1、,集合的含義與表示,（第一課時(shí)）,2014.9.1,集合的含義與表示,了解康托爾,德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。,數(shù)集 自然數(shù)的集合,有理數(shù)的集合,不等式x-73的解的集合,初中學(xué)習(xí)了哪些集合的實(shí)例,點(diǎn)集 圓(到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合) 線段的垂直平分線(到一條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合),等等.,一般地，把一些能夠確定的不同的對象 看成一個整體,就說這個整體是由這些對象 的全體構(gòu)成的集合(或集),1.集合的概念:,構(gòu)成 集合的每個對象叫做這個集合的 元素.,基礎(chǔ)練習(xí),1.確定性,現(xiàn)有:不大于的正有

2、理數(shù). 的近似數(shù) 全部長方形.全體無實(shí)根的一元二次方程程四個條件中所指對象不能組成集合的,基礎(chǔ)練習(xí),2.互異性,若 三個元素構(gòu)成集合中的元素,求x的值.,基礎(chǔ)練習(xí),探究一 :(1) 用列舉法表示下列集合 自然數(shù)集 的圖象的交點(diǎn)構(gòu)成的集合,集合的表示方法,探究二:用描述法表示下列集合 小于10的所有非負(fù)整數(shù)構(gòu)成的集合 ,集合的表示方法,的圖象的交點(diǎn)構(gòu)成的集合, 三角形,思考：下列集合是否相同。,集合的表示方法,探究三:含參數(shù)問題 中各元素之和等于3,求a的值,集合的表示方法,選擇題, 以下說法正確的( ) (A) “實(shí)數(shù)集”可記為R或?qū)崝?shù)集或所有實(shí)數(shù) (B) a,b,c,d與c,d,b,a是兩個

3、不同的集合 (C) “我校高一年級全體數(shù)學(xué)學(xué)得好的同學(xué)”不能組成一個集合,因?yàn)槠湓夭淮_定, 已知2是集合M= 中的元素，則實(shí)數(shù)為( ) (A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可,（3）下列四個集合中，不同于另外三個的是： yy=2 B. x=2 C. 2 D. xx2-4x+4=0,(4) 由實(shí)數(shù)x, -x, , x 所組成的集合 中，最 多含有的元素的個數(shù)為（ ） A.2 B.3 C.4 D.5,（1）方程組 的解集用列舉法表示 為_；用描述法表示為 . （2）集合 用列舉法表示為 .,3.填空,1. 用描述法表示下列集合,1，4，7，10，13,1/3,1/2,3/5,

4、2/3,5/7.,能力提高題,2.用列舉法表示下列集合： （1）A=xN Z (2) B= N xZ ,4. 若-3 a-3, 2a+1, a2+1,求實(shí)數(shù)a的值.,3. 求集合3 ，x , x2-2x中，元素x應(yīng)滿足的條件。,回 顧 交 流,今天我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？,課堂作業(yè),大學(xué)期間康托爾主修數(shù)論，但受外爾斯特拉斯的影響,對數(shù)學(xué)推導(dǎo)的嚴(yán)格性和數(shù)學(xué)分析感興趣。哈雷大學(xué)教授H.E.海涅鼓勵他研究函數(shù)論。他于1870、1871、1872年發(fā)表三篇關(guān)于三角級數(shù)的論文。在1872年的論文中提出了以基本序列（即柯西序列）定義無理數(shù)的實(shí)數(shù)理論，并初步提出以高階導(dǎo)出集的性質(zhì)作為對無窮集合的分類準(zhǔn)則。函數(shù)論

