組;/計算所相應(yīng)的價值的上界int Knap:MaxBoundary(int i)int cleft=c-cw; /剩余容量int b=cp; /價值上限/以物品單位重量價值遞減序裝填剩余容量while(i=n&wi=cleft)

26、cleft-=wi;b+=pi;i+;/將背包的剩余容量裝滿if(iparent=E;b-LChild=ch;HeapNode N;N.uprofit=up;N.profit=cp;N.weight=cw;N.level=lev;N.ptr=b;H-Insert(N);/實施對子集樹的優(yōu)先隊列式分支界限搜索int Knap:MaxKnapsack()/優(yōu)先隊列式分支界限法，返回最大值，bestx返回最優(yōu)解/定義最大堆的容量為1000H=new HeapNode 1000;/為bestx分配存儲空間bestx=new int n+1;/初始化int i=1;E=0;cw=cp=0;int bes

27、tp=0; /當(dāng)前最優(yōu)解int up=MaxBoundary(1);/價值上界/搜索子集空間樹while(i!=n+1)/非葉結(jié)點/檢查當(dāng)前擴展結(jié)點的左兒子結(jié)點int wt=cw+wi;if(wtbestp)bestp=cp+pi;AddLiveNode(up,cp+pi,cw+wi,true,i+1);up=MaxBoundary(i+1);/檢查當(dāng)前擴展結(jié)點的右兒子結(jié)點if(up=bestp)AddLiveNode(up,cp,cw,false,i+1);/去下一個擴展結(jié)點HeapNode N;H-DeleteMax(N);E=N.ptr;cw=N.weight;cp=N.profit;u

28、p=N.uprofit;i=N.level;/構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解for(int j=n;j0;j-)bestxj=E-LChild;E=E-parent;return cp;/對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理并完成調(diào)用MaxKnapsackint Knapsack(int p,int w,int c,int n,int bestx)/返回最大值，bestx返回最優(yōu)解/初始化int W=0; /裝包物品重量int P=0; /裝包物品價值/定義依單位重量價值排序的物品數(shù)組Object * Q=new Objectn;for(int i=1;i=n;i+)/單位重量價值數(shù)組Qi-1.ID=i;Qi-1.d=(floa

29、t)1.0*pi/wi;P+=pi;W+=wi;if(W=c) return P;/所有物品裝包/依單位重量價值排序float f;for( i=0;in;i+)for(int j=i;jn;j+)if(Qi.dQj.d)f=Qi.d;Qi.d=Qj.d;Qj.d=f;/創(chuàng)建類Knap的數(shù)據(jù)成員Knap K;K.p=new int n+1;K.w=new int n+1;for(i=1;i=n;i+)K.pi=pQi-1.ID;K.wi=wQi-1.ID;K.cp=0;K.cw=0;K.c=c;K.n=n;/調(diào)用MaxKnapsack求問題的最優(yōu)解int bestp=K.MaxKnapsack

30、();for(int j=1;j=n;j+)bestxQj-1.ID=K.bestxj;delete Q;delete K.w;delete K.p;delete K.bestx;return bestp;void main()int m,n;int i=0,j=0;int p100,w20,x20;while(1)cout0-1背包問題遞歸法endl; cout請輸入背包的容量：endl;cout請輸入物品個數(shù)：endl; cout請輸入物品的重量：endl; cout請輸入物品的價值：endl; cout背包的最優(yōu)解為:endlKnapsack(p,w,m,n,x)endl; cout最優(yōu)

31、解條件下選擇的背包為:endl; for(i=1;i=n;i+) coutxit; coutendl;4、運行結(jié)果如下圖所示： 三、四種算法的比較與分析這四種算法都得到了驗證，運行結(jié)果證明了算法設(shè)計是可行的，正確的。通過對O-1背包問題的算法設(shè)計及時間復(fù)雜度分析可以看出。無論采用貪婪法還是動態(tài)規(guī)劃法，都是在已知約束條件下求解最大值建立數(shù)學(xué)模型算法實現(xiàn)的過程；但算法具體實現(xiàn)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的建立要用到遞歸和棧操作。比較貪婪法和動態(tài)規(guī)劃法。前者的時間復(fù)雜度低于后者，從耗費上而言優(yōu)于后者。但后者的實現(xiàn)算法可讀性要優(yōu)于前者。動態(tài)規(guī)劃算法的基本思想是把原問題分解為一系列子問題，然后從這些子問題中求出原問題的解

32、?；厮萜鋵嵕褪歉F舉，窮舉所有的解，找出解中最優(yōu)的值?；厮莘ㄔ诎瑔栴}的所有解的解空間樹中，按照深度優(yōu)先的策略，從根結(jié)點出發(fā)搜索解空間樹?；厮莘ǖ幕舅悸肥牵捍_定解空間，建立解空間樹，用深度優(yōu)先搜索算法遞歸搜索解空間樹，并同時注意剪枝,常用的分枝一限界法有最小耗費法，最大收益法。FIFO(先進(jìn)先出)法等。0-1背包問題的分枝一限界算法可以使用最大收益算法。該算法跟回溯法類似。但分枝限界法需要O()的解空間。故該算法不常用在背包問題求解?；厮莘ū确种ο藿缭谡加脙?nèi)存方面具有優(yōu)勢?；厮莘ㄕ加玫膬?nèi)存是0(解空間的最大路徑長度)，而分枝限界所占用的內(nèi)存為0(解空間大小)。對于一個子集空間，回溯法需要0(n

