1、第二章 圓錐曲線與方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解曲線方程的概念，掌握求曲線方程的常用方法.2.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義及其應(yīng)用，會(huì)用定義法求標(biāo)準(zhǔn)方程.3.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.4.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，會(huì)利用幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題.5.掌握簡(jiǎn)單的直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的解決方法.知識(shí)點(diǎn)一三種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌

2、跡標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)關(guān)系式a2b2c2a2b2c2圖形封閉圖形無限延展，有漸近線無限延展，沒有漸近線對(duì)稱性對(duì)稱中心為原點(diǎn)無對(duì)稱中心兩條對(duì)稱軸一條對(duì)稱軸頂點(diǎn)四個(gè)兩個(gè)一個(gè)離心率0e1準(zhǔn)線方程x決定形狀的因素e決定扁平程度e決定開口大小2p決定開口大小知識(shí)點(diǎn)二待定系數(shù)法求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程1.橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程包括“定位”和“定量”兩方面，一般先確定焦點(diǎn)的位置，再確定參數(shù).當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，要分情況討論.也可將橢圓方程設(shè)為Ax2By21(A0，B0，AB)，其中當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上；雙曲線方程可設(shè)為Ax2By21(AB

3、0)，當(dāng)0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，當(dāng)0，b0)共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為(0)；已知所求雙曲線為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為x2y2(0).2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定拋物線的方程類型，再由條件求出參數(shù)p的大小.當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，要分情況討論，也可將方程設(shè)為y22px(p0)或x22py(p0)，然后建立方程求出參數(shù)p的值.知識(shí)點(diǎn)三直線與圓錐曲線有關(guān)的問題1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來確定，通常消去方程組中變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式，則有：0直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)；0直線

4、與圓錐曲線相切于一點(diǎn)；0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上且其橫坐標(biāo)為1，以F為圓心、|FP|為半徑的圓與C的準(zhǔn)線l相切.(1)求p的值；(2)設(shè)l與x軸交點(diǎn)為E，過點(diǎn)E作一條直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的垂直平分線在x軸上的截距的取值范圍.解(1)因?yàn)橐訤為圓心、|FP|為半徑的圓與C的準(zhǔn)線l相切，所以圓的半徑為p，即|FP|p，所以FPx軸，又點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，從而p2.(2)由(1)知拋物線C的方程為y24x，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)D(x0，0)，則由|DA|DB|，y4x1，y4x2，得(x1x0)2y(x

5、2x0)2y，化簡(jiǎn)得x02，設(shè)直線AB的方程為xmy1，代入拋物線C的方程，得y24my40，由0得m21，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y24m，所以x1x2m(y1y2)24m22，代入得x02m213，故線段AB的垂直平分線在x軸上的截距的取值范圍是(3，).1.下列各對(duì)方程中，表示相同曲線的一對(duì)方程是()A.y與y2x B.yx與1C.y2x20與|y|x| D.ylg x2與y2lg x答案C解析A項(xiàng)y(y0)，y2x，yR.B項(xiàng)yx中yR；1中y0.D項(xiàng)，ylg x2中，x0.y2lg x中x0.A、B選項(xiàng)中兩函數(shù)值域不同，D選項(xiàng)中兩函數(shù)定義域不同，故選C.2.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若

6、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的方程是()A.1 B.1 C.1 D.1答案A解析兩焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，2a18，2c2a6，c3，b2a2c272，故橢圓的方程為1.3.設(shè)橢圓1(m0，n0)的右焦點(diǎn)與拋物線y28x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為()A.1 B.1 C.1 D.1答案B解析y28x的焦點(diǎn)為(2，0)，1的右焦點(diǎn)為(2，0)，mn且c2.又e，m4.c2m2n24，n212.橢圓的方程為1.4.點(diǎn)P(8，1)平分雙曲線x24y24的一條弦，則這條弦所在直線的方程是_.答案2xy150解析設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x4

7、y4，x4y4，兩式相減得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為P(8，1)，所以x1x216，y1y22.所以2.所以直線AB的方程為y12(x8)，代入x24y24滿足0.即直線方程為2xy150.5.直線yx3與曲線1交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_.答案3解析當(dāng)x0時(shí)，雙曲線1的漸近線為yx，而直線yx3斜率為1，1，yx3與x軸上半部分的一支雙曲線有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)x0時(shí)，曲線1為橢圓，又直線yx3過橢圓頂點(diǎn)，直線yx3與橢圓左半部分有兩個(gè)交點(diǎn)，共計(jì)3個(gè)交點(diǎn).1.離心率的幾種求法(1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上都

