1、第五單元 數(shù)列小題必刷卷(八)數(shù)列題組一真題集訓(xùn)1.2017浙江卷 已知等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,則“d0”是“S4+S62S5”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件2.2017全國卷 記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24,S6=48,則an的公差為()A.1B.2C.4D.83.2017全國卷 我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈()A.1盞B.3盞C.5

2、盞D.9盞4.2017全國卷 等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則an前6項(xiàng)的和為()A.-24B.-3C.3D.85.2015浙江卷 已知an是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項(xiàng)和是Sn.若a3,a4,a8成等比數(shù)列,則()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d06.2013全國卷 設(shè)AnBnCn的三邊長分別為an,bn,cn,AnBnCn的面積為Sn,n=1,2,3,.若b1c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=,cn+1=,則()A.Sn為遞減數(shù)列B.Sn為遞增數(shù)列C.S2n-1為遞增數(shù)列,S2n為遞減數(shù)列D.S2n-1

3、為遞減數(shù)列,S2n為遞增數(shù)列7.2016浙江卷 如圖X8-1,點(diǎn)列An,Bn分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*.(PQ表示點(diǎn)P與Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn為AnBnBn+1的面積,則()圖X8-1A.Sn是等差數(shù)列B.是等差數(shù)列C.dn是等差數(shù)列D.是等差數(shù)列8.2015江蘇卷 設(shè)數(shù)列an滿足a1=1,且an+1-an=n+1(nN*),則數(shù)列前10項(xiàng)的和為.9.2017全國卷 設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=.10.2017北京卷 若等差數(shù)列

4、an和等比數(shù)列bn滿足a1=b1=-1,a4=b4=8,則=.11.2015全國卷 設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=.12.2013全國卷 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為.題組二模擬強(qiáng)化13.2017泉州質(zhì)檢 公差為2的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S3=12,則a3= ()A.4B.6C.8D.1414.2017濟(jì)寧一模 設(shè)aR,“1,a,16為等比數(shù)列”是“a=4”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件15.2017錦州質(zhì)檢 已知數(shù)列an,若點(diǎn)(n,an)

5、(nN*)在經(jīng)過點(diǎn)(10,6)的定直線上,則數(shù)列an的前19項(xiàng)和S19的值為()A.190B.114C.60D.12016.2017成都三診 在等比數(shù)列an中,a1=2,公比q=2.若am=a1a2a3a4(mN*),則m=()A.11B.10C.9D.817.2017安徽宣城調(diào)研 設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,若S410,S515,則a4的最大值為()A.3B.4C.-7D.-518.2017湖北穩(wěn)派教育質(zhì)檢 設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S2017=4034,則+的最小值為()A.B.C.2D.419.2017贛州二模 在公差不為0的等差數(shù)列an與等比數(shù)列中,a1=2,b

6、n=,則的前5項(xiàng)的和為()A.142B.124C.128D.14420.2017新鄉(xiāng)三模 記集合A1=,A2=a2,a3,A3=a4,a5,a6,A4=a7,a8,a9,a10,其中an為公差大于0的等差數(shù)列,若A2=3,5,則199屬于()A.A12B.A13C.A14D.A15 21.2017蚌埠質(zhì)檢 數(shù)列an是以a為首項(xiàng),q為公比的等比數(shù)列,數(shù)列滿足bn=1+a1+a2+an(n=1,2,),數(shù)列滿足cn=2+b1+b2+bn(n=1,2,),若為等比數(shù)列,則a+q=()A.B.3C.D.622.2017錦州質(zhì)檢 將正整數(shù)12分解成兩個(gè)正整數(shù)的乘積有112,26,34三種,其中34是這三