33、)的內(nèi)存空間，而分枝限界則需要0(2n)的空間。雖然最大收益或最小耗費分枝限界在直覺上要好于回溯法，并且在許多情況下可能會比回溯法檢查更少的結(jié)點，但在實際應(yīng)用中，它可能會在回溯法超出允許的時間限制之前就超出了內(nèi)存的限制。通過以上對0-1背包問題的求解分析，我們可以看到各種算法設(shè)計方法有各內(nèi)不同的特點，針對不同的問題領(lǐng)域，它們有不同的效率，對于求解0-1背包問題，各算法的時間復(fù)雜度、優(yōu)缺點以及改進(jìn)方法的比較如下表所示：算法時間復(fù)雜度優(yōu)點缺點改進(jìn)方法動態(tài)規(guī)劃O(minnc,）可求得最優(yōu)決策序列速度較慢建立動態(tài)規(guī)劃遞歸方程回溯法O(n）能夠獲得最優(yōu)解時間復(fù)雜度較高判斷右子樹時，按效率密度vi/wi對

34、剩余對象排序分枝-限界法O(）速度較快，易求解占用的內(nèi)存較大，效率不高最大收益或最小消耗分枝-限界法，F(xiàn)IFO法貪心算法O(nlogn）可以達(dá)到局部最優(yōu)解，用時少不能考慮到整體最優(yōu)解，程序可讀性低于動態(tài)規(guī)劃對范圍廣的問題可以產(chǎn)生接近的最優(yōu)解#include#include#include#include#include #define max 100 /最多物品數(shù)void sort (int n,float amax,float bmax) /按價值密度排序int j,h,k;float t1,t2,t3,cmax;for(k=0;kn;k+)ck=ak/bk;for(j=0;jn;j+)if

35、(cjcj+1)t1=aj;aj=aj+1;aj+1=t1;t2=bj;bj=bj+1;bj+1=t2;t3=cj;cj=cj+1;cj+1=t3;void knapsack(int n,float limitw,float vmax,float wmax,int xmax)float c1; int i; /c1為背包剩余可裝載重量sort(n,v,w); /物品按價值密度排序c1=limitw;for(i=0;ic1)break;xi=1; /xi為1時，物品i在解中c1=c1-wi;void main1()int n,i,xmax;float vmax,wmax,totalv=0,tot

36、alw=0,limitw;coutn limitw;for(i=1;i=n;i+)xi=0; /物品選擇情況表初始化為0cout請依次輸入物品的價值：endl;for(i=1;ivi;coutendl;cout請依次輸入物品的重量：endl;for(i=1;iwi;coutendl;knapsack (n,limitw,v,w,x);coutthe selection is:;for(i=1;i=n;i+)coutxi;if(xi=1)totalw=totalw+wi;totalv=totalv+vi;coutendl;cout背包的總重量為：totalwendl; /背包所裝載總重量cout

37、背包的總價值為：totalvendl; /背包的總價值using namespace std;class Knapfriend int Knapsack(int p,int w,int c,int n );public:void print()for(int m=1;m=n;m+) coutbestxm ; coutendl;private:int Bound(int i);void Backtrack(int i);int c;/背包容量int n; /物品數(shù)int *w;/物品重量數(shù)組int *p;/物品價值數(shù)組int cw;/當(dāng)前重量int cp;/當(dāng)前價值int bestp;/當(dāng)前最優(yōu)

38、值int *bestx;/當(dāng)前最優(yōu)解int *x;/當(dāng)前解;int Knap:Bound(int i)/計算上界int cleft=c-cw;/剩余容量int b=cp;/以物品單位重量價值遞減序裝入物品while(i=n&wi=cleft) cleft-=wi; b+=pi; i+;/裝滿背包if(in) if(bestpcp) for(int j=1;j=n;j+) bestxj=xj; bestp=cp;return;if(cw+wibestp)/搜索右子樹 xi=0; Backtrack(i+1); class Objectfriend int Knapsack(int p,int w

39、,int c,int n);public:int operator=a.d);private:int ID;float d;int Knapsack(int p,int w,int c,int n)/為Knap:Backtrack初始化int W=0;int P=0;int i=1;Object *Q=new Objectn;for(int i=1;i=n;i+)Qi-1.ID=i;Qi-1.d=1.0*pi/wi;P+=pi;W+=wi;if(W=c) return P;/裝入所有物品/依物品單位重量排序float f;for( i=0;in;i+)for(int j=i;jn;j+) if

40、(Qi.dQj.d) f=Qi.d; Qi.d=Qj.d; Qj.d=f; Knap K;K.p = new intn+1; K.w = new intn+1;K.x = new intn+1;K.bestx = new intn+1;K.x0=0;K.bestx0=0;for( i=1;i=n;i+)K.pi=pQi-1.ID;K.wi=wQi-1.ID;K.cp=0;K.cw=0;K.c=c;K.n=n;K.bestp=0;/回溯搜索K.Backtrack(1); K.print(); delete Q;delete K.w;delete K.p;return K.bestp;void m

41、ain2()int *p;int *w; int c=0;int n=0;int i=0;char k;while(k)cout請輸入背包容量(c)：c;cout請輸入物品的個數(shù)(n)：n;p=new intn+1;w=new intn+1;p0=0;w0=0;cout請輸入物品的價值(p)：endl;for(i=1;ipi;cout請輸入物品的重量(w)：endl;for(i=1;iwi;cout最優(yōu)解為(bestx)：endl;cout最優(yōu)值為(bestp)：endl;coutKnapsack(p,w,c,n)endl; couts 重新開始endl;coutq 退出k;class Kna

42、p;class Object;class Objectfriend int Knapsack(int *,int *,int ,int ,int *);public:int operator = a.d);private:int ID;float d;/單位重量價值;class bbnodefriend Knap;friend int Kanpsack(int *,int *,int ,int ,int *);private:bbnode * parent;/指向父節(jié)點的指針bool LChild; /左兒子結(jié)點標(biāo)志;class HeapNodefriend Knap;public:operator int () const return uprofit;vo