1、光子學(xué)基礎(chǔ),物理科學(xué)技術(shù)學(xué)院 丁嵐,1,第三章第2講 厄米算符的本征值與本征函數(shù) 不確定度關(guān)系嚴(yán)格證明 狄拉克符號(hào),第2講 提綱,厄米算符回顧 再論統(tǒng)計(jì)詮釋 厄米算符的本征值與本征函數(shù) 不確定度關(guān)系的嚴(yán)格證明 狄拉克符號(hào) 例題,2,一、厄米算符回顧,3,1、轉(zhuǎn)置算符:,2、共軛算符,3、厄米共軛算符,則 的共軛轉(zhuǎn)置算符 稱為 的厄米共軛算符,記為: 即,一、厄米算符回顧,4,4、厄米算符,5、厄米算符的平均值 定理：厄米算符的平均值為實(shí)數(shù)。,逆定理：在任何狀態(tài)下平均值均為實(shí)的算符必為厄米算符,一、厄米算符回顧,5,推論2：厄米算符平方的平均值大于等于零,推論1：量子力學(xué)中，力學(xué)量用算符表示。由

2、于力學(xué)量是實(shí)驗(yàn)上可測(cè)量，這就要求在任何狀態(tài)下平均值都是實(shí)數(shù)，因此相應(yīng)的算符必須是厄米算符。,二、再論統(tǒng)計(jì)詮釋,6,統(tǒng)計(jì)詮釋 若粒子處于量子態(tài) ，則 表示粒子出現(xiàn)在點(diǎn) 附近的概率。若測(cè)量該粒子的力學(xué)量 時(shí)，一般來說，可能出現(xiàn)各種不同的結(jié)果，各有一定的概率。,問題：1、是否可以確定“各種不同的結(jié)果”？ （即給出測(cè)量值的樣本空間。）,2、是否可以確定“不同結(jié)果的概率”？ （即給出測(cè)量值的概率分布。）,三、厄米算符的本征值與本征函數(shù),7,1、本征函數(shù)（本征態(tài)）和本征值（1）,處于量子態(tài) 的粒子，對(duì)其測(cè)量力學(xué)量 ，可能出現(xiàn)各種不同的結(jié)果，根據(jù)概率論，所得結(jié)果的平均將趨于一個(gè)確定值，即平均值（期望）： ，

3、 每次測(cè)量結(jié)果則圍繞平均值有一個(gè)漲落（方差）。定義為：,因?yàn)?是厄米算符， 必為實(shí)數(shù)，因此 也是厄米算符,根據(jù)前述的推論2：,三、厄米算符的本征值與本征函數(shù),8,1、本征函數(shù)（本征態(tài)）和本征值（2）,若 ，漲落為零，其物理含義為：測(cè)量 所得的結(jié)果是唯一確定的，換句話說，測(cè)量 所得結(jié)果是以概率100%取值。,改記為：,三、厄米算符的本征值與本征函數(shù),9,該方程稱為算符 的本征方程，稱 為算符 的本征值， 稱為對(duì)應(yīng)于本征值 的本征態(tài)。,1、本征函數(shù)（本征態(tài)）和本征值（2）,量子力學(xué)的基本假設(shè)4:設(shè)體系處在任意狀態(tài) 下，則測(cè)量其力學(xué)量 時(shí)所有可能出現(xiàn)的值，都是相應(yīng)的線性厄米算符 的本征值 。若體系狀

4、態(tài)處在厄米算符 的本征態(tài) 下，測(cè)量結(jié)果以概率1取 ，即取確定值 。,三、厄米算符的本征值與本征函數(shù),10,2、幾個(gè)定理（1）,定理1：厄米算符的本征值必為實(shí)數(shù)。,設(shè) 為厄米算符， 和 為該算符的本征態(tài)與本征值，即：,【證明】：設(shè) 為 在本征態(tài) 下的平均值，即：,即：,前已證明：厄米算符在任意狀態(tài)下的平均值均為實(shí)數(shù)，因此定理得證。即 為實(shí)數(shù)。,三、厄米算符的本征值與本征函數(shù),11,2、幾個(gè)定理（2）,定理2：厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此 正交。,【證明】：設(shè) 為厄米算符，有：,有： 左乘 ,全空間積分有：,即：,且：,三、厄米算符的本征值與本征函數(shù),12,因?yàn)?是厄米算符，即 ，所以

5、,即：,已證明：,定理得證,2、幾個(gè)定理（3）,三、厄米算符的本征值與本征函數(shù),13,2、幾個(gè)定理（4）,正交歸一化的表示：,四、不確定度（測(cè)不準(zhǔn)）關(guān)系的嚴(yán)格證明,14,問題：對(duì)于 和 ，有 ， 和 為厄米算符，則,【證明】：設(shè)任意波函數(shù) 以及任意實(shí)數(shù),做積分：,四、不確定度（測(cè)不準(zhǔn)）關(guān)系的嚴(yán)格證明,15,其中：,四、不確定度（測(cè)不準(zhǔn)）關(guān)系的嚴(yán)格證明,16,所以可令 代入上式,四、不確定度（測(cè)不準(zhǔn)）關(guān)系的嚴(yán)格證明,17,令：,簡(jiǎn)記為：,四、不確定度（測(cè)不準(zhǔn)）關(guān)系的嚴(yán)格證明,18,問題：若 ，會(huì)出現(xiàn)什么情況？,五、狄拉克符號(hào),19,問題：使用普通函數(shù)或積分形式比較復(fù)雜，如何簡(jiǎn)化？,量子態(tài)的描述,

6、引出：狄拉克符號(hào),五、狄拉克符號(hào),20,Paul Dirac (19021984) 1933年諾貝爾物理獎(jiǎng),威斯敏斯特教堂中的Dirac紀(jì)念碑。,21,1、定義,：右矢，代表量子態(tài),：左矢，代表量子態(tài) 的共軛態(tài),即 是 的共軛態(tài)矢。若 是力學(xué)量完全集 的共同本征態(tài)，則,2、內(nèi)積,是歸一化態(tài)矢,和 是正交的,本征態(tài)的正交歸一：,五、狄拉克符號(hào),22,3、態(tài)矢在 表象中的表示和投影算符,表象中的基矢為： ，任意態(tài),其中：,或者寫為 稱為投影算符。,五、狄拉克符號(hào),4、力學(xué)量平均值,設(shè) 為代表量子態(tài) 的態(tài)矢，算符 L 對(duì)應(yīng)的力學(xué)量在 態(tài)下的平均值為,六、例題,23,在第二章：一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)中講到：,例題：粒子在一維無奇點(diǎn)勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)，試證明：屬于不同能級(jí)的束縛態(tài)波函數(shù)相互正交。,定理7：設(shè)粒子在無奇點(diǎn)勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)，若存在束縛態(tài)，則必定是不簡(jiǎn)并的。,定理1之推論1：,對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值 ，能量本征方程的解 不簡(jiǎn)