1、第一章 非線性振動初步,第一節(jié) 無阻尼單擺的自由振蕩 第二節(jié) 阻尼振子 第三節(jié) 受迫振蕩,非線性振動初步,第一節(jié) 無阻尼單擺的自由振蕩 1 小角度無阻尼單擺 2 任意角度無阻尼單擺振動 3 無阻尼單擺的相圖與勢能曲線,由牛頓第二定律： 非線性方程, 式中角頻率：,1 小角度無阻尼單擺,數(shù)學(xué)表達(dá)式,(1),(2),(3),線性化處理 忽略3次以上的高次項 得線性方程,(4),(5),該式是振幅為P，角頻率為 的簡諧振動，其振動波形為正弦曲線。角頻率只與擺線 l 得長度有關(guān)，與擺錘質(zhì)量無關(guān)，稱為固有角頻率。,引入代換 得： 一次積分后： 式中E 為積分常數(shù)，由初始條件決定。把 看作為兩個變量，則方

2、程是一個圓周方程，圓的半徑為 ，振動過程是一個代表點(diǎn)沿圓周轉(zhuǎn)動。,相圖,(6),相圖,相圖即狀態(tài)圖，是法國偉大數(shù)學(xué)家龐加萊(Poincare)于十九世紀(jì)末提出用相空間軌線表示系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的方法。相圖上每一個點(diǎn)表示了系統(tǒng)在某一時刻狀態(tài)（擺角與角速度），系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)用相圖上的點(diǎn)的移動來表示，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡稱為軌線。,能量方程 右邊第一項為系統(tǒng)動能K ，第二項為系統(tǒng)勢能V，E 是系統(tǒng)的總能量。運(yùn)動過程中K 和V 兩者都隨時間變化，而系統(tǒng)總能量E 保持不變。 當(dāng)K =V =0時，E=0，有 ，這時擺處于靜止?fàn)顟B(tài)，為靜止平衡。 當(dāng)E 0 時，由于系統(tǒng)總能量保持不變，擺的運(yùn)動用確定周期描述。不同能量E 相應(yīng)

3、于半徑不同的圓，構(gòu)成一簇充滿整個平面的同心圓(或橢圓)。 同一圓周(或橢圓)上各點(diǎn)能量相同，又稱為等能軌道。坐標(biāo)原點(diǎn)是能量E =0 的點(diǎn)，圍繞該點(diǎn)是橢圓，故稱橢圓軌線圍繞的靜止平衡點(diǎn)為橢圓點(diǎn)。,周期與擺角無關(guān)？ T0為零擺角極限下的周期 看看實驗結(jié)果：,單擺周期,2 任意角度無阻尼單擺振動,定性結(jié)論： 1. 周期隨擺角增加而增加 2. 隨擺角增加波形趨于矩形,單擺周期數(shù)學(xué)表達(dá)式,2 任意角度無阻尼單擺振動,任意擺角單擺周期與擺角的關(guān)系可采用如下方法求得,將方程(3)乘以 ，并對 積分，得,(7),在最大角位移 處， ，可求得積分常數(shù),因此由(7)式得,(8),對(8)式積分，得,(9),設(shè) t

4、 = 0 時 ，并設(shè)周期為 T，則在 t = T/4時應(yīng)有 ，再利用三角函數(shù)公式,可得,(10),引入代換,(11),則有,進(jìn)而可把(10)式變?yōu)?式中,(12),最后，可計算出,(13),忽略高次項，可得,(14),任意角度無阻尼擺軌線的數(shù)學(xué)表達(dá)式,由機(jī)械能守恒定律可知單擺的能量滿足關(guān)系式,常量,(15),對上式進(jìn)行無量綱化處理(即把 看作 t )，可得,常量,(16),由此解得,(17),1.坐標(biāo)原點(diǎn) 附近相軌線為近似橢圓形的閉合道； 2.平衡點(diǎn) 為單擺倒置點(diǎn)(鞍點(diǎn)),附近相軌線雙曲線; 3.從 到 或相反的連線為分界線. 在分界線內(nèi)的軌線是閉合回線 單擺作周期振動。分界線以外 單擺能量E

