1、桿件的內力及其求法 梁的內力圖及其繪制 彎矩、剪力、荷載集度 間的關系 疊加法作剪力圖和彎矩圖 其它桿件的內力計算方法 小結,第一節(jié),第二節(jié),第三節(jié),第四節(jié),第五節(jié),返回,第四章 桿件的內力分析,第一節(jié) 桿件的內力及其求法,一、桿件的外力與變形特點,平面彎曲荷載與反力均作用在梁的縱向對稱平面內，梁軸線也在該平面內彎成一條曲線。,1.彎曲梁（橫向力作用） 受力特點：垂直桿軸方向作用外力， 或桿軸平面內作用外力偶； 變形特點：桿軸由直變彎。,單跨靜定梁的基本形式：,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,2、軸向拉伸與壓縮 桿（縱向力作用）,受力特點：外力與桿軸線方向重合； 變形特

2、點：桿軸沿外力方向伸長或縮短。,3、扭轉軸（外力偶作用） 受力特點：外力偶作用在垂直桿軸平面內； 變形特點：截面繞桿軸相對旋轉。,4、組合變形兩種或兩種以上基本變形的組合。,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,二、梁的內力及其求法,1、剪力和彎矩的概念 圖示簡支梁在荷載及支座反力共同作用下處于平衡狀態(tài)。 求距支座A為x的橫截面m-m. 上的內力。用截面法求內力。 步驟：1)截開 2)代替,內力外力引起的受力構件內相鄰部分之間相互作用力的改變量。,桿件橫截面上的內力有：軸力，剪力，彎矩，扭矩等。,剪力Q限制梁段上下移動的內力; 彎矩M限制梁段轉動的內力偶。,單位：剪力Q KN

3、, N；彎矩M KN.m ， N.m,3)平衡,若取右半段梁為研究對象,可得：,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,1）剪力Q：截面上的剪力Q使所取脫離體產生順時針轉動趨勢時（或者左上右下）為正，反之為負。,2）彎矩M：截面上的彎矩M使所取脫離體產生下邊凸出的變形時（或者左順右逆）為正，反之為負。,為避免符號出錯,要求： 未知內力均按符號規(guī)定的正向假設。,返回,下一張,上一張,小結,2、剪力和彎矩的符號規(guī)定,返回,下一張,上一張,小結,例3-1：懸臂梁如圖所示。求1-1截面和2-2截 面上的剪力和彎矩。,解：1）求1-1截面上的內力,求得的 Q1 、M1 均為負值,說明內力

4、實際方向與假設方向相反。矩心 O 是1-1截面的形心。,2）求2-2截面上的內力,求得的 Q2 、M2 均為負值,說明內力實際方向與假設方向相反。矩心 O1是2-2截面的形心。,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,例3-2 外伸梁如圖，試求1-1，2-2截面上的剪力和彎矩。,解：1、求支座反力：由整體平衡,校核： 反力無誤。,2、求1-1截面上的內力：取左半段研究,矩心o1-1截面形心,3、求2-2截面上的內力：取右半段研究,若取左半段梁研究，則,矩心o2-2截面形心,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,3、直接法求梁的內力：（由外力直接求梁橫截面上的內

5、力）,（1）梁任一橫截面上的剪力在數值上等于該截面一側（左側或右側）所有外力沿截面方向投影的代數和；,符號規(guī)定：外力使截面產生順時針轉動趨勢時（或左上右下）該截面剪力為正，否則為負；,（2）梁任一橫截面上的彎矩在數值上等于該截面一側（左側或右側）所有外力對截面形心力矩的代數和；,符號規(guī)定：外力使梁段產生上凹下凸變形時（或左順右逆）該截面彎矩為正，否則為負；,計算時可按二看一定的順序進行：一看截面一側有幾個力，二看各力使梁段產生的變形，最后確定該截面內力的數值。,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,例3-3：簡支梁如圖所

