1、課件,1,第五章 留數,1 孤立奇點,函數不解析的點為奇點.如果函數 f (z)雖在z0不解析, 但在z0的某一個去心鄰域0|z-z0|d內處處解析, 則z0稱為f (z)的孤立奇點.,課件,2,將函數 f (z)在它的孤立奇點z0的去心鄰域0|z-z0|d內展開成洛朗級數. 根據展開式的不同情況對孤立奇點作分類.,可去奇點 如果在洛朗級數中不含z-z0的負冪項, 則孤 立奇點z0稱為 f (z)的可去奇點.,這時, f (z)= c0 + c1(z-z0) +.+ cn(z-z0)n +. 0|z-z0|d ,則在圓域|z-z0|d 內就有 f (z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-

2、z0)n +.,從而函數 f (z)在z0就成為解析的了.所以z0稱為可去奇點.,課件,3,課件,4,2. 極點 如果在洛朗級數中只有有限多個z-z0的負冪項, 且其中關于(z-z0)-1的最高冪為 (z-z0)-m, 即f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+. (m1, c-m0),則孤立奇點z0稱為函數 f (z)的m級極點.,上式也可寫成,其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +. , 在 |z-z0|d 內是解析的函數, 且 g (z0) 0 .,反過來, 當任何一

3、個函數 f (z) 能表示為(*)的形式, 且 g (z0) 0 時, 則z0是 f (z)的m級極點.,課件,5,如果z0為 f (z)的極點, 由(*)式, 就有,3. 本性奇點 如果在洛朗級數中含有無窮多z-z0的負冪項,則孤立奇點z0稱為 f (z)的本性奇點.,課件,6,綜上所述:,我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型.,課件,7,4.函數的零點與極點的關系,不恒等于零的解析函數 f (z)如果能表示成f (z) = (z-z0) m j (z), 其中j (z)在z0解析且j (z0) 0, m為某一正整數, 則z0稱為f (z)的m級零點.,例如當 f (z)=z(

4、z-1)3時, z=0與z=1是它的一級與三級零點.,根據這個定義, 我們可以得到以下結論:如 f (z)在z0解析, 則z0是 f (z)的m級零點的充要條件是 f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1), f (m)(z0)0 .,課件,8,這是因為, 如果 f (z)在z0解析, 就必能在z0的鄰域展開為泰勒級數: f (z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z0)m+，易證 z0是 f (z)的m級零點的充要條件是前m項系數 c0=c1=.=cm-1=0, cm0, 這等價于 f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1), f (m)(z0)0 。,例如

5、 z=1是f (z)=z3-1的零點, 由于 f (1) = 3z2|z=1=3 0, 從而知 z=1是f (z)的一級零點.,由于f (z) = (z-z0) m j (z)中的j (z)在z0解析, 且j (z0)0, 因而它在z0的鄰域內不為零. 這是因為j (z)在z0解析, 必在z0連續(xù), 所以給定,課件,9,所以f (z)=(z-z0)mj (z)在z0的去心鄰域內不為零, 即不恒 為零的解析函數的零點是孤立的.,定理 如果 z0是 f (z)的m級極點, 則z0就是 的m級零點, 反過來也成立.,這個定理為判斷函數的極點提供了一個較為簡單的方法.,課件,10,例 2,課件,11,

6、例 3,對 討論函數 在 處的性態(tài)。,課件,12,5. 函數在無窮遠點的性態(tài) 如果函數 f (z)在無窮遠點 z= 的去心鄰域 R|z|內解析, 稱點為 f (z)的孤立奇點.,又 .這樣, 我們可把在去心鄰域R|z|+對f (z)的研究變?yōu)樵?內對j (w)的研究.顯然j (w)在 內解析, 所以w=0是孤立奇點.,課件,13,即z=是f (z)的可去奇點, 極點或本性奇點, 完全看極限 是否存在(有限值), 為無窮大或即不存在又不是無窮大來決定.,例題1,例題2,例題3,課件,14,2 留數,留數的定義及留數定理 如果函數f (z)在z0的鄰域D內 解析,那末根據柯西積分定理,但是, 如果

7、z0為 f (z)的一個孤立奇點, 則沿在z0的某個去心鄰域 0|z-z0|R 內包含z0的任意一條正向簡單閉曲線C的積分,一般就不等于零.,因此 f (z) = . +c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+. 0|z-z0|R,兩端沿C逐項積分:,課件,15,稱C-1為 f (z)在 z0 的留數, 記作 Res f (z), z0, 即,定理一(留數定理) 設函數 f (z)在區(qū)域D內除有限個孤立奇點 z1, z2, ., zn 外處處解析. C是D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線, 則,課件,16,證 把在C內的孤立奇點zk

8、(k=1,2,.,n)用互不包含的正 向簡單閉曲線Ck圍繞起來, 則根據復合閉路定理有,注意定理中的條件要滿足。例如,不能應用留數定理。,課件,17,求函數在孤立奇點z0處的留數即求它在洛朗級數中 (z-z0)-1 項的系數 c-1 即可. 但如果知道奇點的類型, 對 求留數可能更有利.,如果 z0是 f (z)的可去奇點, 則 Resf(z),z0=0 . 如果 z0 是本性奇點, 則只好將其按洛朗級數展開. 如果 z0 是 極點, 則有一些對求 c-1有用的規(guī)則.,課件,18,2. 留數的計算規(guī)則 規(guī)則1 如果z0為f (z)的一級極點, 則,規(guī)則2 如果z0為f(z)的m級極點, 則,事

9、實上, 由于f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.,(z-z0)m f (z)=c-m+c-m+1(z-z0)+.+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,課件,19,令兩端 zz0, 右端的極限是(m-1)!c-1, 兩端除以(m-1)! 就是Resf (z), z0, 即得規(guī)則2, 當 m=1時就是規(guī)則1。,課件,20,即得 規(guī)則3。,課件,21,由規(guī)則1, 得,我們也可以用規(guī)則3來求留數:,這比用規(guī)則1要簡單些.,課件,22,課件,23,課件,24,例 5,解：,所以 原式=,例 4,課件,25,3.在無窮遠點的留數 設函數 f (z)在圓環(huán)域 R|z|內解析, C為圓環(huán)域內繞原點的任何一條簡單閉曲線, 則積分,的值與C無關, 稱其為f (z)在點的留數, 記作,f (z)在圓環(huán)域 R|z|內解析：,理解為圓環(huán)域內繞 的任何一條簡單閉曲線。,課件,26,這就是說, f (z)在點的留數等于它在點的去心鄰域 R|z|+內洛朗展開式中 z-1 的系數變號.,課件,27,定理二 如果 f (z)在擴充復平面內只有有限個孤立奇點, 那末 f (z)在所有各奇點(包括點)的留數總和必等于零.,證：除點外, 設f (z)的有限個奇點為zk(k=1,2,.,n). 且C為一條繞原點的