1、數(shù)學中的一些美麗定理具有這樣的 特性: 它們極易從事實中歸納出來, 但證明卻隱藏得極深. 高斯,數(shù)學歸納法,高三復習,湖北省黃岡中學 阮莉華,下結論:對于 及其后有關的正整數(shù)都能使命題成立,.數(shù)學歸納法的兩個步驟： （1）證明當 取第一個值 時結論正確； （2）假設 時結論正確，證明當 時結論也正確,. 數(shù)學歸納法用于證明或解決與正整數(shù)有關的命題如：等式、不等式、幾何計數(shù)、整除等問題,數(shù)學歸納法,知識與方法回顧,第一步要注意初始項的選擇,在證明 時結論也成立的過程中，要注意用到歸納假設的結論進行變形,第二步中常用的變形技巧有：提公因式、添項、拆 項、合并項、配方、放縮、甚至利用函數(shù)單調性等,黃

2、岡中學：阮莉華,1用數(shù)學歸納法證明凸 邊形的對角線 條數(shù) （ 且 ）時， 有 ,.用數(shù)學歸納法證明：為正奇數(shù)時， 能被 整除的第二步過程中，假設 時命題成立，進而需證時命題成立也成立,數(shù)學歸納法,熱身練習,黃岡中學：阮莉華,數(shù)學歸納法,熱身練習,黃岡中學：阮莉華,例題探究,（2009年高考安徽卷理21改編）,則,假設，是奇數(shù),綜合以上可知，對任何 ， 都是奇數(shù),，,運用數(shù)學歸納法證明等式的實質就是恒等變形,數(shù)學歸納法,黃岡中學：阮莉華,例題探究,（2009年高考陜西卷理21改編）,證明：當時，,，,所以 ,結合1)和2)可知，命題成立,那么,，,即當 時命題也成立；,下一頁,例,數(shù)學歸納法,黃

3、岡中學：阮莉華,例題探究,（2009年高考山東卷理科第20題改編）,都成立.,分析：將代入不等式可知，要證明的不等式為,例題探究,所以不等式成立.,即是要證明,數(shù)學歸納法,黃岡中學：阮莉華,數(shù)學歸納法,黃岡中學：阮莉華,例題探究,分析法2,分析法1,分析法3,綜合法2,綜合法3,比較法,下一頁,小結,綜合法1,數(shù)學歸納法,例題探究,逐次化歸轉化,返回,下一頁,小結,黃岡中學：阮莉華,數(shù)學歸納法,黃岡中學：阮莉華,例題探究,因為 ，,分離出目標式再放縮,返回,下一頁,小結,數(shù)學歸納法,黃岡中學：阮莉華,例題探究,由均值不等式可得：,利用均值不等式放縮,返回,下一頁,小結,數(shù)學歸納法,黃岡中學：阮

4、莉華,例題探究,利用均值不等式放縮,返回,下一頁,小結,數(shù)學歸納法,例題探究,綜合法：,去掉一些正項放縮,返回,下一頁,小結,黃岡中學：阮莉華,數(shù)學歸納法,黃岡中學：阮莉華,例題探究,綜合法：左邊,返回,下一頁,小結,利用不等式的性質進行放縮,數(shù)學歸納法,黃岡中學：阮莉華,例題探究,比較法：,平方后作差,返回,下一頁,小結,數(shù)學歸納法,課堂練習,用數(shù)學歸納法證明：,又,，,；,下一頁,所以時，命題成立綜上可知，時命題成立,數(shù)學歸納法,黃岡中學：阮莉華,課堂小結,3.在運用數(shù)學歸納法證明不等式的實質就是利用歸納假設證明一個相關的不等式成立，可以考慮運用綜合法、分析法、比較法等證明不等式的各種方法以及利用不等式的性質、均值不等式、放縮等技巧,.數(shù)學歸納法的基本思想方法、證明過程中的兩個重要步驟以及常見的幾個方面的應用,2.運用數(shù)學歸納法證明等式的實質就是運用歸納