7、種分解中兩數(shù)差的絕對(duì)值最小的,我們稱34為12的最佳分解. 當(dāng)pq(pq且p,qN*)是正整數(shù)n的最佳分解時(shí),我們定義函數(shù)f(n)=q-p,例如f(12)=4-3=1,數(shù)列的前100項(xiàng)和為.23.2017南陽三模 數(shù)列an滿足an+1+an=2n-1,則an的前80項(xiàng)和為.24.2017蘭州模擬 已知定義域?yàn)?,+)的函數(shù)f(x)滿足f(x)=2f(x+2),當(dāng)x0,2)時(shí),f(x)=-2x2+4x,設(shè)f(x)在2n-2,2n)上的最大值為an(nN*),且數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=.解答必刷卷(三)數(shù)列題組一真題集訓(xùn)1.2016全國卷 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=1+an,其中0.(

8、1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;(2)若S5=,求.2.2016全國卷 已知an是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列bn滿足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求bn的前n項(xiàng)和.3.2016全國卷 Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且a1=1,S7=28.記bn=lg an,其中x表示不超過x的最大整數(shù),如0.9=0,lg 99=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求數(shù)列bn的前1000項(xiàng)和.題組二模擬強(qiáng)化4.2017北京海淀區(qū)期末 已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,且4Sn=(an+1)2.(1)求a1,a2的值及an的通項(xiàng)公

9、式;(2)求Sn-an的最小值.5.2017山西孝義質(zhì)檢 數(shù)列an滿足an+5an+1=36n+18,nN*,且a1=4.(1)寫出an的前3項(xiàng),并猜想其通項(xiàng)公式;(2)若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足b1=a1,b3=a3,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.6.2017廣西五市聯(lián)考 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列an滿足a4=2a2,且a1,4,a4成等比數(shù)列,設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn0時(shí),S4+S6-2S50,則S4+S62S5;當(dāng)S4+S62S5時(shí),S4+S6-2S50,則d0.所以“d0”是“S4+S62S5”的充分必要條件.因此選C.2

10、.C解析 設(shè)an的公差為d,則2a1+7d=24且6a1+15d=48,解得d=4.3.B解析 設(shè)塔的頂層共有a1盞燈,根據(jù)題意得=381,解得a1=3.4.A解析 an為等差數(shù)列,且a2,a3,a6成等比數(shù)列,則=a2a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d).將a1=1代入上式并化簡,得d2+2d=0,d0,d=-2,S6=6a1+d=16+(-2)=-24.5.B解析 由a3,a4,a8成等比數(shù)列得,=a3a8(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d)3a1d+5d2=0,因公差d0,故a1=-d,a1d=-d20,dS4=d=-d20,所以bn-cn=(b1-c1),當(dāng)n

11、+時(shí),bncn,也就是AnCnAnBn,所以AnBnCn中BnCn邊上的高隨著n的增大而增大.設(shè)AnBnCn中BnCn邊上的高為hn,則hn單調(diào)遞增,所以Sn=a1hn是增函數(shù).答案為B.7.A解析 由題意得,An是線段An-1An+1(n2)的中點(diǎn),Bn是線段Bn-1Bn+1(n2)的中點(diǎn),且線段AnAn+1的長度都相等,線段BnBn+1的長度都相等.過點(diǎn)An作高線hn.由A1作高線h2的垂線A1C1,由A2作高線h3的垂線A2C2,則h2-h1=|A1A2|sinA2A1C1,h3-h2=|A2A3|sinA3A2C2.而|A1A2|=|A2A3|,A2A1C1=A3A2C2,故h1,h2

12、,h3成等差數(shù)列,故Sn是等差數(shù)列.8.解析 因?yàn)閍n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+2+1=,所以=2,故=2=. 9.-8解析 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.由得 顯然q1,a10,由得1-q=3,即q=-2,代入式可得a1=1,a4=a1q3=1(-2)3=-8.10.1解析 設(shè)an的公差為d,bn的公比為q.由a4=a1+3d=-1+3d=8求得d=3,所以a2=a1+d=-1+3=2.由b4=b1q3=-q3=8求得q=-2,所以b2=b1q=-1(-2)=2,所以=1.11.-解析 因?yàn)閍1=-1,an+1=SnSn+1,所以S1=-

