1、,第五章 不定積分 本章的教學(xué)基本要求是： 1、理解原函數(shù)和不定積分的定義，掌握原函數(shù)和不定積分的性質(zhì)； 2、熟練掌握不定積分的基本公式及湊微分法； 3、熟練掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。,1,學(xué)習(xí)交流PPT,一、原函數(shù)與不定積分的概念,四、不定積分的性質(zhì),三、基本積分表,五、小結(jié),第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì),二、不定積分的幾何意義,2,學(xué)習(xí)交流PPT,例,定義：,一、原函數(shù)與不定積分的概念,( primitive function ),定義,3,學(xué)習(xí)交流PPT,原函數(shù)存在定理：,簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).,問題：,(1) 原函數(shù)是否唯一？,例,（ 為任意常數(shù)）,(2) 若不唯一

2、它們之間有什么聯(lián)系？,定理,4,學(xué)習(xí)交流PPT,關(guān)于原函數(shù)的說明：,（1）若 ，則對于任意常數(shù) ，,（2）若 和 都是 的原函數(shù),則,（ 為任意常數(shù)）,證,（ 為任意常數(shù)）,5,學(xué)習(xí)交流PPT,不定積分(indefinite integral)的定義：,定義,原函數(shù),6,學(xué)習(xí)交流PPT,7,學(xué)習(xí)交流PPT,例1 求,解:,解:,例2 求,8,學(xué)習(xí)交流PPT,例3 某商品的邊際成本為 , 求總成,解:,其中 為任意常數(shù),本函數(shù) .,9,學(xué)習(xí)交流PPT,二、不定積分的幾何意義,顯然，求不定積分得到一積分曲線族,在同一橫坐標(biāo),處,任一曲線的切線有相同的斜率.,0,x,y,10,學(xué)習(xí)交流PPT,實例,

3、啟示,能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？,結(jié)論,既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.,三、 基本積分表,11,學(xué)習(xí)交流PPT,基本積分表 ,是常數(shù));,說明：,12,學(xué)習(xí)交流PPT,基本積分表 導(dǎo)數(shù)基本公式 0dx=c C =0 （C為常數(shù)） xndx = xn+1 /(n+1)+c (xn)= n xn-1 1/xdx= ln|x|+ c (lnx) =1/x axdx= ax/lna + c (ax)= axlna exdx= ex + c (ex) = ex cosxdx=sinx + c (sinx) =cosx sinxdx=-cosx + c (cosx)

4、 =-sinx,13,學(xué)習(xí)交流PPT,sec2xdx= tanx+c (tanx) =sec2x csc2xdx= -cotx+c (cotx) =-csc2x secx. tanxdx= secx+c ( secx ) =secx. tanx cscx. cotxdx= -cscx+c (cscx) =- cscx. cotx 1/(1-x2)1/2dx= arcsinx+c (arcsinx) =1/(1-x2)1/2 1/(1+x2) dx= arctanx+c ( arctanx) =1/(1+x2),14,學(xué)習(xí)交流PPT,例4 求積分,解：,15,學(xué)習(xí)交流PPT,證：,等式成立.,（

5、此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）,四、 不定積分的性質(zhì),16,學(xué)習(xí)交流PPT,例5 求積分,解：,17,學(xué)習(xí)交流PPT,求不定積分的方法 (1) 直接積分法 (2) 第一類換元法 (3) 第二類換元法 (4) 分部積分法,18,學(xué)習(xí)交流PPT,直接積分法 根據(jù)不定積分的性質(zhì)和基本積分公式，對于一些比較簡單的函數(shù)的不定積分可以直接求出結(jié)果，或者只需經(jīng)過簡單的恒等變換，再輔以積分的法則，就可按基本公式求出結(jié)果，這樣的積分方法，叫做直接積分法。 該方法主要把被積函數(shù)變換成基本積分公式中的被積函數(shù)的形式。,19,學(xué)習(xí)交流PPT,例6 求積分,解：,20,學(xué)習(xí)交流PPT,例7 求積分,解：,21,學(xué)習(xí)交流PPT,例8 求積分,解：,說明：,以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.,化積分為代數(shù)和的積分,22,學(xué)習(xí)交流PPT,解:,所求曲線方程為,23,學(xué)習(xí)交流PPT,3.基本積分表（1）（13）,5.不定積分的性質(zhì),1.原函數(shù)的概念：,2.不定積分的概念：,4.求微分與求積分的互逆關(guān)系,五、 小結(jié),24,學(xué)習(xí)交流PPT,基本積分表,是常數(shù));,不定積分的性質(zhì),25,學(xué)習(xí)交流PPT,作業(yè)題: P183-184 1.(6) (