1、6.3基本不等式知識梳理1基本不等式設(shè)a0，b0，則a、b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)2利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則：(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最小值是2(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)注：應(yīng)用基本不等式求最值時，必須考察“一正、二定、三相等”，忽略某個條件，就會出現(xiàn)錯誤3幾個重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同號)(3)ab2(a，bR)(4)2(a，bR)，2(a2b2)(ab)2(a，bR)(5

2、)ab(a，bR)(6)(a0，b0)診斷自測1概念思辨(1)兩個不等式a2b22ab與成立的條件是相同的()(2)函數(shù)yx的最小值是2.()(3)函數(shù)f(x)sinx的最小值為2.()(4)x0且y0是2的充要條件()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A5P99例1(2)設(shè)x0，y0，且xy18，則xy的最大值為()A80 B77 C81 D82答案C解析由基本不等式18xy29xy81，當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最大值81，故選C.(2)(必修A5P100A組T2)一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 m，則這個矩形的長為_m，寬為_m時菜園面積最大答案

3、15解析設(shè)矩形的長為x m，寬為y m則x2y30，所以Sxyx(2y)2，當(dāng)且僅當(dāng)x2y，即x15，y時取等號3小題熱身(1)下列不等式一定成立的是()Alg lg x(x0)Bsinx2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)答案C解析取x，則lg lg x，故排除A；取x，則sinx1，故排除B；取x0，則1，故排除D.應(yīng)選C.(2)已知x0，y0,2xy1，則xy的最大值為_答案解析2xy2，xy.xy的最大值為.題型1利用基本不等式求最值角度1直接應(yīng)用(2018沈陽模擬)已知ab0，求a2的最小值直接應(yīng)用基本不等式解ab0，ab0.a2a2a224，當(dāng)且僅當(dāng)bab，a22

4、，ab0，即a，b時取等號a2的最小值是4.角度2變號應(yīng)用求f(x)lg x的值域注意分類討論解f(x)的定義域?yàn)?0,1)(1，)當(dāng)0x1時，lg x0，f(x)lg x2，即f(x)2.當(dāng)x1時，lg x0，f(x)lg x2(當(dāng)且僅當(dāng)x10時等號成立)綜上f(x)的值域?yàn)?，22，)角度3尋求定值應(yīng)用求f(x)4x2的最大值配湊成積定的式子解因?yàn)閤，所以54x0，則f(x)4x23231，當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時，等號成立故f(x)4x2的最大值為1.角度4常量代換法求最值(多維探究)(2015福建高考)若直線1(a0，b0)過點(diǎn)(1,1)，則ab的最小值等于()A2 B3 C4 D5注

5、意巧用1的代換答案C解析因?yàn)橹本€1(a0，b0)過點(diǎn)(1,1)，所以1.所以ab(ab)2224，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時取“”，故選C.條件探究將典例條件變?yōu)椤皒0，y0且1”，求xy的最小值解x0，y0，y9且x.xyyyy1(y9)10.y9，y90.y91021016.當(dāng)且僅當(dāng)y9，即y12時取等號又1，則x4.當(dāng)x4，y12時，xy取最小值16.方法技巧利用基本不等式求最值的方法1知和求積的最值：“和為定值，積有最大值”但應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：具備條件正數(shù)；驗(yàn)證等號成立2知積求和的最值：“積為定值，和有最小值”，直接應(yīng)用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的條件3構(gòu)造不等式求最值：在求解含

6、有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，構(gòu)造不等式求解見角度4典例沖關(guān)針對訓(xùn)練1已知a0b1，且ab1，則的最小值為()A. B. C. D.答案D解析aab12，又ab1，a0，b10，所以ab122，當(dāng)且僅當(dāng)，即a42，b23時取等號，所以的最小值為，故選D.2(2018廣西三市調(diào)研)已知m，n為正實(shí)數(shù)，向量a(m,1)，b(1n,1)，若ab，則的最小值為_答案32解析ab，m(1n)0，即mn1，又m，n為正實(shí)數(shù)，(mn)32332，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取等號.題型2基本不等式的綜合應(yīng)用角度1利用基本不等式比較大小已知函數(shù)f(x)ln (x1)x，若0ab，P

7、f，Qf()，Rf，則()APQR BPRQCRQP DRPQ用導(dǎo)數(shù)法答案D解析f(x)1(x1)，由f(x)0解得1x0，由f(x)0，所以f(x)在(1,0)上單調(diào)遞增，在(0，)上單調(diào)遞減當(dāng)0ab時，0，Qf()PfRf.故選D.角度2利用基本不等式證明不等式已知x，y，z是互不相等的正數(shù)，且xyz1，求證：8.左邊因式分別使用基本不等式證明因?yàn)閤，y，z是互不相等的正數(shù)，且xyz1，所以1，1，1，又x，y，z為正數(shù)，由，得8.角度3基本不等式中的恒成立問題(2018太原模擬)正數(shù)a，b滿足1，若不等式abx24x18m對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A3，) B(，3C(

