1、2.2.3矢量數(shù)乘法及其幾何意義學習目標1 .理解向量數(shù)乘法的概念，理解其運算的幾何意義.2.理解并把握向量數(shù)乘法的運算法則，使用向量數(shù)乘法運算法則進行向量運算.3.理解并把握兩向量共線的性質及其判定方法，使用這些知識能夠很好地處理共線向量問題知識點1向量數(shù)乘法的定義思考1實數(shù)和向量的乘法結果是實數(shù)還是向量？回答向量思考2矢量3a，-3a和a從長度和方向有什么關系？答案3a的長度是a的長度的3倍，其方向與向量a的方向相同3a的長度是a的長度的3倍，其方向與向量a的方向相反3 a的幾何意義是什么？答案a的幾何意義是伸長或壓縮表示向量a的有向線段|1時，表示a的有向線段在原來的方向(0)或反方向(

2、0)上伸長為原來的|倍。卡矢量乘法實數(shù)和向量a的乘積是向量，其運算稱為向量的乘數(shù)，記作a，其長度和方向定義如下a|=| |a|.(2)a (a0 )的方向具體地，在=0或a=0的情況下，0a=0或0=0。知識點乘以2矢量數(shù)的運算法則考慮類比實數(shù)的運算法則，向量數(shù)乘以什么樣的運算法則？答案是結合律，分配律卡矢量乘法(1)(a)=()a。(2)( )a=a a。(3)(a b)=a b。知識點三向量共線定理想一想，b=2a，b和a是共線嗎？答案是共線向量和向量數(shù)相乘的意思可知，b和a是共線如果存在實數(shù)，并且b=a(a0 )，則b和a是共線向量。 相反，如果b和a(a0 )為共線矢量，則只有一個實數(shù)

3、成為b=a。如果思考2b與非零向量a共線，是否滿足b=a？ 如果b和矢量a是共線呢？如果答案b與非零向量a共線，則滿足b=a。 當b是與矢量a共線，且a=0，b0時，的不存在滿足b=a .(1)整理向量共線定理在向量a (a0 )與b共線且存在唯一的實數(shù)的情況下，設b=a。(2)向量的線性運算將向量的加法、減法、乘法總稱為向量的線性運算，并且對于任意的向量a、b，以及任意的實數(shù)、1、2，總是存在(1a2b)=1a2b。與類型1矢量數(shù)相乘的基本運算化簡： 2(2a 4b)-4(5a-2b)。了解2(2a 4b)-4(5a-2b)=(4a 8b-20a 8b )=(-16a 16b )=-4a 4

4、b。(2)已知向量滿足關系式a，b，未知向量滿足x，y，向量a，b，x和y滿足關系式3x-2y=a，-4x 3y=b，從而確定向量x和y。解從3 2得到x=3a 2b，代入得到3(3a 2b)-2y=a，x=3a 2b，y=4a 3b。反省和感知(1)向量的乘數(shù)與代數(shù)多項式的運算相似，例如實數(shù)運算中的括號刪除、移動項、同族項的合并、公式的提取等變形手段也同樣適用于數(shù)和向量的乘積，但是這里的“同族項”、“公式”是指向量，實數(shù)視為向量的系數(shù)(2)向量也可以用列方程式和方程式求解，同時在運算過程中多加注意觀察，妥善運用運算法則，簡化運算跟蹤訓練1 (1)的修正算法： (a b)-3(a-b)-8a。

5、解(a b)-3(a-b)-8a=(a-3a) (b 3b)-8a=-2a 4b-8a=-10a 4b。如果(2-(c b-3y) b=0，則其中的a、b、c是已知的矢量，并且未知的矢量是y=_ _ _ _ _。答案a-b c分析結果為2-(c b-3y) b=0，因為3y-a b-c=0，所以y=a-b c。類型2矢量共線的判定與應用命題角度1判定向量共線或三點共線例2可知非零矢量e1、e2不是共線。如果(a=e1-e2，b=3e1-2e2，則判斷向量a、b是否是共線。求解b=6a、a和b的共線。(=e1 e2、=2e1 8e2、=3(e1-e2)的情況下，要求證據(jù)： a、b、d三點共線。證