6、示。試計算1-1、2-2、 3-3、4-4 截面上的剪力和彎矩。 解：1）求支座反力,2）計算截面內力 1-1截面：,反力無誤。,校核,2-2截面：,3-3截面：,4-4截面:,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,第二節(jié) 梁的內力圖及其繪制,梁各截面的內力隨截面位置而變化，其函數關系式 Qx=Q(x), Mx=M(x) 稱作剪力方程和彎矩方程。,列內力方程即求任意截面的內力。,反映剪力（彎矩）隨截面位置變化規(guī)律的曲線，稱作剪力（彎矩）圖。,二、剪力圖和彎矩圖的作法： 取平行梁軸的軸線表示截面位置，規(guī)定 正值的剪力畫軸上側，正值的彎矩畫軸下側； 可先列內力方程再作其函數曲線圖

7、。,如懸臂梁：當x=o, Q(x)=-P, M(x)=0; x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=-Pl-ql2/2.,其剪力圖和彎矩圖如圖示。,返回,下一張,上一張,小結,一、剪力圖和彎矩圖的概念,返回,下一張,上一張,小結,例3-4 作圖示懸臂梁的內力圖。,解：1.列內力方程：（先確定x坐標，再由直接法求x截面的內力。）,2.作內力圖：（先取坐標系確定端點坐標，再按內力方程特征繪圖。）,Q(x)等于常數，為水平線圖形；由,作剪力圖,M(x)等于x的一次函數，為斜直線圖形；由,作彎矩圖,結論：當梁段上沒有荷載q作用時，剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線。,返回,下一張,上一張,小結,返回,

8、下一張,上一張,小結,例3-5 作圖示簡支梁的內力圖。,解：1.列內力方程：先求支座反力,利用對稱性：,2.作內力圖：,Q(x)為x的一次函數，Q圖為斜直線；,作,M(x)為x的二次函數，M圖為拋物線；,結論：當梁段上有均布荷載q作用時，Q圖為斜直線，M圖為二次拋物線。,作,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,例3-6 作圖示簡支梁的內力圖。,解：1.列內力方程： 求支座反力：由整體平衡,校核無誤。,因P作用，內力方程應分AC和CB兩段建立。 AC段：,CB段：,2.作內力圖：,AC段：,CB段：,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,結論：在集中力P作用

9、截面，Q圖發(fā)生 突變，突變值等于該集中力P的大??；M圖 有尖角，尖角的指向與集中力P相同。,內力函數的不連續(xù)是由于將集中力的作用范圍簡化為一個點的結果。若考慮集中力為微梁段上的均布荷載，則C截面的 Q圖和M圖應為斜直線和拋物線。,因此，當談到集中力作用出的剪力時， 必須指明是集中力的左側截面（C左）還是 集中力的右側截面（C右）。,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,例3-7 作圖示簡支梁的內力圖。,解：1.列內力方程：求支座反力,校核無誤。,AC段：,CB段：,2. 作內力圖：,AC段：,CB段：,結論：在集中力偶作用截面，Q圖不受影響；M圖有突變，突變值等于該集中力偶的

10、力偶矩。（談彎矩時，必須指明集中力偶作用截面的左側或者右側。）,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,第三節(jié) 彎矩、剪力、荷載集度間的關系,一、彎矩、剪力、荷載集度間的關系,由梁微段的平衡條件：,(Mo矩心O取在右側截面的形心。),將(b)代入(a)，,(a)、(b)、(c)三式即Q、M、q間的關系。,力學意義：微分形式的平衡方程；,幾何意義：反映內力圖的凹凸性；（一階導數反映切線斜率； 二階導數反映曲線凹凸性。）,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,二、M、Q、q三者間關系在內力圖繪制中的應用（內力圖特征）,q=0梁段 q=c梁段 P作用截面 m 作用梁

11、段 梁上外力 剪力圖 彎矩圖,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,例3-8：用簡捷法繪出圖示簡支梁的內力圖。 解：1）計算支座反力,在Q=0處，彎矩有極值,數值為：由,BC 段：,AB 段：,BC 段：,AB 段：,3）畫內力圖：（先求控制截面內力值，再按 內力圖特征畫圖。） 剪力圖,校核無誤。,2) 梁分段：為AC,CB兩段。,彎矩圖,返回,下一張,上一張,小結,4）確定內力最大值：,在B支座處。,在距B支座3m處。,返回,下一張,上一張,小結,三、簡捷法繪梁內力圖的步驟：,1. 求支座反力；（注意校核！懸臂梁可省略。）,2. 將梁分段；（以梁上荷載變化處為界，包括：P、

