1、2.5.2形形色色的函數(shù)模型學習目標1.會利用已知函數(shù)模型解決實際問題.2.能建立函數(shù)模型解決實際問題預習導引1解決函數(shù)應用問題的基本步驟利用函數(shù)知識和函數(shù)觀點解決實際問題時，一般按以下幾個步驟進行：(一)審題；(二)建模；(三)求模；(四)還原這些步驟用框圖表示如圖：2數(shù)學模型就是把實際問題用數(shù)學語言抽象概括，再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題，得出關于實際問題的數(shù)學描述解決學生疑難點_要點一用已知函數(shù)模型解決問題例1通過研究學生的學習行為，心理學家發(fā)現(xiàn)，學生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間講座開始時，學生的興趣激增，中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后

2、學生的注意力開始分散，分析結果和實驗表明，用f(x)表示學生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越強)，x表示提出和講授概念的時間(單位：min)，可有以下的公式：f(x)(1)開始后多少分鐘，學生的接受能力最強？能維持多長時間？(2)開講后5min與開講后20min比較，學生的接受能力何時強一些？(3)一個數(shù)學難題，需要55的接受能力以及13min時間，老師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題？解(1)當0x10時，f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9.故f(x)在(0,10上單調(diào)遞增，最大值為f(10)0.1(3)259.959；當1

3、6x30時，f(x)單調(diào)遞減，f(x)31610759.因此，開講后10min，學生達到最強的接受能力(值為59)，并維持6min.(2)f(5)0.1(513)259.959.96.453.5，f(20)3201074753.5f(5)因此，開講后5min學生的接受能力比開講后20min強一些(3)當0x10時，令f(x)55，則0.1(x13)24.9，(x13)249.所以x20或x6.但0x10，故x6.當16x30時，令f(x)55，則3x10755.所以x17.因此，學生達到(或超過)55的接受能力的時間為1761113(min)，所以老師來不及在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講

4、授完這道難題規(guī)律方法解決已給出函數(shù)模型的實際應用題，關鍵是考慮該題考查的是哪種函數(shù)，并要注意定義域，然后結合所給模型，列出函數(shù)關系式，最后結合其實際意義作出解答解決此類型函數(shù)應用題的基本步驟是：第一步：閱讀理解，審清題意讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景在此基礎上，分析出已知是什么，所求是什么，并從中提煉出相應的數(shù)學問題第二步：根據(jù)所給模型，列出函數(shù)關系式根據(jù)問題的已知條件和數(shù)量關系，建立函數(shù)關系式，在此基礎上將實際問題轉化為一個函數(shù)問題第三步：利用數(shù)學的方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題(即數(shù)學模型)予以解答，求得結果第四步：再將所得結論轉譯成具體問題的解答跟蹤演練1統(tǒng)計

5、表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關于行駛速度x(千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為：yx3x8(0x120)已知甲、乙兩地相距100千米當汽車以40千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？解當x40時，汽車從甲地到乙地行駛了2.5(小時)，要耗油2.528.75(升)，即當汽車以40千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油28.75升要點二建立函數(shù)模型解決實際問題例2提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度

6、為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時研究表明：當20x200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當0x200時，求函數(shù)v(x)的表達式；(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時)f(x)xv(x)可以達到最大，并求出最大值(精確到1輛/時)解(1)由題意：得當0x20時，v(x)60；當20x200時，設v(x)axb，再由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當0x20時，f(x)為增函數(shù)，故當x20時，其最大值為60201200；當20x200時，f(x)x(200x)x2x(x

7、2200x)(x100)2，所以當x100時，f(x)在區(qū)間20,200上取得最大值.綜上，當x100時，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3333，即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3 333輛/時規(guī)律方法根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)的特點，通過建立函數(shù)模型，解決實際問題的基本過程，如下能夠根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點圖通過考察散點圖，畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線如果所有實際點都落到了擬合直線或曲線上，滴“點”不漏，那么這將是個十分完美的事情，但在實際應用中，這種情況是一般不會發(fā)生的因此，使實際點盡可能均勻分布在直線或曲線兩側，使兩側的點大體相等，得出的

