1、22.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路.2.經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思.3.熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)量a1，d，n，an，Sn的關(guān)系，能夠由其中三個(gè)求另外兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)一等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)思考高斯用123100(1100)(299)(5051)10150迅速求出了等差數(shù)列前100項(xiàng)的和但如果是求123n，不知道共有奇數(shù)項(xiàng)還是偶數(shù)項(xiàng)怎么辦？梳理“倒序相加法”可以推廣到一般等差數(shù)列求前n項(xiàng)和，其方法如下：Sna1a2a3an1ana1(a1d)(a12d)a1(n2)da1(n1)d；Snanan1an2a2a1

2、an(and)(an2d)an(n2)dan(n1)d兩式相加，得2Snn(a1an)，由此可得等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式Sn.根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1(n1)d，代入上式可得Snna1_.知識(shí)點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的特征思考1在等差數(shù)列an中，若已知a27，能求出前3項(xiàng)和S3嗎？思考2我們對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式變形：ana1(n1)ddn(a1d)，分析出通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的關(guān)系你能類(lèi)比這個(gè)思路分析一下Snna1d嗎？梳理對(duì)于等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，有下面幾種常見(jiàn)變形：(1)Snn；(2)Snn2(a1)n；(3)n(a1)(是公差為的等差數(shù)列)知識(shí)點(diǎn)三等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)

3、思考如果an是等差數(shù)列，那么a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差數(shù)列嗎？梳理(1)Sm，S2m，S3m分別為等差數(shù)列an的前m項(xiàng)的和，前2m項(xiàng)的和，前3m項(xiàng)的和，則Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差數(shù)列，公差為m2d.(2)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(nN)，則S2n_，且S偶S奇_，.(3)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n1(nN)，則S2n1_，且S奇S偶an，S奇nan，S偶(n1)an，.類(lèi)型一等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用命題角度1方程思想例1已知一個(gè)等差數(shù)列an的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1 220，由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？反思與感悟(1

4、)在解決與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意方程思想和整體思想的運(yùn)用(2)構(gòu)成等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求另外兩個(gè)跟蹤訓(xùn)練1在等差數(shù)列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.命題角度2實(shí)際應(yīng)用例2某人用分期付款的方式購(gòu)買(mǎi)一件家電，價(jià)格為1 150元，購(gòu)買(mǎi)當(dāng)天先付150元，以后每月的這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150元后的一個(gè)月開(kāi)始算分期付款的第一個(gè)月，則分期付款的第10個(gè)月該交付多少錢(qián)？全部貸款付清后，買(mǎi)這件家電實(shí)際花費(fèi)多少錢(qián)？反思與感悟建立等差數(shù)列的模型時(shí)，要根據(jù)題意找準(zhǔn)首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)或者首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)本題是根據(jù)

5、首項(xiàng)和公差選擇前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解跟蹤訓(xùn)練2甲、乙兩物體分別從相距70 m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲第1分鐘走2 m，以后每分鐘比前1分鐘多走1 m，乙每分鐘走5 m.(1)甲、乙開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘第一次相遇？(2)如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即返回，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1 m，乙繼續(xù)每分鐘走5 m，那么開(kāi)始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇？類(lèi)型二等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用例3(1)等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求數(shù)列an的前3m項(xiàng)的和S3m；(2)兩個(gè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，已知，求的值反思與感悟等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的有關(guān)性質(zhì)在解題過(guò)程中，如果運(yùn)用得當(dāng)可以達(dá)到化

6、繁為簡(jiǎn)、化難為易、事半功倍的效果跟蹤訓(xùn)練3設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求Tn.1在等差數(shù)列an中，若S10120，則a1a10的值是()A12 B24 C36 D482記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S24，S420，則該數(shù)列的公差d等于()A2 B3 C6 D73在一個(gè)等差數(shù)列中，已知a1010，則S19_.4已知在等差數(shù)列an中，(1)a1，d，Sn15，求n及an；(2)a11，an512，Sn1 022，求d.1求等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法稱(chēng)為倒序相加法，在某些數(shù)列求和中也可能用到2等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式中，一共涉及a1，an

7、，Sn，n，d五個(gè)量，若已知其中三個(gè)量，通過(guò)方程思想可求另外兩個(gè)量在利用求和公式時(shí)，要注意整體思想的應(yīng)用，注意下列結(jié)論的運(yùn)用：若mnpq，則anamapaq(n，m，p，qN)；若mn2p，則anam2ap.3本節(jié)涉及的數(shù)學(xué)思想：方程思想，函數(shù)思想，整體思想，分類(lèi)討論思想答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考不知道共有奇數(shù)項(xiàng)還是偶數(shù)項(xiàng)導(dǎo)致不能配對(duì)但我們可以采用倒序相加來(lái)回避這個(gè)問(wèn)題：設(shè)Sn123(n1)n，又Snn(n1)(n2)21，2Sn(1n)2(n1)(n1)2(n1)，2Snn(n1)，Sn.梳理d知識(shí)點(diǎn)二思考1S333a221.思考2按n的降冪展開(kāi)Snna1d n2(a1)n是關(guān)于n的二次函

8、數(shù)形式，且常數(shù)項(xiàng)為0.知識(shí)點(diǎn)三 思考(a11a12a20)(a1a2a10)(a11a1)(a12a2)(a20a10)10d10d10100d，類(lèi)似可得(a21a22a30)(a11a12a20)100d.a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差數(shù)列梳理(2)n(anan1)nd(3)(2n1)an題型探究類(lèi)型一命題角度1例1解方法一由題意知S10310，S201 220，將它們代入公式Snna1d，得到解方程組得Snn463n2n.方法二S10310a1a1062，S201 220a1a20122，得a20a1060，10d60，d6，a14.Snna1d3n2n.跟蹤

9、訓(xùn)練1或命題角度2例2解設(shè)每次交款數(shù)額依次為a1，a2，a20，則a1501 0001%60(元)，a250(1 00050)1%59.5(元)，a1050(1 000950)1%55.5(元)，即第10個(gè)月應(yīng)付款55.5元由于an是以60為首項(xiàng)，以0.5為公差的等差數(shù)列，所以有S20201 105(元)，即全部付清后實(shí)際付款1 1051501 255(元)跟蹤訓(xùn)練2解(1)設(shè)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)n分鐘后第一次相遇，依題意，有2n5n70，整理得n213n1400.解得n7，n20(舍去)所以第一次相遇是在開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后7分鐘(2)設(shè)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)m分鐘后第二次相遇，依題意，有2m5m370，整理得m213m4200.解之得m15，m28(舍去)所以第二次相遇是在開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后15分鐘類(lèi)型二例3解(1)方法一在等差數(shù)列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差數(shù)列30,70，S3m100成等差數(shù)列27030(S3m100)，S3m210.方法二