12、m作用點，q的起止點，梁的支座和端點等。）,3. 繪內力圖；（先確定控制截面內力值，再按 繪圖，最后用內力圖特征檢驗?？刂平孛婕戳悍纸缃孛妗Ｗ⒁釶、m作用處應取兩側截面。）,4. 確定內力最大值及其位置。(從圖上直接找 。),簡捷法繪梁內力圖的關鍵是：正確確定控制截面內力值（一般用直接法）；熟記內力圖的特征。,確定控制截面內力值的方法有三種：,1）截面法；（三個步驟，兩套符號規(guī)定。）,2）直接法；（由外力定內力符號看梁的變形。）,3）積分法。（微分關系逆運算的應用。）,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,內力圖特征,3）積分法求指定截面的內力：,假定梁段上從左向右依次有A、

13、B兩個點，A點的QA、MA已知，可由此計算B點的QB、MB.。 A B 由,A、B兩點間分布荷載圖形的面積,同理，由,A、B兩點間剪力圖形的面積,如此，可利用積分法從梁左端向右端依次確定各控制截面內力值；按內力圖的特征逐段繪圖。 這樣需知梁端點上的內力值：,梁端點 荷載 剪力值 彎矩值,鉸支座無 集中荷載 支反力值 零,固定端無 集中荷載 支反力值 支反力偶矩,自 由 端,無集中荷載 零 零,集中力P P力值 零,集中力偶m 零 m力偶矩,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,例3-9 試用簡捷法繪制圖示外伸梁的內力圖。 解：1、求支座反力：,校核無誤；,2、梁分段：為AC,

14、CD,DB,BE四段；,3、繪圖：從左向右逐段作Q圖和M圖；,檢驗Q最后與右端P2值相等,結果無誤；,M極值點的確定:（由三角形的相似比）,4、確定內力最大值：|Q|max=7kN 在A端； |M|max=20.5kN.m 在距A端5m處（在F端）。,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,第四節(jié) 疊加法作剪力圖和彎矩圖,一、疊加原理： 分析圖示懸臂梁。,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,疊加原理： 由幾個荷載所引起的反力，內力或其它參數（應力、位移） 等于各個荷載單獨引起的該參數值相疊加。,二、 疊加法作剪力圖和彎矩圖 步驟： 1）先把作用在梁上的復雜荷

15、載分解為幾組簡單荷載單獨作用 情況； 2）分別作出各簡單荷載單獨作用下梁的剪力圖和彎矩圖。 （各圖已知或容易畫出，可查表51） 3）疊加各內力圖上對應的縱坐標代數值，得原梁的內力圖。,疊加原理適用條件：參數與荷載成線性關系。即各種荷載對結構產生的效應（即各參數）彼此獨立。 對靜定結構，小變形假設可保證這一點。,注意：疊加不是圖形的拼合，而是將同一截面上的內力值代數相加；是各簡單荷載下的內力圖在對應點的縱坐標相加。,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,例310 用疊加法作圖所示外伸梁的 M 圖。 解：1）先分解荷載為P1、P2單獨作用情況； 2）分別作出各荷載單獨作用下梁的彎

16、矩圖； 如圖 a 3）疊加各控制截面各彎矩圖上的縱坐標得梁的彎矩圖。如圖d,返回,下一張,上一張,小結,返回,下一張,上一張,小結,三、區(qū)段疊加法作梁彎矩圖,(適用于復雜荷載作用下結構的彎矩圖。),梁中取出的任意梁段都可看作是簡支梁，用疊加法作簡支梁的彎矩圖即梁段的彎矩圖。,梁段中的極值的求法： 1.列剪力方程； 2.令剪力方程為零，確定X坐標； 3.將X截面各M圖的縱坐標疊加。,返回,下一張,上一張,小結,因為M極值未必是最大值，且 一般極值與跨中截面的彎矩值較接 近，故結構內力計算時多求梁段中 點彎矩，而不求極值，以簡化計算。,返回,下一張,上一張,小結,第五節(jié) 其它桿件的內力分析,一、拉