8、擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了根據(jù)所學函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關系式利用函數(shù)關系式，根據(jù)條件對所給問題進行預測和控制，為決策和管理提供依據(jù)跟蹤演練2某投資公司投資甲、乙兩個項目所獲得的利潤分別是M(億元)和N(億元)，它們與投資額t(億元)的關系有經(jīng)驗公式：M，Nt，今該公司將用3億元投資這兩個項目，若設甲項目投資x億元，投資這兩個項目所獲得的總利潤為y億元(1)寫出y關于x的函數(shù)表達式；(2)求總利潤y的最大值解(1)當甲項目投資x億元時，獲得利潤為M(億元)，此時乙項目投資(3x)億元，獲得利潤為N(3x)(億元)，則有y(3x)，x0,3(2)令t，t0，則xt2，此

9、時yt(3t2)(t1)2.t0，當t1，即x1時，y有最大值.即總利潤y的最大值是億元.1某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關系，如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時的收入是()A310元B300元C390元D280元答案B解析由圖象知，該一次函數(shù)過(1,800)，(2,1300)，可求得解析式y(tǒng)500x300(x0)，當x0時，y300.2小明的父親飯后出去散步，從家中走20分鐘到一個離家900米的報亭看10分鐘報紙后，用20分鐘返回家里，下面圖形中能表示小明的父親離開家的時間與距離之間的關系的是()答案D3某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成

10、4個，現(xiàn)有2個這樣的細胞，分裂x次后得到細胞的個數(shù)y與x的函數(shù)關系是()Ay2xBy2x1Cy2xDy2x1答案D解析分裂一次后由2個變成2222個，分裂兩次后4223個，分裂x次后y2x1個4長為3，寬為2的矩形，當長增加x，寬減少時，面積達到最大，此時x的值為_答案解析S(3x)(2)6(x)2，x時，Smax.1.函數(shù)模型的應用實例主要包括三個方面：(1)利用給定的函數(shù)模型解決實際問題；(2)建立確定性的函數(shù)模型解決實際問題；(3)建立擬合函數(shù)模型解決實際問題2在引入自變量建立目標函數(shù)解決函數(shù)應用題時，一是要注意自變量的取值范圍，二是要檢驗所得結果，必要時運用估算和近似計算，以使結果符合

11、實際問題的要求3在實際問題向數(shù)學問題的轉化過程中，要充分使用數(shù)學語言，如引入字母，列表，畫圖等使實際問題數(shù)學符號化一、基礎達標1某同學家門前有一筆直公路直通長城，星期天，他騎自行車勻速前往，他先前進了akm，覺得有點累，就休息了一段時間，想想路途遙遠，有些泄氣，就沿原路返回騎了bkm(ba)，當他記起詩句“不到長城非好漢”，便調(diào)轉車頭繼續(xù)前進，則該同學離起點的距離與時間的函數(shù)關系圖象大致為()答案C解析由題意可知，s是關于時間t的一次函數(shù)，所以其圖象特征是直線上升由于中間休息了一段時間，該段時間的圖象應是平行于橫軸的一條線段然后原路返回，圖象下降，再調(diào)轉車頭繼續(xù)前進，則直線一致上升2國內(nèi)快遞1

12、000g以內(nèi)的包裹的郵資標準如下表：運送距離x(km)0x500500x10001000x1500郵資y(元)5.006.007.00如果某人在西安要快遞800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他應付的郵資是()A5.00元B6.00元C7.00元D8.00元答案C解析由題意可知，當x1200時，y7.00元3某機器總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關系式是yx275x，若每臺機器售價為25萬元，則該廠獲利潤最大時應生產(chǎn)的機器臺數(shù)為()A30B40C50D60答案C解析設安排生產(chǎn)x臺，則獲得利潤f(x)25xyx2100x(x50)22500.故當x50臺時，獲利潤最大4根據(jù)統(tǒng)計，

13、一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)(A，c為常數(shù))已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30min，組裝第A件產(chǎn)品用時15min，那么c和A的值分別是()A75,25B75,16C60,25D60,16答案D解析由題意知，組裝第A件產(chǎn)品所需時間為15，故組裝第4件產(chǎn)品所需時間為30，解得c60.將c60代入15，得A16.5某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x噸所需費用為P元，而賣出x噸的價格為每噸Q元，已知P10005xx2，Qa，若生產(chǎn)出的產(chǎn)品能全部賣出，且當產(chǎn)量為150噸時利潤最大，此時每噸的價格為40元，則有()Aa45，b30Ba30，b45Ca30，b45Da45，b30答案A解析設生產(chǎn)