8、，6 D6，)用轉(zhuǎn)化法答案D解析ab(ab)1016，故只需x24x18m16，得x24xm20恒成立，即164(m2)0，解得m6.故選D.角度4基本不等式與其他知識的綜合問題已知直線l：xmy2(mR)與x軸的交點(diǎn)是橢圓C：y21(a0)的一個焦點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，橢圓C的左焦點(diǎn)為F1，是否存在m使得ABF1的面積最大？若存在，求出值；若不存在，請說明理由根據(jù)題意得出三角形面積表達(dá)式，求最值時，用基本不等式法解(1)易知直線l：xmy2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，橢圓C：y21(a0)的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，c2，a2c21415.故橢圓C的

9、方程為y21.(2)存在將xmy2代入y21并整理得(m25)y24my10，(4m)24(m25)(1)20m2200，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，|AB|，橢圓C的左焦點(diǎn)為F1(2,0)，F(xiàn)1到直線l的距離d，SABF14444.當(dāng)且僅當(dāng)m21，即m時，SABF1取得最大值存在m使得ABF1的面積最大方法技巧基本不等式的綜合運(yùn)用常見題型及求解策略1應(yīng)用基本不等式判斷不等式的成立性或比較大小，有時也與其他知識進(jìn)行綜合命題，如角度1典例，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行大小的比較2證明不等式的成立性，如角度2典例3利用基本不等式研究恒成立問題，以求參數(shù)的取值范圍為主，如角

10、度3典例4與其他知識綜合考查求最值問題，此時基本不等式作為求最值時的一個工具，常出現(xiàn)于解三角形求最值、解析幾何求最值問題等如角度4典例中利用基本不等式求三角形面積的最大值時參數(shù)的取值沖關(guān)針對訓(xùn)練(2017廣西模擬)已知a0，b0，ab1，求證：(1)8；(2)9.證明(1)2.ab1，a0，b0，2224，8.(2)a0，b0，ab1，112，同理，12，52549.9.題型3基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用某廠家擬在2017年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元(m0)滿足x3(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，那么該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件已知生產(chǎn)

11、該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)(1)將2017年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2017年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？由題意得出函數(shù)解析式，求最值時用基本不等式法解(1)由題意知，當(dāng)m0時，x1(萬件)，13k，k2，x3.由題意可知每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5(元)，2017年的利潤y1.5x816xm29(m0)(2)當(dāng)m0時，(m1)28，y82921，當(dāng)且僅當(dāng)m1，即m3(萬元)時，ymax21(萬元)故該廠家201

12、7年的促銷費(fèi)用投入3(萬元)時，廠家的利潤最大為21萬元方法技巧利用基本不等式求解實(shí)際問題的求解策略1根據(jù)實(shí)際問題抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值2設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)3解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍4在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時，若等號取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解提醒：利用基本不等式求最值時，一定要結(jié)合變量的實(shí)際意義驗(yàn)證等號是否成立沖關(guān)針對訓(xùn)練某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，每次購買面粉需支付運(yùn)費(fèi)900元(1)求該廠多少天購買一次面粉，才能

13、使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？(2)若提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次性購買面粉不少于210噸時，其價格可享受9折優(yōu)惠(即原價的90%)，該廠是否應(yīng)考慮接受此優(yōu)惠條件？請說明理由解(1)設(shè)該廠應(yīng)每隔x天購買一次面粉，則其購買量為6x噸，由題意知，面粉的保管等其他費(fèi)用為36x6(x1)62619x(x1)設(shè)每天所支付的總費(fèi)用為y1元，則y19x(x1)900618009x1080921080910989，當(dāng)且僅當(dāng)9x，即x10時取等號所以該廠每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少(2)若該廠家接受此優(yōu)惠條件，則至少每隔35天購買一次面粉設(shè)該廠接受此優(yōu)惠條件后，每隔x(x35)天購買一

14、次面粉，平均每天支付的總費(fèi)用為y2，則y29x(x1)900618000.909x9729(x35)由對勾函數(shù)的性質(zhì)易知f(x)x在10，)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x35時，y2取得最小值，約為10069.7，此時y1y2，所以該廠可以考慮接受此優(yōu)惠條件1.(2017廣東清遠(yuǎn)一中一模)若正數(shù)a，b滿足1，則的最小值為()A16 B9 C6 D1答案C解析正數(shù)a，b滿足1，abab，10，10，b1，a1，則226，的最小值為6.故選C.2(2017河北衡水中學(xué)調(diào)研)若a0，b0，lg alg blg (ab)，則ab的最小值為()A8 B6 C4 D2答案C解析由lg alg blg (ab)得lg