8、有關(guān)系式a2b2c2(a2b2c2)以及e，已知其中的任意兩個(gè)參數(shù)，可以求其他的參數(shù)，這是基本且常用的方法.(2)方程法：建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式，從而求出離心率，這是求離心率十分重要的方法.(3)幾何法：與過焦點(diǎn)的三角形有關(guān)的離心率問題，根據(jù)平面幾何性質(zhì)、橢圓(雙曲線)的幾何性質(zhì)和定義，建立參數(shù)之間的關(guān)系.2.圓錐曲線中的有關(guān)最值問題在解決與圓錐曲線有關(guān)的最值問題時(shí)，通常的處理策略(1)若具備定義的最值問題，可用定義將其轉(zhuǎn)化為幾何問題來處理.(2)一般問題可由條件建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解.如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性，亦可利用基本不等式等求

9、解.40分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.到定點(diǎn)(3，5)與直線2x3y210的距離相等的點(diǎn)的軌跡是()A.圓 B.拋物線 C.線段 D.直線答案D解析因?yàn)槎c(diǎn)(3，5)在直線上，所以點(diǎn)的軌跡是直線.2.方程1所表示的曲線是()A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線D.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線答案D解析sin 10，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.3.設(shè)橢圓1(ab0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B.若|BF2|F1F2|2，則該橢圓的方程為()A.1 B.y21 C.y21 D.y21答案A解析|BF2|F1F2|2，a2c2，a2，c1，b，橢圓的方程為1.4.已

10、知雙曲線1(a0，b0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P(3，4)，則此雙曲線的方程為()A.1 B.1 C.1 D.1答案C解析由已知條件，得2r|F1F2|2c，即rc，而r|OP|5.漸近線方程為yx，點(diǎn)P(3，4)在直線yx上，所以解得所以雙曲線方程為1.5.若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等比數(shù)列，則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.答案B解析依題意有(2b)22a2c，即4b24ac，b2ac.又b2a2c2，a2c2ac.兩邊同除以a2并整理得1()20，即有e2e10，解得e或e(舍去).6.設(shè)M(x0，y0)為

11、拋物線C：x28y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是()A.(0，2) B.0，2 C.(2，) D.2，)答案C解析圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為p，即4，根據(jù)已知只要|FM|4即可.根據(jù)拋物線定義，|FM|y02，由y024，解得y02，故y0的取值范圍是(2，).二、填空題7.過定點(diǎn)P(0，2)作直線l，使l與曲線y24x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線l共有_條.答案3解析直線l斜率不存在的時(shí)候有一條.斜率存在時(shí)，一條交線，一條切線.8.已知雙曲線1(a0，b0)的左焦點(diǎn)F1(2，0)，右焦點(diǎn)F2(2，0)，離心率e.若點(diǎn)P為雙曲

12、線C右支上一點(diǎn)，則|PF1|PF2|_.答案8解析由題意得c2，e，a4，|PF1|PF2|2a8.9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)F作x軸的垂線l，則l與雙曲線C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積是_.答案4解析由題意可得雙曲線的漸近線方程為yx，F(xiàn)(2，0)，那么直線l的方程為x2，把x2代入漸近線方程可得y2，故所求的三角形的面積為S424.10.已知A為橢圓1上的動(dòng)點(diǎn)，MN為圓(x1)2y21的一條直徑，則的最大值為_.答案15解析由題意得圓(x1)2y21的圓心為C(1，0)，那么()()()212，顯然A取(3，0)時(shí)2取得最大值16，此時(shí)的最大值為11615

13、.三、解答題11.已知直線AB與拋物線y22px(p0)交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，過O作ODAB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，1)，求拋物線的方程.解由題意得kOD，ABOD，kAB2，又直線AB過點(diǎn)D(2，1)，直線AB的方程為y2x5，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)O，0，即x1x2y1y20，由得4x2(2p20)x250，x1x2，x1x2，y1y2(2x15)(2x25)4x1x210(x1x2)25255p50255p，(5p)0，p，拋物線的方程為y2x.12.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(ab0)的離心率為，左頂

14、點(diǎn)A與上頂點(diǎn)B的距離為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過原點(diǎn)O的動(dòng)直線(與坐標(biāo)軸不重合)與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線PA、QA分別與 y軸交于M、N兩點(diǎn)，問以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論.解(1)由題意得解得a2，b，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)以MN為直徑的圓過定點(diǎn)F(，0).設(shè)P(x0，y0)，則Q(x0，y0)，且1，即x2y4，A(2，0)，直線PA的方程為y(x2)，M(0，)，直線QA的方程為y(x2)，N(0，).以MN為直徑的圓為(x0)(x0)(y)(y)0，即x2y2y0，x42y，x2y2y20，令y0，得x220，解得x，以MN為直徑的圓過定點(diǎn)F(，0)

15、.13.如圖，橢圓E：1(ab0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e.過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線l：ykxm與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x4相交于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解(1)因?yàn)閨AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8，而|AF1|AF2|F1B|BF2|2a，所以4a8，解得a2.又e，所以ca1，所以b2a2c23.故所求橢圓E的方程為1.(2)由消去y，整理得(4k23)x28kmx4m2120.因?yàn)閯?dòng)直