14、x噸產(chǎn)品全部賣出，獲利潤為y元，則yxQPxx2(a5)x1000(x0)由題意知，當x150時，y取最大值，此時Q40.解得6已測得(x，y)的兩組值為(1,2)，(2,5)，現(xiàn)有兩個擬合模型，甲：yx21，乙：y3x1.若又測得(x，y)的一組對應值為(3,10.2)，則選用_作為擬合模型較好答案甲解析對于甲：x3時，y32110，對于乙：x3時，y8，因此用甲作為擬合模型較好7武漢市的一家報攤主從報社買進武漢晚報的價格是每份0.40元，賣出的價格是每份0.50元，賣不掉的報紙還可以以每份0.08元的價格退回報社在一個月(以30天計算)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出

15、250份，但每天從報社買進的份數(shù)必須相同，他應該每天從報社買進多少份，才能使每月所獲得的利潤最大？并計算他一個月最多可賺得多少元？解設報攤主每天買進報紙x份，每月利潤為y元(x為正整數(shù))當x250時，y0.130x3x.當250x400時，y0.120x0.110250(x250)0.32102x2503.2x80010501.2x.當x400時，y0.1204000.110250(x400)0.3220(x250)0.32108002506.4x25603.2x8009.6x4410.當x250時，取x250，ymax3250750(元)當250x400時，取x250，ymax750(元)當

16、x400時，取x400，ymax570(元)故他應該每天從報社買進250份報紙，才能使每月所獲得的利潤最大，最大值為750元二、能力提升8衣柜里的樟腦丸，隨著時間會揮發(fā)而體積縮小，剛放進的新樟腦丸體積為a，經(jīng)過t天后體積V與天數(shù)t的關系式為：Vaekt.已知新樟腦丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)閍.若一個新樟腦丸體積變?yōu)閍，則需經(jīng)過的天數(shù)為()A125B100C75D50答案C解析由已知，得aae50k，ek.設經(jīng)過t1天后，一個新丸體積變?yōu)閍，則aaekt1，(ek)t1，t175.9“學習曲線”可以用來描述學習某一任務的速度，假設函數(shù)t144lg中，t表示達到某一英文打字水平所需的學習時間，N表示

17、每分鐘打出的字數(shù)則當N40時，t_(已知lg20.301，lg30.477)答案36.72解析當N40時，則t144lg144lg144(lg52lg3)36.72.10如圖所示，某池塘中浮萍蔓延的面積y(m2)與時間t(月)的關系yat，有以下幾種說法：這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；第5個月時，浮萍面積就會超過30m2；浮萍從4m2蔓延到12m2需要經(jīng)過1.5個月；浮萍每月增加的面積都相等其中正確的命題序號是_答案解析由圖象知，t2時，y4，a24，故a2，正確當t5時，y253230，正確，當y4時，由42t1知t12，當y12時，由122t2知t2log2122log23.t2t1log231

18、.5，故錯誤；浮萍每月增長的面積不相等，實際上增長速度越來越快，錯誤11在對口扶貧活動中，為了盡快脫貧(無債務)致富，企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型殘疾人企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費的開支3600元后，逐步償還轉讓費(不計息)根據(jù)甲提供的資料有：這種消費品的進價為每件14元；該店月銷量Q(百件)與銷售價格P(元)的關系如下圖所示；每月需各種開支2000元(1)當商品的價格為每件多少元時，月利潤扣除職工最低生活費的余額最大？并求最大余額(2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？解設該店月利潤余額為L元，則由題設得：LQ(P14)10036002000.由銷量圖易得：Q代入式得L(1)當14P20時，Lmax450(元)，此時P19.5(元)；當20P26時，Lmax(元)，此時P(元)故當P19.5(元)時，月利潤余額最大，為450元(2)設可在n年后脫貧，依題意有12n45050000580000，解得n20.即最早可望在20年后脫貧三、探究與創(chuàng)新12物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時間t后的溫度是T，則TTa(T0Ta