1、第二節(jié)簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積 考綱傳真了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第95頁(yè)) 基礎(chǔ)知識(shí)填充1多面體的表(側(cè))面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和2圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺(tái)側(cè)(r1r2)l3. 柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底VSh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積S側(cè)S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3知識(shí)拓展1正四面體的表面積與

2、體積棱長(zhǎng)為a的正四面體，其表面積為a2，體積為a3.2幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，若球?yàn)檎襟w的外接球，則2Ra；若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2RA若球與正方體的各棱相切，則2RA(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R.(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為31，棱長(zhǎng)為a的正四面體，其內(nèi)切球半徑R內(nèi)a，外接球半徑R外A基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)錐體的體積等于底面面積與高之積()(2)球的體積之比等于半徑比的平方()(3)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差()(4)

3、已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為a，則RA()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()A1 cmB2 cmC3 cmD cmBS表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm)3(2015全國(guó)卷)九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖721，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算

4、出堆放的米約有()圖721A14斛B22斛 C36斛D66斛B設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則r8，所以r，所以米堆的體積為Vr2525(立方尺)故堆放的米約有1.6222(斛)故選B4(2017全國(guó)卷)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為_(kāi)14長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在球O的球面上，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度就是其外接球的直徑設(shè)球的半徑為R，則2R.球O的表面積為S4R24214.5(2017鄭州質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖722所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是_cm3. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】圖722由三視圖可知該幾何體是由棱長(zhǎng)為2 cm的正方體與底面為邊長(zhǎng)為2 cm的正方形

5、、高為2 cm的四棱錐組成，VV正方體V四棱錐8 cm3 cm3 cm3.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第96頁(yè))簡(jiǎn)單幾何體的表面積(1)某幾何體的三視圖如圖723所示，則該幾何體的表面積等于()圖723A82B112C142D15(2)(2018江西七校聯(lián)考)若某空間幾何體的三視圖如圖724所示，則該幾何體的表面積是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】圖724A48B48C482D482(1)B(2)A(1)由三視圖知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示直角梯形斜腰長(zhǎng)為，所以底面周長(zhǎng)為4，側(cè)面積為422282，兩底面的面積和為21(12)3.所以該幾何體的表面積為823112.(2)該幾何體是正四棱柱挖去了

6、一個(gè)半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長(zhǎng)為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S2222451221248，故選A規(guī)律方法1.(1)多面體與旋轉(zhuǎn)體的表面積等于側(cè)面面積與底面面積之和(2)簡(jiǎn)單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的處理2若以三視圖的形式給出，解題的關(guān)鍵是對(duì)給出的三視圖進(jìn)行分析，從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解變式訓(xùn)練1(1)(2016全國(guó)卷)如圖725，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()圖725A1836B5418C90D81(2)(2016全國(guó)卷)如圖726，某

7、幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()圖726A17B18C20D28(1)B(2)A(1)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個(gè)側(cè)面為矩形，另兩個(gè)側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(333633)25418.故選B(2)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖設(shè)球的半徑為R，則R3R3，解得R2.因此它的表面積為4R2R217.故選A簡(jiǎn)單幾何體的體積(1)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()AB

8、CD2(2)(2017全國(guó)卷)如圖727，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()圖727A90B63C42D36(1)C(2)B(1)過(guò)點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長(zhǎng)為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長(zhǎng)為底面圓半徑，ED為高的圓錐而得到的，如圖所示由于V圓柱AB2BC1222，V圓錐CE2DE12(21)，所以該幾何體的體積VV圓柱V圓錐2.(2)法一：(割補(bǔ)法)如圖所示，由幾何體的三視圖，可知該幾何體是一個(gè)圓柱被截去上面虛

9、線部分所得將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱體從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V32432663.故選B法二：(估值法)由題意，知V圓柱V幾何體V圓柱又V圓柱321090，45V幾何體90.觀察選項(xiàng)可知只有63符合故選B規(guī)律方法1.若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解2若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法(轉(zhuǎn)換的原則是使底面面積和高易求)、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解3若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解變式訓(xùn)練2(1)(2018唐山模擬)一個(gè)

10、幾何體的三視圖如圖728所示，則其體積為()圖728A2B24C4D22(2)(2016天津高考)已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖729所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為_(kāi)m3. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】圖729(1)A(2)2(1)該幾何體為組合體，左邊為三棱柱，右邊為半圓柱，其體積V2121222.故選A(2)由三視圖知，四棱錐的高為3，底面平行四邊形的一邊長(zhǎng)為2，對(duì)應(yīng)高為1，所以其體積VSh2132.多面體與球的切、接問(wèn)題(2016全國(guó)卷)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4BC6DB由ABBC，A

11、B6，BC8，得AC10，要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.則68(6810)r，則r2.此時(shí)2r43，不合題意因此球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大由2R3，即R.故球的最大體積VR3.母題探究1若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面積解將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體ABECA1B1E1C1，則球O是長(zhǎng)方體ABECA1B1E1C1的外接球，所以體對(duì)角線BC1的長(zhǎng)為球O的直徑因此2R13，故S球4R2169.母題探究2若本例中的條件變?yōu)椤?/p>

12、正四棱錐的頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，求該球的體積解如圖，設(shè)球心為O，半徑為r，則在RtAFO中，(4r)2()2r2，解得r，則球O的體積V球r33.規(guī)律方法1.與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題2若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問(wèn)題變式訓(xùn)練3(1)(2015全國(guó)卷)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A36B64 C144D256(2)(2017全國(guó)卷)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】A BCD(1)C(2)B(1)如圖，設(shè)球的半徑為R，AOB90