17、壓桿(沿軸線縱向力作用） 內力：軸力N， 軸力的符號規(guī)定：拉為正，壓為負。,二、扭轉圓軸（橫截面內力偶作用）,返回,下一張,上一張,小結,1、扭矩 ： 用截面法求內力。,軸力圖的規(guī)定：正值的軸力圖畫在軸上側，負值在軸下側。,1）截開；2）代替；3）平衡。,扭矩限制軸段轉動的內力偶。扭矩單位：,扭矩的符號規(guī)定：按右手螺旋法則， 順時針為正，逆時針為負。,二、功率、轉速與扭矩之間的關系,作用在傳動輪上的外力偶矩通常需由軸的功率和轉速換算。,設皮帶輪處的力偶矩為MK (單位：Nm),軸轉動一分鐘時力偶矩MK所作的功為：,則皮帶輪每分鐘所作的功為：,機器的功率為T(單位：千瓦；1KW 當于每秒鐘作10

18、00Nm的功）；或功率為N(單位：馬力；1PS=735.5 Nm/s);,軸每分鐘轉速為n(單位：r/min)；,或：,返回,下一張,上一張,小結,例3-11、試作圖示機器傳動軸的扭矩圖。已知軸的轉速 ，主 動輪1 的功率 ，三個從動輪2、3、4的功率 分別為 。,解：（1）求外力偶矩：,（2）計算扭矩：根據平衡條件：,（3）確定最大值： 在31軸段。,返回,下一張,上一張,小結,3、 組合變形桿件的內力：（將外力向沿桿軸和垂直桿軸的對稱軸方向分解，再由平衡條件確定內力。）,（1）斜彎曲 （雙向平面彎曲）：,兩分力Py,Pz分別引起沿鉛垂面和水平面的平面彎曲。略去剪力作用，則x截面的彎矩方程為

19、：,例3-12 作圖示懸臂梁的彎矩圖。,返回,下一張,上一張,小結,（2）拉伸（壓縮）與彎曲的組合：,兩分力Px、Py產生沿軸線方向的拉伸（壓縮）和鉛垂面內的平面彎曲變形。X截面的內力方程為：,例3-13 簡易吊車如圖，作橫梁內力圖。 解：1）作橫梁內力圖，求拉桿作用力：,2）求內力：,3）作內力圖：,返回,下一張,上一張,小結,（3）偏心壓縮（拉伸）：,偏心力P平移后所得力P和附加力偶M使桿件產生軸向壓縮（拉伸）和純彎曲的組合變形。,例3-14 廠房牛腿柱如圖，已知橫梁傳來軸向力P1=100kN,吊車梁傳來偏心力P2=30kN,偏心距e=0.2m。求作其內力圖。,解：,返回,下一張,上一張,

20、小結,4）彎曲與扭轉的組合：,皮帶輪緊邊受力T大于松邊t，向軸線平移所得P和附加力偶Mk使軸產生鉛垂面彎曲和扭轉的組合變形。,例3-15 卷揚機工作時受搖把上推力P和吊裝勿重量Q共同作用。設橫軸勻速轉動，不考慮軸承摩擦，試作其內力圖。,解：鉛垂面內重力Q使軸產生彎曲變形，跨中截面最大彎矩為QL/4; 力P,Q均未通過軸線，分別產生力偶矩MxA=Pa和MxB=QL,AC軸段扭矩Mx=Pa=QL;分別作彎矩圖和扭矩圖。,返回,下一張,上一張,小結,小 結,一、內力：1、 2、分類、性質、單位和符號規(guī)定： 1） 2） 3） 3、計算方法： 1） 2） 3）,二、梁的內力圖：1、 2、繪圖方法： 1） 2） 3） 三、其它桿件的內力圖： 1、 2、 3、,概念,彎矩和剪力,軸力,扭矩,截面法,直接法,積分法,概念,列方程法,簡捷法,疊加法,返回,下一張,上一張,小結,軸力圖；,扭矩圖；,組合變形,一、內力： 1、概念： 內力外力