6、明=e1 e2，=2e1 8e2 3e1-3e2=5(e1 e2)=5。有共線，還有共同點b。a、b、d三點共線。反省和感性(1)向量共線的判斷(證明)是將兩向量用共同的已知向量表示，并且通過相互表示，判斷共線(2)利用向量共線定理證明三點共線，一般先取二點結構向量，將問題變換為證明二點共線。 需要注意的是，在證明三點共線時，不僅b=a(a0 )，向量a、b也存在共通點。跟蹤訓練2知道零以外矢量e1、e2不是共線，如果是=e1 2e2、=-5e1 6e2、=7e1-2e2，則共線的3個點是答案a、b、d解析=e1 2e2、=-5e1 6e2 7e1-2e2=2(e1 2e2)=2。有共線，還有

7、共同點b。a、b、d三點共線。用命題角度2矢量共線求殘奧儀表值由此可知，例3非零向量e1、e2不是共線，想要將ke1 e2和e1 ke2設為共線，想要確定k的值。解開ke1 e2和e1 ke2的共線，存在實數(shù)，ke1 e2=(e1 ke2)，(k-)e1=(k-1)e2，由于e1和e2不在同一條線上k=1。反思和感化可以利用矢量共線定理，即b和a(a0 )共線b=a，證明點共線或線共線問題，也可以從共線求出殘奧儀表的值跟蹤訓練3已知有a、b、p的三點共線，其中，o是直線以外的任意點，如果=x y，則為x-y=_ _ _ _ _。答案1分析是a、b、p三點共線，在同一直線上，根據(jù)矢量共線定理，必

8、定存在實數(shù)，=，即-=(-)，=(1-) 。x=1-，y=，x y=1。類型3用已知向量表示其他向量在示例ABC中，如果點d滿足=2，則等于()A. B.-C.- D答案d分析圖像如圖所示從題意中得到=(-)=)。用已知向量表示反省與知覺未知向量的求解構想(1)首先結合圖形的特征，將要求出的向量放置在三角形或平行四邊形上(2)接下來結合向量的三角形法則或平行四邊形法則和向量共線定理，用已知向量表示未知向量(3)在難以直接表現(xiàn)的情況下，使用三角形規(guī)則和平行四邊形規(guī)則確立與求出的向量和已知的向量相關的等量關系，能夠求出與求出的向量相關的方程式.跟蹤訓練4如圖所示，在ABC中，d、e是邊AB的兩個三

9、等分點，=3a、=2b，求出。解=3a、=2b，=-=2b-3a，另外，d、e是邊AB的兩個三等分點，b-a表示，3 a b-a=2a b，以及，=3a=3a (2b-3a)=a b如果已知a=5e、b=-3e、c=4e，則等于2a-3b c ()A.5e B.-5eC.23e D.-23e答案c分析2a-3b c=25e-3(-3e) 4e=23e。在ABC中，如果m是BC的中點，則等于()甲乙丙二級聯(lián)賽。答案c解析圖制作平行四邊形ABEC，m是對角線的交點，因此m是BC的中點，是AE的中點從題意可以看出，=2所以選擇c。3 .如果將e 1、e2設為兩條不共線的向量，向量m=-e1 ke2

10、(kR )和向量n=e2-2e1是共線()A.k=0 B.k=1C.k=2 D.k=答案d分析時k=時，m=-e1 e2、n=-2e1 e2。因此，n=2m，此時m和n是公共線。4.ABC的三個頂點a、b、c以及平面內(nèi)的一點p是已知的，若=，則為()A.P在ABC內(nèi)部B.P在ABC的外部C.P在AB邊上或其延長線上D.P位于交流電邊緣答案d解析- -，p位于AC邊緣。5 .如圖所示，已知用=表示。解=(-)=-.1 .實數(shù)和向量可以進行數(shù)乘法運算，但不能進行加減法運算，例如 a、-a沒有意義.2.a的幾何意義是將向量a沿著a的方向或相反方向放大或縮小為原來的|倍.3 .矢量共線定理是證明三點共

