1、2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試上海數學試卷（理工農醫(yī)類）一. 填空題（本大題共有14題，每題4分，滿分56分）1設全集，若集合，則 ；2若復數滿足，其中為虛數單位，則 ；3若線性方程組的增廣矩陣為，解為 ，則 ； 4若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則 ； 5拋物線上的動點到焦點的距離的最小值為1，則 ； 6若圓錐的側面積與過軸的截面面積之比為，則其母線與軸的夾角大小為 ；7方程的解為 ；8在報名的3名男教師和6名女教師中，選取5人參加義務獻血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數為 ；（結果用數值表示）9已知點和的橫坐標相同，的縱坐標是的縱坐標的2倍，和的軌跡分別為和，若的

2、漸近線方程為，則的漸近線方程為 ；10設為，的反函數，則的最大值為 ；11在的展開式中，項的系數為 ；（結果用數值表示）12賭博有陷阱，某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標記有1、2、3、4、5的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金（單位：元）；若隨機變量和分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則 元；13已知函數，若存在滿足，且，則的最小值為 ；14在銳角三角形中，為邊上的點，與的面積分別為2和4，過作于，于，則 ； 二. 選擇題（本大題共有4題，每題5分，滿分20分）15設，則“中至少有一個

3、數是虛數”是“是虛數”的（ ）A. 充分非必要條件 B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 既非充分也非必要條件16已知點的坐標為，將繞坐標原點逆時針旋轉至，則點的縱坐標為（ ）A. B. C. D. 17記方程： ；方程：；：；其中是正實數，當成等比數列時，下列選項中，能推出方程無實數根的是（ ）A. 方程有實根，且有實根B. 方程有實根，且無實根C. 方程無實根，且有實根D. 方程無實根，且無實根18設是直線與圓在第一象限的交點，則極限（ ）A. B. C. D. 三. 解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟。19. (本題滿分12分

4、)如圖，在長方體中，分別是棱的中點.證明四點共面，并求直線與平面所成的角的大小.20. (本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.如圖，三地有直道相通，千米，千米，現甲乙兩警員同時從地出發(fā)勻速前往地，經過小時，他們之間的距離為(單位：千米).甲的路線是，速度為5千米/小時，乙的路線是，速度為8千米/小時. 乙到達地后在原地等待. 設時，乙到達地.(1)求與的值；(2)已知警員的對講機的有效通話距離是3千米. 當時，求的表達式，并判斷在上的最大值是否超過3？說明理由.21. (本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.已知橢圓，過原點的兩

5、條直線和分別與橢圓交于點和記得到的平行四邊形的面積為.(1)設. 用的坐標表示到直線的距離，并證明；(2)設與的斜率之積為，求面積S的值.22. （本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分, 第3小題滿分6分.已知數列與滿足.(1)若且,求的通項公式;(2)設的第項是最大項,即,求證:的第項是最大項;(3)設,求的取值范圍,使得有最大值和最小值，且使得23. （本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分, 第3小題滿分8分.對于定義域為R的函數，若存在正常數T，使得是以T為周期的函數，則稱為余弦周期函數，且稱T為其余弦周期，已知是以T為余弦周期的余弦周期函數，其值域為R，設單調遞增， （1）驗證是以為余弦周期的余弦周期函數； （2）設，證明對任意，存在，使得； （3）證明：“為方程在上的解”的充要條件是“為方程在上的解”，并證明對任意都有。參考答案一. 填空題.題號1234567答案1642題號891011121314答案1204450.28二. 選擇題.15. B；16. D；17. D；18. A三. 解答題19.（1）證明：連結， （2）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系， 20.