5、 超過勢能曲線的極 大值，軌道就不再閉合，單擺 作向左或向右方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動,單擺完整相圖,3 任意角度無阻尼單擺的相圖與勢能曲線,相圖橫坐標(biāo)是以2為周期的， 擺角 是同一個倒立位置， 把相圖上G點(diǎn)與G點(diǎn)重迭一起 時，就把相平面卷縮成一個柱 面。所有相軌線都將呈現(xiàn)在柱 面上。因此，平面上的相軌線 是柱面上的相軌線的展開圖。,柱面上的單擺相軌線,3 任意角度無阻尼單擺的相圖與勢能曲線,第二節(jié) 阻尼振子 1 阻尼單擺 不動點(diǎn) 2 無驅(qū)杜芬方程,1. 阻尼單擺 不動點(diǎn),無阻尼時： 設(shè)阻尼力與擺的速度成 正比： 取 得： 如果滿足 則有：,數(shù)學(xué)表達(dá)式,設(shè)解為 得特征方程 l 為待定常數(shù)，特征方程解： 故

6、有： 通解為 最后有：,小擺角阻尼單擺的解,1. 阻尼單擺 不動點(diǎn),相軌線 吸引子,1. 阻尼單擺 不動點(diǎn),對阻尼單擺解,引入新變量 ( u, v),相軌線 吸引子,1. 阻尼單擺 不動點(diǎn),阻尼單擺軌線矢徑隨轉(zhuǎn)角增加而縮短，在u,v平面上是向內(nèi)旋轉(zhuǎn)的對數(shù)螺旋線簇。在 平面內(nèi)也與此類似。 能量耗散使相軌線矢徑對數(shù)衰減。無論從哪點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)若干次旋轉(zhuǎn)后趨向坐標(biāo)原點(diǎn)，原點(diǎn)為“吸引子”，它把相空間的點(diǎn)吸引過來，原點(diǎn)又稱不動點(diǎn)。,1. 整相平面被通過鞍點(diǎn)G與G的軌線分成三個區(qū)域。 2. 在坐標(biāo)原點(diǎn)附近軌線是向內(nèi)旋轉(zhuǎn)的對數(shù)螺旋線,和小擺角情況相似。 3. 鞍點(diǎn)的位置仍在原處。,任意擺角下的相圖,1. 阻尼單

7、擺 不動點(diǎn),運(yùn)動 從倒立開始往下擺，由于能量耗散達(dá)不到原有高度。 軌線 從一個鞍點(diǎn)出發(fā)到不了另一鞍點(diǎn)，分界線被破壞了。 相流 所有中間區(qū)域的相點(diǎn)流向坐標(biāo)原點(diǎn)。原點(diǎn)是該區(qū)域的不動點(diǎn)，是該區(qū)域吸引子。左右兩個區(qū)域也有相應(yīng)的吸引子，它們分別處在該圖左( -2p )和右(+2p )兩側(cè)。,2. 杜芬方程,數(shù)學(xué)上將含有 三次項的二階方程稱為Duffing方程。有驅(qū)動力方程為： 例：弱非線性單擺屬Duffing方程： 取： 得：,杜芬方程,研究無驅(qū)無阻尼杜芬方程： 積分得： 由系統(tǒng)能量 知：,勢能曲線,2. 杜芬方程,勢能曲線,2. 杜芬方程,勢能： 討論：由 知： 1. 當(dāng) 時有一個平衡點(diǎn)： 2. 當(dāng) 時有三個平衡點(diǎn)： 3. 平衡點(diǎn) 為兩個能量最小點(diǎn),相圖,2. 杜芬方程,從杜芬方程勢能曲線，畫出( ）平面上的相軌線。 1. 對于 ，坐標(biāo)原點(diǎn)是橢圓點(diǎn)，附近為閉合橢圓軌道; 2. 對于 ,坐標(biāo)原點(diǎn)是鞍點(diǎn)，鄰近相軌線是雙曲線;在 處是橢圓點(diǎn)，附近是閉合軌道。因原點(diǎn)軌線附近呈雙曲線，形成一對蛋形軌線。 3. 對于 ,通過坐標(biāo)原點(diǎn)是兩條相交界軌線。其中兩條軌線走向原點(diǎn)，另兩條離開原點(diǎn)；當(dāng)沿一條從原點(diǎn)出發(fā)繞了一圈后回到原點(diǎn)，這原點(diǎn)稱同宿點(diǎn)。,相圖,有阻尼：