1、1.Xi交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院計算機科學(xué)系離散數(shù)學(xué)，2。離散數(shù)學(xué)，5。環(huán)的基本概念。無零因子環(huán)、有零因子環(huán)和除環(huán)的環(huán)的基本性質(zhì)，3。離散數(shù)學(xué)，5。戒指定義1。設(shè)(R，)是一個代數(shù)系統(tǒng)，并且是R上的兩個二元運算，如果(1)，(2) (R)，是一個半群；(3)滿足分布規(guī)律：對于任何一個A、B和Cr，都有A(BC)=(AB)(AC)(BC)A=(BA)(CA)；那么(r，)是一個環(huán)。注意：在環(huán)中，因為(r)是一個組，如果有一個元素，關(guān)于它的元素被記錄為0，這被稱為環(huán)的零元素。在環(huán)中，因為(r)是一個群，所以r中的每個元素都有一個逆元素。讓aR，把a的逆元素寫成-a，這叫做a的負元素，把a (-b

2、)寫成a-b，4，離散數(shù)學(xué)(也就是說，減法可以在環(huán)中定義)。在環(huán)中，對于一個運算，如果有任何元素，它被記錄為1或e。在環(huán)中，讓aR，如果a有一個逆元素，它將被表示為-1。當(dāng)我們以后討論環(huán)時，我們將只討論|R|2的情況，也就是說，我們將不討論一個元素的環(huán)。在環(huán)的定義中，不要求滿足分布規(guī)律，而只要求滿足分布規(guī)律。例1。(我，)是一枚戒指。我們稱這個環(huán)為整數(shù)環(huán)。這里：I是整數(shù)的集合，是整數(shù)的普通加法和乘法。從前兩節(jié)可知，(1)(1)，是一個交換群；(2)(1)，是半群；(3)滿足分布規(guī)律：從算術(shù)知識可知，整數(shù)乘法滿足整數(shù)加法的分布規(guī)律。也就是說，a，b，cI的交換定律為a(b(c)=a(b)(a(c

3、)，以滿足分配定律；根據(jù)環(huán)的定義，(我，)是環(huán)。5，離散數(shù)學(xué)，例2。(Mnn、)是一個環(huán)。我們稱這個環(huán)為矩陣環(huán)。這里：Mnn是N階實矩陣的整體，and是矩陣的加法和乘法。從前兩節(jié)可知：(1) (Mnn，)是交換群；(2) (Mnn，)是半群；(3)滿足分布規(guī)律：根據(jù)線性代數(shù)，矩陣乘法滿足矩陣加法的分布規(guī)律。即A、B、CMnn，其中：A(BC)=(ab)(AC)(BC)A=(ba)(ca)；根據(jù)環(huán)的定義，(Mnn、)是環(huán)。6，離散數(shù)學(xué)，示例3。(Nm，m，m)是一個環(huán)。我們稱這個環(huán)為整數(shù)模環(huán)。這里：Nm=0m，1m，m-1m，m和m是在Nm上的模加法和乘法運算。從前兩部分可知：(1) (Nm，m

4、)是交換基團；(2) (Nm，m)是半群；(3)m滿足M的分布規(guī)律：由于im，jm，kmNm，有IM M(JM MKM)=IM M(J K)MOD MM=(I(J K)MOD MM=(I J)MOD MM M(I K)MOD M=(根據(jù)環(huán)的定義，(Nm，M，M)是環(huán)。7，離散數(shù)學(xué)，例4。(2X，)是一個環(huán)。這里我們稱這個環(huán)為x的子集環(huán)：x是非空集，2X是x的冪集，集的對稱差運算，集的交集運算。從前兩節(jié)可知，(1) (2X)，是一個交換群；(2) (2X)，是半群；(3)滿足分布律：從第一章定理6(8)可知，集合的交運算滿足對稱差運算的分布律。即A、b、c2X，A(BC)=(AB)(AC)的交換

5、定律滿足分布定律；根據(jù)環(huán)的定義，(2X，)是環(huán)。8，離散數(shù)學(xué)，例5(Px，)是一個環(huán)。我們稱這個環(huán)為多項式環(huán)。這里：Px是整多項式的實系數(shù)，和是多項式的加法和乘法。從前兩個部分，(1) (Px)，是一個交換群；(2) (Px)，是半群；(3)滿足分布規(guī)律：因為實數(shù)乘法滿足實數(shù)加法的分布規(guī)律，所以多項式乘法滿足多項式加法的分布規(guī)律。即h(x)、p(x)、q(x)Px，h(x)(p(x)q(x)=(h(x)p(x)(h(x)q(x)的交換定律滿足分布定律；根據(jù)環(huán)的定義，(Px，)是環(huán)。9，離散數(shù)學(xué)，定義2。有環(huán)的交換環(huán)和有環(huán)的交換環(huán)讓(r，)是環(huán)。(1)如果運算滿足交換律，那么我們稱(r，)為交換

