1、1.4.3含有一個(gè)量詞的命題的否定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解含有一個(gè)量詞的命題的否定的意義.2.會(huì)對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.3.掌握全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題.知識(shí)點(diǎn)一全稱命題的否定思考嘗試寫(xiě)出下面含有一個(gè)量詞的全稱命題的否定，并歸納寫(xiě)全稱命題否定的方法.(1)所有矩形都是平行四邊形；(2)每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；(3)xR，x22x10.答案(1)將量詞“所有”換為：“存在一個(gè)”然后將結(jié)論否定，即“不是平行四邊形”，所以原命題的否定為：“存在一個(gè)矩形不是平行四邊形”；用同樣的方法可得(2)(3)的否定：(2)存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)；(3)x0R，x2x010.梳理寫(xiě)全稱命題的否定

2、的方法：(1)更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞；(2)將結(jié)論否定.對(duì)于含有一個(gè)量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱命題p：xM，p(x)，它的否定綈p：x0M，綈p(x0).全稱命題的否定是特稱命題.知識(shí)點(diǎn)二特稱命題的否定思考嘗試寫(xiě)出下面含有一個(gè)量詞的特稱命題的否定，并歸納寫(xiě)特稱命題否定的方法.(1)有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；(2)某些平行四邊形是菱形；(3)x0R，x10.答案(1)先將存在量詞“有些”改寫(xiě)為全稱量詞“所有”，然后將結(jié)論“實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)”否定，即“實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不是正數(shù)，于是得原命題的否定為：“所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)”；同理可得(2)(3)的否定：(2)所有平行四邊形

3、都不是菱形；(3)xR，x210.梳理寫(xiě)特稱命題的否定的方法：(1)將存在量詞改寫(xiě)為全稱量詞，(2)將結(jié)論否定.對(duì)于含一個(gè)量詞的特稱命題的否定，有下面的結(jié)論：特稱命題p：x0M，p(x0)，它的否定綈p：xM，綈p(x).特稱命題的否定是全稱命題.類型一全稱命題的否定例1寫(xiě)出下列全稱命題的否定：(1)任何一個(gè)平行四邊形的對(duì)邊都平行；(2)數(shù)列：1，2，3，4，5中的每一項(xiàng)都是偶數(shù)；(3)a，bR，方程axb都有惟一解；(4)可以被5整除的整數(shù)，末位是0.解(1)其否定：存在一個(gè)平行四邊形，它的對(duì)邊不都平行.(2)其否定：數(shù)列：1，2，3，4，5中至少有一項(xiàng)不是偶數(shù).(3)其否定：a，bR，使方

4、程axb的解不惟一或不存在.(4)其否定：存在被5整除的整數(shù)，末位不是0.反思與感悟全稱命題的否定是特稱命題，對(duì)省略全稱量詞的全稱命題可補(bǔ)上量詞后進(jìn)行否定.跟蹤訓(xùn)練1寫(xiě)出下列全稱命題的否定：(1)p：每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；(2)p：所有自然數(shù)的平方都是正數(shù)；(3)p：任何實(shí)數(shù)x都是方程5x120的根；(4)p：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，x210.解(1)綈p：存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓.(2)綈p：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù).(3)綈p：存在實(shí)數(shù)x0不是方程5x0120的根.(4)綈p：存在實(shí)數(shù)x0，使得x11，使x2x030；(2)p：有些素?cái)?shù)是奇數(shù)；(3)p：有些平行四邊形不是矩形.解(1

5、) 綈p：x1，x22x30(假).(2) 綈p：所有的素?cái)?shù)都不是奇數(shù)(假).(3) 綈p：所有的平行四邊形都是矩形(假).反思與感悟特稱命題的否定是全稱命題，寫(xiě)命題的否定時(shí)要分別改變其中的量詞和判斷詞.即p：x0M，p(x0)成立綈p：xM，綈p(x)成立.跟蹤訓(xùn)練2寫(xiě)出下列特稱命題的否定，并判斷其否定的真假.(1)有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；(2)某些平行四邊形是菱形；(3)x0，y0Z，使得x0y03.解(1)命題的否定是“不存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)”，即“所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)”.它為假命題.(2)命題的否定是“沒(méi)有一個(gè)平行四邊形是菱形”，即“每一個(gè)平行四邊形都不是菱形”.由于菱

6、形是平行四邊形，因此命題的否定是假命題.(3)命題的否定是“x，yZ，xy3”.當(dāng)x0，y3時(shí)，xy3，因此命題的否定是假命題.類型三特稱命題、全稱命題的綜合應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)x22x5.(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式mf(x)0對(duì)于任意xR恒成立，并說(shuō)明理由；(2)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使不等式mf(x0)0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)不等式mf(x)0可化為mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24對(duì)于任意xR恒成立，只需m4即可.故存在實(shí)數(shù)m，使不等式mf(x)0對(duì)于任意xR恒成立，此時(shí)，只需m4.(2)不等式mf(x0)0可化為mf(x0)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0

