1、第一節(jié) 度量空間的進(jìn)一步例子,學(xué)校： 西華師范大學(xué) 院系：數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 姓名：孔彪 指導(dǎo)教師 ：何中全,教學(xué)目標(biāo)： （一） 知識與技能目標(biāo)： 1 把在第二章的維歐氏空間中學(xué)習(xí)過的鄰域、極限、開集、閉集等相應(yīng)概念轉(zhuǎn)移到度量空間中來。 2 引入更多的度量空間的例子和泛函分析中的證明思想。 （二） 過程與方法目標(biāo)： 從一些具體的空間實(shí)例中加深對基本概念的理解。 教材分析： （一） 教學(xué)重點(diǎn)：離散度量空間，序列空間，有界空間，可測函數(shù)空間，的性質(zhì)。 （二） 教學(xué)難點(diǎn)：序列空間，有界函數(shù)空間 課 型： 新授課 教學(xué)方法： 講解法,教學(xué)過程： 復(fù)習(xí)引入： （1）復(fù)習(xí)第二章n維歐氏空間中的鄰域，開集、閉集

2、、極限等相應(yīng)概念。 （2） 今天學(xué)習(xí)的度量空間與 n維歐氏空間有什么樣子的區(qū)別和聯(lián)系呢？進(jìn)而舉例說明常用的幾種不同度量空間。 講解新課： 例 1 離散的度量空間 設(shè)X是任意的非空集合，對X中任意兩點(diǎn) ，令 容易驗(yàn)證 滿足第二章中關(guān)于舉例的定義中的條件 及 。我們稱 為離散的估量空間。由此可見，在任何非空集合上總可以定義距離。使它成為度量空間。 例 2 序列空間S 令S表示實(shí)數(shù)列（或復(fù)數(shù)列）的全體，對S中任意兩點(diǎn) 及 ，令 易知 滿足距離條件 ，下面驗(yàn)證 滿足距離條件 。為此我們首先證明對任意兩個(gè)復(fù)數(shù) 和 ，成立不等式 事實(shí)上，我們考察 上的函數(shù) 由于在 上， 所以 在 上單調(diào)增加，由不等式 ，

3、我們得到,令 ， ， 則 ，代入上面不等式，得 由此立即可知 滿足距離條件 ，即S按 成一度量空間。 例 3 有界函數(shù)空間B(A) 設(shè)A是一給定的集合，令B(A) 表示A上有界實(shí)值（或復(fù)值）函數(shù)全體，對B(A)中任意兩點(diǎn) x,y，定義 下面驗(yàn)證 滿足條件 和 。 顯然是非負(fù)的。又 等價(jià)于對一切 ，成立 ，所以 ，即 滿足條件 ，此外，對所有的 成立 所以 即 滿足條件 ，特別的，當(dāng) 時(shí)，記 B(A) 為 . 例 4 可測函數(shù)空間,設(shè) 為X上的實(shí)值（或復(fù)值）的Lebesgue 可測函數(shù)全體,m為Lebesgue 測度，若 ， 對任意兩個(gè)可測函數(shù) 及 ，由于 所以這是X上的可積函數(shù)，令 如果把 中的兩個(gè)幾乎處處相等的函數(shù)視為 中的同一個(gè)元，那么利用不等式 及積分性 質(zhì)很容易驗(yàn)證 是距離。因此 按上述距離 成為度量空間。 例 5 空間 令 表示閉區(qū)間 上的實(shí)值（或復(fù)值）連續(xù)函數(shù)全體，對 中任意兩點(diǎn) ，定義 容易驗(yàn)證它滿足距離條件 和 例 6 記 ，定義 則d是 的距離。距離條件 是容易得出的，現(xiàn)檢驗(yàn)條件 對任何正整數(shù)n， 和 都是 中的元素，由Cauchy 不等式,再令右端 ，即得 再令左端的 即得 由此可得 令