6、環(huán)。(2)如果有關(guān)于運算的元素，那么我們稱(r，)包含元素的環(huán)。(3)如果運算滿足交換律，并且有關(guān)于運算的爭論，那么我們稱(r，)為交換包含環(huán)。，10，離散數(shù)學(xué)，示例8在前面的示例中，(1)整數(shù)環(huán)(I，)是一個交換包含環(huán)；運算的分子是1；(2)矩陣環(huán)(Mnn、)是包含環(huán)，但不是交換環(huán)；運算的分子是單位矩陣e，矩陣乘法沒有交換定律；(3)整數(shù)模環(huán)是交換環(huán)；m操作單位為1m；(4)X的子集環(huán)(2X，)是一個可交換的包含環(huán)；運算單位是x。(5)多項式環(huán)(Px，)是交換環(huán)；運算的分子是零次多項式1；11，離散數(shù)學(xué)，定理1。讓(r，)成為一個環(huán)。那么a、b和Cr具有(1)零元素：0a=a0=0(加法元素

7、是乘法的零元素)；(2)陽性和陰性均為陰性：A(-B)=(-A)B=-(AB)；(3)陰性為陽性：(-a)(-b)=ab；(4)(-1)a=-a (-1是乘法單元1的負元素)；(5)(-1)(-1)=1(1的逆乘法元素是它自己，即(-1)-1=-1)；(6)左分布定律：a(b-c)=(ab)-(ac)(乘與減)；右分布定律：(bc)a=(ba)(ca)(乘法對減法)。注：根據(jù)定理1(1)的結(jié)論，在環(huán)(r，)中，關(guān)于運算的元素是關(guān)于運算的零元素。因為(r)是一個交換群，所以必須有一個關(guān)于運算的元素，所以必須有一個關(guān)于運算的元素。在代數(shù)系統(tǒng)中，零元素沒有逆元素，所以(r，)不能在環(huán)(r，)中形成一

8、個群。12，離散數(shù)學(xué)，證明。(1)僅證明A0=0 A0=(A0)0=(A0)(A0)-(A0)=(A0)(-(A0)、13、離散數(shù)學(xué)、(2)僅A-(B)=(AB)A-(B)=(A-(B)0=(A-(B)(AB)-(AB)=(A-(B)(AB)、14、離散數(shù)學(xué)、(3)(A)-(B)=(根據(jù)(2)=-(-(ab)(4)(-1)a=-(1a)(根據(jù)(2)=-a；(5)(-1)(-1)=11(根據(jù)(3)=1；(6)僅證明A(B-C)=(AB)-(AC)A(B-C)=(A(B-(C)=(AB)(-(AC)(根據(jù)(2)，15，離散數(shù)學(xué)，定義3。有零因子的環(huán)和沒有零因子的環(huán)讓(r，)成為環(huán)。如果環(huán)(R，)中

9、的(1)(aR)(bR)(a0b0ab=0)，那么環(huán)(R，)是一個包含零因子的環(huán)；稱甲為環(huán)中的左零因子，稱乙為環(huán)中的右零因子。(2)(ARr)(Br)(a0b 0ab 0)，也就是說，如果環(huán)中沒有零因子，那么環(huán)(r，)就是零因子環(huán)。注：所謂的零因子是指環(huán)中的兩個元素。它們不是關(guān)于操作的零元素，但是它們的操作結(jié)果是零元素；因此，這個環(huán)被稱為包含零因子的環(huán)。當(dāng)環(huán)是交換環(huán)時，左零因子也是右零因子，反之亦然；在這種情況下，左零因子和右零因子統(tǒng)稱為零因子。如果一個環(huán)中沒有滿足上述條件的元素，它就叫做無零因子環(huán)。16，離散數(shù)學(xué)，示例9。整數(shù)環(huán)是一個非零因子環(huán)。眾所周知，(我，)是一枚戒指。因為任意兩個非零