15、(ab)lg (ab)，即abab，則有1，所以ab(ab)2224，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時等號成立，所以ab的最小值為4.故選C.3(2017江蘇高考)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則x的值是_答案30解析一年的總運(yùn)費(fèi)為6(萬元)一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用的和為萬元因?yàn)?x2240，當(dāng)且僅當(dāng)4x，即x30時取得等號，所以當(dāng)x30時，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小4(2017天津高考)若a，bR，ab0，則的最小值為_答案4解析a，bR，ab0，4ab2 4，當(dāng)且僅當(dāng)即時取得等號故的

16、最小值為4. 基礎(chǔ)送分 提速狂刷練一、選擇題1若x0，則x的最小值是()A2 B4 C. D2答案D解析由基本不等式可得x22，當(dāng)且僅當(dāng)x即x時取等號，故最小值是2.故選D.2若函數(shù)f(x)x(x2)在xa處取最小值，則a等于()A1 B1 C3 D4答案C解析當(dāng)x2時，x20，f(x)(x2)2224，當(dāng)且僅當(dāng)x2(x2)，即x3時取等號，即當(dāng)f(x)取得最小值時，即a3.故選C.3(2018河南平頂山一模)若對任意x0，a恒成立，則a的取值范圍是()Aa Ba Ca Da答案A解析因?yàn)閷θ我鈞0，a恒成立，所以對x(0，)，amax，而對x(0，)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時等號成立，a.故選A.4在

17、方程|x|y|1表示的曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)任取一點(diǎn)P(x，y)，則zxy的最大值為 ()A. B. C. D.答案C解析根據(jù)題意如圖所示，要保證z最大，則P應(yīng)落在第一或第三象限內(nèi)，不妨設(shè)P點(diǎn)落在線段AB上，故zxyx(1x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x時，等號成立，故z的最大值為.故選C.5(2018福建四地六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x2的值域?yàn)?，04，)，則a的值是()A. B. C1 D2答案C解析由題意可得a0，當(dāng)x0時，f(x)x222，當(dāng)且僅當(dāng)x時取等號；當(dāng)x0，b0，且ab1，若不等式(xy)m，對任意的正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A4，) B(，1C(，4 D(，4

18、)答案D解析因?yàn)閍，b，x，y為正實(shí)數(shù)，所以(xy)abab2224，當(dāng)且僅當(dāng)ab，即ab，xy時等號成立，故只要m0，b0，O為坐標(biāo)原點(diǎn))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的最小值是()A4 B. C8 D9答案D解析(a1,1)，(b1,2)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則有，(a1)21(b1)0，2ab1，又a0，b0，(2ab)5529，當(dāng)且僅當(dāng)即ab時等號成立故選D.10(2018河南洛陽統(tǒng)考)設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc的導(dǎo)函數(shù)為f(x)若xR，不等式f(x)f(x)恒成立，則的最大值為()A.2 B.2 C22 D22答案B解析由題意得f(x)2axb，由f(x)f(x)在R上恒成立得ax

19、2(b2a)xcb0在R上恒成立，則a0且0，可得b24ac4a2，則，且4ac4a20，440，10，令t1，則t0.當(dāng)t0時，2，當(dāng)t0時，0，故的最大值為2.故選B.二、填空題11(2014福建高考)要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_(單位：元)答案160解析設(shè)底面的相鄰兩邊長分別為x m，y m，總造價為T元，則Vxy14xy4.T420(2x2y)1108020(xy)8020280204160.(當(dāng)且僅當(dāng)xy時取等號)故該容器的最低總造價是160元12(2018河南百校聯(lián)盟模擬)已知正實(shí)數(shù)a，b滿足ab4，則的最小值為_答案解析ab4，a1b38，(a1)(b3)(22)，當(dāng)且僅當(dāng)a1b3，即a3，b1時取等號，的最小值為.13(2018泰安模擬)正實(shí)數(shù)a、b滿足6，則4a5b的最小值是_答案解析正實(shí)數(shù)a、b滿足6，令a2bm,2abn，則正數(shù)m，n滿足6，則4a5b2mn(2mn)，當(dāng)且僅當(dāng)即mn時取等號，此時ab，故4a5b的最小值為.14已知x，y滿足約束條件且目標(biāo)函數(shù)zaxby(a，b0)的最大值為4，則