13、1,Sn+1-Sn=SnSn+1,所以-=-1,所以數(shù)列是首項(xiàng)為-1,公差為-1的等差數(shù)列,所以=-n,所以Sn=-.12.-49 解析 由已知,a1+a10=0,a1+a15=d=,a1=-3,nSn=,易得n=6或n=7時(shí),nSn出現(xiàn)最小值.當(dāng)n=6時(shí),nSn=-48;n=7時(shí),nSn=-49.故nSn的最小值為-49.13.B解析 因?yàn)镾3=3a2=12,所以a2=4,又公差為2,所以a3=6,故選B.14.B解析 由1,a,16為等比數(shù)列a2=161a=4,因此a=41,a,16為等比數(shù)列,反之不一定成立,所以“1,a,16為等比數(shù)列”是“a=4”的必要不充分條件,故選B.15.B解析

14、 點(diǎn)(n,an)(nN*)在經(jīng)過點(diǎn)(10,6)的定直線上,an-6=k(n-10),可得a10=6,且數(shù)列an為等差數(shù)列,則數(shù)列an的前19項(xiàng)和S19=19a10=114.故選B. 16.B解析 由題意可得,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n,又am=q6=210=2m,所以m=10,故選B.17.B解析 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,S410,S515,a1+a2+a3+a410,a1+a2+a3+a4+a515,a55,a33,即a1+4d5,a1+2d3,兩式相加得2(a1+3d)8,a44.故選B.18.D解析 由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,得S2017=4034,則a1+a2017=4.由等差數(shù)

15、列的性質(zhì)得a9+a2009=4,所以+=(a9+a2009)+=1+9+10+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號(hào)成立.故選D.19.B解析 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0),等比數(shù)列的公比為q.在等比數(shù)列中,=b1b3=a2a8(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)d=a1=2,則an=a1+(n-1)d=2n,b1=a2=4,b2=a4=8,q=2,bn的前5項(xiàng)的和為=124.故選B.20.C解析 因?yàn)閍n為公差大于0的等差數(shù)列,且A2=3,5,所以a2=3,a3=5,則公差d=2,a1=1,故an=1+(n-1)2=2n-1.則在數(shù)列an中,由199=2n-1,得n=100.又前n個(gè)集合中,

16、共有數(shù)列an中的 項(xiàng),易知當(dāng)n=13時(shí),=91,當(dāng)n=14時(shí),=105,所以199屬于A14.故選C.21.B解析 由題意,得an=aqn-1,則bn=1+=1+-,得cn=2+1+n-=2-+n+,要使為等比數(shù)列,必有得a+q=3,故選B.22.350-1解析 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),f(3n)=0;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),f=-,因此數(shù)列的前100項(xiàng)和為31-30+32-31+350-349=350-1.23.3240解析 因?yàn)楫?dāng)k=4t+1(tN*)時(shí)ak+1-ak=2k-1,ak+2+ak+1=2k+1,ak+3-ak+2=2k+3,所以ak+ak+1+ak+2+ak+3=(ak+1+ak+2)-(ak+

17、1-ak)+(ak+3-ak+2)+( ak+1+ak+2)=4k+6,因此,此數(shù)列每四項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為10,公差為16的等差數(shù)列,則an的前80項(xiàng)和為2010+16=3240.24.4-解析 當(dāng)x0,2)時(shí),函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸為x=1,開口向下,故最大值為f(1)=2.由于f(x+2)=f(x),即從2,4)起,每隔兩個(gè)單位長度圖像的“高度”就是前一個(gè)區(qū)間圖像“高度”的一半,故最大值,即an是首項(xiàng)為2,公比為的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn=4-.解答必刷卷(三)1.解:(1)證明:由題意得a1=S1=1+a1,故1,a1=,a10.由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-

18、an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以=.因此an是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,于是an=n-1.(2)由(1)得Sn=1-n,由S5=得1-5=,即5=,解得=-1.2.解:(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,其通項(xiàng)公式為an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,因此bn是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.記bn的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=-.3.解:(1)設(shè)an的公差為d,據(jù)已知有7+21d=28,解得d=1,所以an的通項(xiàng)公式為an=n.故b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.(2)因?yàn)閎n=所以數(shù)列bn的前10