1、拉梅公式的推導(dǎo)和應(yīng)用,平面彈性變形問題,1 引言,拉梅公式在工程力學(xué)中具有重要地位，尤其是在解決彈性力學(xué)的平面問題時(shí)，不失為一種理想的數(shù)學(xué)模型。 前一部分給出拉梅公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，用到了極坐標(biāo)下的四類基本方程，即平衡方程，幾何方程，本構(gòu)方程，和變形協(xié)調(diào)方程。根據(jù)平面軸對稱問題簡化四類基本方程。再聯(lián)合平面軸對稱問題下的應(yīng)力函數(shù)，得到平面應(yīng)力問題的解。最后，根據(jù)厚壁問題的邊界條件得到拉梅公式。 后一部分介紹了拉梅公式在工程上的具體應(yīng)用實(shí)例，并給出具體的數(shù)值計(jì)算。,2 拉梅公式的推導(dǎo),彈性理論是一類偏微分方程的邊界問題1。所以邊界的選擇決定著工程問題求解的難以。一般要求坐標(biāo)軸與受力物體的邊界相重合，因

2、此對于圓形、環(huán)形、楔形或者帶小孔的受力物體選用極坐標(biāo)會更容易解決問題。,2.1 四類基本方程：,平衡方程：平面上的平衡方程的柱坐標(biāo)不含z變量：,幾何方程：,本構(gòu)方程：,協(xié)調(diào)方程：,2.2 極坐標(biāo)應(yīng)力公式,可以看到應(yīng)力張量第一不變量與坐標(biāo)選擇無關(guān)。,2.3 平面軸對稱問題,平面軸對稱問題中，應(yīng)力不僅與z無關(guān)，而且與 無關(guān)，因此，由公式可得柱坐標(biāo)下的正應(yīng)力為：,對于環(huán)向閉合的圓域或、環(huán)域，或者平板上的圓孔，方向上位移的單值條件要求B值為零。即B=0,求解平面軸對稱情況下的協(xié)調(diào)方程可得：,3 拉梅公式的應(yīng)用,例1 均壓圓環(huán)或圓筒 對于厚壁圓筒。內(nèi)表面r=a處受壓力pi，在外表面r=b處 受壓力p0，邊界條件為： 把式代入以上邊界條件可解的：,將A和C代回中可得到拉梅公式，它適用于任意壁厚問題。,例2 帶小孔的等向拉伸平板，此種情況可以簡化為pi=0，p0=-q，壁厚很大（b遠(yuǎn)大于a）的圓環(huán)。壁厚t 遠(yuǎn)小于內(nèi)徑a ，即t/a遠(yuǎn)小于1,此時(shí)拉梅公式可簡化為薄壁筒公式。,4 小結(jié),拉梅公式有很廣的用途，尤其是解決受均勻載荷的平面問題。但是拉梅公式也有其局限性。 拉梅公式不適用的情況： 筒所承受的內(nèi)、外壓強(qiáng)若為軸向坐標(biāo)z的二次函數(shù)或更高次函數(shù)時(shí)，不適于用拉梅公式求解。 除上述情況外,經(jīng)理論分析和計(jì)算,筒的結(jié)構(gòu)尺寸或所承受的載荷有突變之