11、線的重要工具.即三點共線問題通常被變換為矢量共線問題已知o、a、b是不共線的三點，并且=m n(m，n-r )、a、p、b的三點共線m n=1。上課的作業(yè)一、選擇問題1 .以下說法正確的是()A.a和a的方向不同或相反如果b.a和b在同一條線上，則b=a|b|=2|a|、b=2a如果b=2a，則|b|=2|a|答案d分析顯然在b=2a的情況下，|b|=2|a|是必要的。如果AD、BE分別為BC、AC上的中線，且=a、=b，則等于()A.a b B.a-bC.a-b D.-a b答案a從題意來看，解析為=b=b ()=b a，即=b a，解為=a b。3 .如圖所示，AB是o的直徑，點c、d是半

12、圓弧AB上的兩個三等分點，=a、=b的話，等于()阿爾伯特阿爾伯特阿卜杜勒答案d如圖所示，解析連接CD、OD。點c、d是半圓弧AB上的兩個三等分點AC=CD，CAD=DAB=90=30。OA=OD，ado=Dao=30。由此得到CAD=ADO=30、ACDO。從AC=CD到CDA=CAD=30，CDA=大道，CDAO，四邊形ACDO是平行四邊形，親愛的。在ABC中，已知d是AB邊上的一點，如果=，則等于()甲骨文。C. D答案b分析- a、b、d三點共線，=，=。5 .設d為ABC所在平面內(nèi)的一點，=3時()A.=-B.=-C.=D.=-答案a分析=3，-=3(-)，即，4-=3、=-.6 .

13、如果知道m(xù)，n是實數(shù)，a，b是向量，那么在下面的命題中正確的是()m(a-b)=ma-mb。 (m-n)a=ma-na；如果ma=mb，則a=b； 如果ma=na，則m=n。A. B.C. D.答案b分析和是數(shù)乘對向量和實數(shù)的分配律，正確的中，如果m=0，則a=b，不能出錯。 中，如果a=0，則m，n無關，是錯誤的。二、填海問題如果已知=a 5b、=-2a 8b、=3(a-b )，則_三點共線。答案a、b、d8 .假設向量a和b不平行，而向量a和b平行于a 2b，則實數(shù)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

14、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _是實數(shù)答案如果分析向量a、b不平行，并且向量a 2b0，或者向量a b與a 2b平行，則存在唯一的實數(shù)，a b=(a 2b )成立。b2c是什么意思？答案a 10b在AbcD中，如果=a、=b、=3、m是BC的中點，則=_ _ _ _ _ _ _ _ _ (用a、b表示)答案b-a分析圖，=-b-a=-b-a (a b)=(b-a )。三、解答問題11 .如圖所示，將m、n設為ABC內(nèi)的2點，將=設為，求出ABM的面積與ABN的面積之比。如圖解所示，=、是=.從平行四邊形定律可以看出，MQAB，=。同理=.=.12 .如果零向量a和b不是共線，則試著求ka 2b和3a kb是共線并且實數(shù)k的值。解開ka 2b和3a kb的共線。如果存在實數(shù)，則ka 2b=(3a kb )，(k-3)a (2-k)b=0，(k-3)a=(k-2)b。a和b不是共線，k=。已知在平行四邊形ABCD中，m，n分別是DC，BC的中點，=c，=d，試用c，d表示和。如解圖所示，設為=a、=b。m、n分別是DC、BC的中點，b，=a。在ADM和ABN中，也就是說得到2-、b=(2c-d )，得到2-、a=(2d-c )。d-c，