1、第二章 行列式,行列式在歷史上原為求解線性方程組而引入，但在線性代數(shù)和其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及工程技術(shù)中，行列式都是一個很重要的工具。本章主要介紹行列式的定義、性質(zhì)及其計算方法。,一、二階行列式與三階行列式,注： 該定義稱之為對角線法則。,1.全排列：把 n 個不同的元素排成一列，叫做這 n 個元素的全排列（簡稱排列）。 2.逆序：對于 n 個不同的元素，先規(guī)定各元素之間的一個標(biāo)準(zhǔn)次序（如 n 個不同的自然數(shù)，可規(guī)定由小到大）于是在這 n 個元素的任一排列中，當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，就稱這兩個元素構(gòu)成了一個逆序。,二、全排列與逆序數(shù),3.逆序數(shù)：一個排列中所有逆序的總和稱之為這個排列的

2、逆序數(shù)。 4.奇排列與偶排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。 5.計算排列逆序數(shù)的方法： 不妨設(shè) n 個元素為1至 n 這 n 個自然數(shù)，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。設(shè) p1 p2 pn為這 n 個自然數(shù)的一個排列，考慮元素 pi(i=1,2,n)，如果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有i個，就說,pi 這個元素的逆序數(shù)是 i，即： ( p1 p2 pn)= 1 + 2 + n 就是這個排列的逆序數(shù)。,例1 求排列13(2n 1)24(2n)的逆序數(shù)。 解：在該排列中，1 (2n1)中每個奇數(shù)的逆序數(shù)全為0，2的逆序數(shù)為(n 1)，4的逆序數(shù)為(n 2),，(2

3、n 2)的逆境序數(shù)為1，2n的逆序數(shù)為0，于是該排列的逆序數(shù)為,例2 在19構(gòu)成的排列中,求j、k，使排列1 2 7 4 j 5 6 k 9為偶排列 解：由題可知， j、k 的取值范圍為3，8 當(dāng) j = 3、k = 8時，經(jīng)計算可知，排列127435689的逆序數(shù)為5，即為奇排列 當(dāng) j= 8、k = 3時，經(jīng)計算可知，排列127485639的逆序數(shù)為10，即為偶排列 j = 8，k = 3,例3 設(shè)排列 p1 p2 p3pn的逆序數(shù)為k，求pnp3 p2 p1的逆序數(shù)（ p1 p2 p3pn是1 n的某一排列） 解：因為,為方便計，也 可換種記數(shù)法，如比 pi小的且排 在 pi 后面的元素

4、有i個。,設(shè)有 n2 個數(shù)，排成 n 行 n 列的數(shù)表 作出表中位于不同行不同列的n個元素的乘積，并冠以符號(-1)，得形如 的項，其中p1p2pn為自然數(shù)1、2、n的一個,一、定義,排列，為這個排列的逆序數(shù)。由于這樣的排列共有 n! 個，因而形如(1)式的項共有 n! 項。所有這 n! 項的代數(shù)和,其中 p1 p2 pn是1 n 的任一排列， 是排列p1 p2 pn的逆序數(shù)，即 = ( p1 p2 pn )。,二、幾個特殊的行列式,1.在排列中，將任意兩個元素對調(diào)位置，其余元素不動，這種作出新排列的過程叫做對換。將相鄰兩元素對換，稱為相鄰對換。 定理1:對換一個排列中的任意兩個元素，排列改變

5、奇偶性。 證明：該定理的證明可分為兩步來證。第一步來證明相鄰對換的情況,第二步證明一般情況。,三、對換與排列奇偶性的關(guān)系,由此可見，相鄰對換將改變排列的奇偶性。再證一般情況，設(shè)：,把 (1)作n+1次相鄰對換得(2)，把(2)再作 n 次相鄰對換可得(3)，即共作了 2n+1 次相鄰對換由(1)而得到(3)。由前可知，作一次相鄰對換，排列的奇偶性改變一次，故由(1)到(3)排列的奇偶性就改變了2n+1次，即由原來的奇排列就變成了偶排列或由原來的偶排列變成了奇排列。 ,定理2：n 元排列共有 n! 個，其中奇、偶排列的個數(shù)相等，各有 n!/2 個。 證：設(shè)奇排列有p個，偶排列有q個。將每個奇排列

6、的頭兩個數(shù)對換，則得一個偶排列，說明有多少奇排列，就至少有多少個偶排列。反之亦然，因此，p=q。 定理3：任意一個 n 元排列都可以經(jīng)過一些對換變成自然排列，并且所作對換的個數(shù)與這個排列有相同的奇偶性。 證明：因為,四、行列式的等價定義,五、關(guān)于等價定義的說明,這就表明，對換乘積項中兩元素的位置，從而行標(biāo)排列與列標(biāo)排列同時做了相應(yīng)的對換，但行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性并不改變。,定理4,例5 寫出四階行列式中含有因子 的項。,例6 若 為四階行列式的項，試確定i與k，使前兩項帶正號，后一項帶負(fù)號。,在利用行列式性質(zhì)進(jìn)行行列式計算時，基本的思路是把行列式化成三角行列式，當(dāng)然在化的過程中

7、也要兼顧其它性質(zhì)的應(yīng)用。,在 n 階行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行第 j 列劃去后，留下來的 n-1 階行列式叫做元素 aij 余子式，記作 Mij；記 Aij = (-1)i+j Mij， Aij叫做元素 aij 的代數(shù)余子式。,一、余子式與代數(shù)余子式,二、k階子式及其余子式和代數(shù)余子式,在n階行列式D中任選k行k列，位于這k行k列的交叉點處的k2個元素按原來的位置組成的k階行列式M叫做D的一個k階子式。在D中劃去M所在的行與列，剩下的元素按原來的位置組成的n-k子式N叫做M的余子式。設(shè)M所在的行數(shù)與列數(shù)依次為i1i2ik，j1j2jk，M的余子式N乘以 叫做M的代數(shù)余子式。,M 是 D 的一個2階子式，N是 M 的一個余子式，A 是 M 的一個代數(shù)余子式,證明：,證明：,一、線性方程組,二、克萊姆法則,定理1：方程組(1)一定有解，且解是唯一的充要條件是線性方程組(1)的系數(shù)行列式D0。 定理2：如果線性方程組(1)無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)