7、，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4.所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4，).反思與感悟?qū)τ谏婕笆欠翊嬖诘膯?wèn)題，通?？偸羌僭O(shè)存在，然后推出矛盾，或找出存在符合條件的元素.一般地，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，af(x)恒成立，只要af(x)max；若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使af(x0)成立，只需af(x)min.跟蹤訓(xùn)練3已知f(x)3ax26x1(aR).(1)當(dāng)a3時(shí)，求證：對(duì)任意xR，都有f(x)0；(2)如果對(duì)任意xR，不等式f(x)4x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(1)證明當(dāng)a3時(shí)，f(x)9x26x1，364(9)(1)0，對(duì)任意xR，都有f(x)

8、0.(2)解f(x)4x恒成立，3ax22x10恒成立，即解得a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，.1.已知a0且a1，命題“x01，logax00”的否定是()A.x01，logax00 B.x01，logax00C.x1，logax0 D.x1，logax0答案D解析a0且a1，命題“x01，logax00”的否定是“x1，logax0”.2.設(shè)xZ，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集.若命題p：xA，2xB，則()A.綈p：xA，2xBB.綈p：xA，2xBC.綈p：x0A，2x0BD.綈p：x0A，2x0B答案D解析命題p：xA，2xB是一個(gè)全稱命題，其命題的否定綈p應(yīng)為x0A，2x0B.故選D.

9、3.命題“對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，都有0”的否定是_.答案存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得2x040解析“對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，都有0”的否定是“存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得0”是真命題，所以44m1，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1，)，從而實(shí)數(shù)a的值為1.5.已知函數(shù)f(x)x2mx1，命題p：“對(duì)任意xR，都有f(x)0”，命題q：“存在x0R，使xm20”，所以綈p：“不等式f(x)0在實(shí)數(shù)集上有解”，故m240，得m2或m2.又命題q：“存在x0R，使xm29”，即不等式x0，所以3m3.因?yàn)槊}“綈p”與“q”均為真命題，所以m的取值范圍為(3，22，3).1.對(duì)含有全稱量詞的命題進(jìn)行否定需兩步操作：第一步，將全稱

10、量詞改寫(xiě)成存在量詞，即將“任意”改為“存在”；第二步，將結(jié)論加以否定，如：將“”否定為“0 B.xN*，(x1)20C.x0R，lg x00恒成立，而y2x1的圖象是將y2x的圖象沿x軸向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，函數(shù)的值域不變，故2x10恒成立，A為真命題；當(dāng)x1時(shí)，(x1)20，故B為假命題；當(dāng)0x10時(shí)，lg x1，故x0R，lg x01C.xR，sin x1 D.xR，sin x1答案B解析所給命題為全稱命題，故其否定為特稱命題，x0R，sin x01，故選B.4.命題“nN*，f(n)N*且f(n)n”的否定形式是()A.nN*，f(n)N*且f(n)nB.nN*，f(n)N*或f(n)n

11、C.n0N*，f(n0)N*且f(n0)n0D.n0N*，f(n0)N*或f(n0)n0答案D解析“f(n)N*且f(n)n”的否定為“f(n)N*或f(n)n”，全稱命題的否定為特稱命題，故選D.5.若命題p：x0，log2x0，命題q：x0R，2x00，x0R，命題q為假命題，p(綈q)為真命題.6.已知a0，函數(shù)f(x)ax2bxc，若x0滿足關(guān)于x的方程2axb0，則下列選項(xiàng)中的命題為假命題的是()A.x1R，f(x1)f(x0)B.x1R，f(x1)f(x0)C.xR，f(x)f(x0)D.xR，f(x)f(x0)答案C解析當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象為開(kāi)口向上的拋物線，

12、若x0滿足關(guān)于x的方程2axb0，則x0為拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，f(x)minf(x0)，故對(duì)于xR，f(x)f(x0)成立，從而選項(xiàng)A，B，D為真命題，選項(xiàng)C為假命題.二、填空題7.若“x0，tan xm”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為_(kāi).答案1解析0x，0tan x1，“x0，tan xm”是真命題，m1.實(shí)數(shù)m的最小值為1.8.命題“對(duì)任何xR，|x2|x4|3”的否定是_.答案存在x0R，|x02|x04|3解析全稱命題的否定為特稱命題.9.命題“每個(gè)函數(shù)都有奇偶性”的否定是_.答案有些函數(shù)沒(méi)有奇偶性解析命題的量詞是“每個(gè)”，即為全稱命題，因此其否定是特稱命題，用量詞“有些、有的、存在一個(gè)

13、、至少有一個(gè)”等，再否定結(jié)論.10.已知p(x)：x22xm0，如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.答案3，8)解析因?yàn)閜(1)是假命題，所以12m0，解得m3.又因?yàn)閜(2)是真命題，所以44m0，解得m8，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是3，8).三、解答題11.若p1p22(q1q2)，求證：關(guān)于x的方程x2p1xq10與x2p2xq20中至多有一個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.證明若兩個(gè)方程都無(wú)實(shí)數(shù)根，則，得pp4(q1q2).pp2p1p2，2p1p24(q1q2)，p1p22(q1q2)，p1p22(q1q2)，這與已知條件矛盾.關(guān)于x的方程x2p1xq10與x2p2xq20中至多有一個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.12.已知命題p：xR，4x2x1m0，若綈p是假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解綈p是假命題，p是真命題.也就是xR，有m(4x2x1)，令f(x)(4x2x1)(2x1)21，對(duì)任意xR，f(x)1.m的取值范圍是(，1.13.已知f(x)a