5、研究引起他進(jìn)一步探索無窮集和超窮序數(shù)的興趣和要求。 1872年康托爾在瑞士結(jié)識了J.W.R.戴德金，此后時(shí)常往來并通信討論。1873年他估計(jì)，雖然全體正有理數(shù)可以和正整數(shù)建立一一對應(yīng)，但全體正實(shí)數(shù)似乎不能。他在1874年的論文關(guān)于一切實(shí)代數(shù)數(shù)的一個性質(zhì)中證明了他的估計(jì)，并且指出一切實(shí)代數(shù)數(shù)和正整數(shù)可以建立一一對應(yīng)，這就證明了超越數(shù)是存在的而且有無窮多。在這篇論文中，他用一一對應(yīng)關(guān)系作為對無窮集合分類的準(zhǔn)則。,格奧爾格康托爾 康托爾（Georg Cantor，1845-1918，德） 德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父

6、為遷居俄國的丹麥商人。康托爾11歲時(shí)移居德國,在德國讀中學(xué)。1862年17歲時(shí)入瑞士蘇黎世大學(xué),翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué),主修數(shù)學(xué)，從學(xué)于E.E.庫默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內(nèi)克。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。,1867年在庫默爾指導(dǎo)下以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大學(xué)通過講師資格考試，后即在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授。,康托爾在1878年這篇論文里已明確提出“勢”的概念(又稱為基數(shù))并且用“與自身的真子集有一一對應(yīng)”作為無窮集的特征。 康托爾認(rèn)為，建立集合論重要的是把數(shù)的概念從有窮數(shù)擴(kuò)充到無窮數(shù)。他在18791884年發(fā)表的題為關(guān)于無窮線性點(diǎn)

7、集論文6篇，其中5篇的內(nèi)容大部分為點(diǎn)集論，而第5篇很長，此篇論述序關(guān)系，提出了良序集、序數(shù)及數(shù)類的概念。他定義了一個比一個大的超窮序數(shù)和超窮基數(shù)的無窮序列，并對無窮問題作了不少的哲學(xué)討論。在此文中他還提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未給出證明。 在1891年發(fā)表的集合論的一個根本問題里，他證明了一集合的冪集的基數(shù)較原集合的基數(shù)大，由此可知，沒有包含一切集合的集合。他在1878年論文中曾將連續(xù)統(tǒng)假設(shè)作為一個估計(jì)提出，其后在1883年論文里說即將有一嚴(yán)格證明，但他始終未能給出。,在整數(shù)和實(shí)數(shù)兩個不同的無窮集合之外，是否還有更大的無窮?從1874年初起,康托爾開始考慮面上的點(diǎn)集和線上的點(diǎn)集有

8、無一一對應(yīng)。經(jīng)過三年多的探索，1877 說，“我見到了，但我不相信?！边@似乎抹煞了維數(shù)的區(qū)別。論文于1878年發(fā)表后引起了很大的懷疑。P.D.G.杜布瓦雷蒙和克羅內(nèi)克都反對，而戴德金早在1877年7月就看到,不同維數(shù)空間的點(diǎn)可以建立不連續(xù)的一一對應(yīng)關(guān)系，而不能有連續(xù)的一一對應(yīng)。此問題直到1910年才由L.E.J.布勞威爾給出證明。,19世紀(jì)70年代許多數(shù)學(xué)家只承認(rèn)，有窮事物的發(fā)展過程是無窮盡的，無窮只是潛在的，是就發(fā)展說的。他們不承認(rèn)已經(jīng)完成的、客觀存在著的無窮整體，例如集合論里的各種超窮集合。康托爾集合論肯定了作為完成整體的實(shí)無窮，從而遭到了一些數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家的批評與攻擊，特別是克羅內(nèi)克?？低袪栐?883年的論文和以后的哲學(xué)論文里對于無窮問題作了詳盡的討論。另一方面，康托爾創(chuàng)建集合論的工作開始時(shí)就得到戴德金、外爾斯特拉斯和D.希爾伯特的鼓勵和贊揚(yáng)。20世紀(jì)以來集合論不斷發(fā)展，已成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論。 他的著作有：G.康托爾全集1卷及康托爾-戴德金通信集等。 康托爾是德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。 康托爾11歲時(shí)移居德國，在德國讀中學(xué)。1862年17歲時(shí)入瑞士蘇黎世大學(xué)，翌年入柏林大學(xué)，主修數(shù)學(xué)，1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在