10、整數(shù)相乘，乘積不是零，所以(I，)是定義3中的非零因子環(huán)。例10。矩陣環(huán)(Mn，n，)是一個零因子環(huán)。已知(Mn，n，)是環(huán)(n2)。假設(shè)n=2，那么有兩個非零矩陣相乘，乘積是零矩陣。根據(jù)定義3，(Mn，n，)是一個零因子的環(huán)。17，離散數(shù)學(xué)，例11。整數(shù)模環(huán)(Nm，m，m)，當(dāng)m是素數(shù)時，是沒有零因子的環(huán)；當(dāng)m不是素數(shù)時，它是一個零因子環(huán)。(1)當(dāng)m是質(zhì)數(shù)時，對于任何im，jmn m，im 0m，(即i pm)，jm 0m(即j qm)，都有i j km(否則，i j=km，因為m是質(zhì)數(shù)，所以必須有m i或m j，所以有i=pm或j=qm，這是矛盾的)，也就是說，有im mjm=根據(jù)定義3，

11、(Nm，m，m)是零因子自由環(huán)。(2)當(dāng)m不是素數(shù)時，必須有im，jmn m，im 0m，jm 0m，因此m=i j，即im mjm=(i j)mod mm=0m，即im，jm是Nm中的零因子。根據(jù)定義3，(Nm，m，m)是包含零因子的環(huán)。，18，離散數(shù)學(xué)，示例12。X的子集環(huán)(2X，)是一個零因子環(huán)。眾所周知，(2X，)是一個環(huán)，它的零元素是一個空集合。設(shè)|X|2是a，bX和a，b，所以有a，b2X和a，b，所以a b=a。也就是說，兩個非零元素相交后為零。根據(jù)定義3，(2X，)是一個零因子的環(huán)。例13。多項式環(huán)(Px，)是一個非零因子環(huán)。眾所周知，(Px，)是一個環(huán)。因為兩個非零多項式的乘

12、積仍然是一個非零多項式，所以從定義3可知，(Px，)是一個非零因子環(huán)。19，離散數(shù)學(xué)，定義4。包含在積分域交換中的無零因子環(huán)稱為積分環(huán)。注：整個環(huán)也稱為整個區(qū)域。定義4。除法環(huán)一個非零元素的環(huán)有一個逆元素(乘法)，叫做除法環(huán)。也就是說，如果包含環(huán)(r，)滿足：(aR)(a0a-1R)，則稱之為除環(huán)。20，離散數(shù)學(xué)，示例16在前面的示例中，(1)整數(shù)環(huán)(1，)是整數(shù)環(huán)：因為整數(shù)環(huán)(1，)是包含交換環(huán)(示例8(1)和零因子自由環(huán)(示例9)。然而，整數(shù)環(huán)(I，)不是除法環(huán)：在整數(shù)環(huán)(I，)中，除了元素1及其負元素-1之外，其他非零整數(shù)aI(a0)沒有(乘法)逆元素(a-1=1/aI)。(2)矩陣環(huán)(

13、Mnn、)不是一個完整的環(huán)：因為矩陣環(huán)(Mnn、)不是一個交換環(huán)，所以矩陣的乘法沒有交換定律(例8(2)，并且它還包含一個零因子環(huán)(例10)。矩陣環(huán)(Mnn、)也不是除環(huán)：因為矩陣環(huán)(Mnn、)中的一些非零矩陣(行列式為零)沒有關(guān)于矩陣乘法的逆矩陣元素(逆矩陣)。21，離散數(shù)學(xué)，(3)當(dāng)m是素數(shù)時，整數(shù)模環(huán)(n m，m，m)是整環(huán)：因為整數(shù)模環(huán)(Nm，m，m)是含交換環(huán)(例8(3)，當(dāng)m是素數(shù)時，它們是零因子自由環(huán)(例11)；并且它也是去環(huán)的(見下面的注釋)。當(dāng)m不是素數(shù)時，整數(shù)模環(huán)(n m，m，m)不是整環(huán)：因為當(dāng)m不是素數(shù)時，整數(shù)模環(huán)(Nm，m，m)是包含零因子的環(huán)(例11)；并且它不是環(huán)

14、分裂(見下面的注釋)。(4)X的子集環(huán)(2X，)不是一個完整的環(huán)：因為X的子集環(huán)(2X，)是一個包含零因子的環(huán)(例12)；它不是戒指。22，離散數(shù)學(xué)，(5)多項式環(huán)(Px，)是一個整環(huán)：因為多項式環(huán)(Px，)是一個包含交換環(huán)(例8(5)和一個無零因子環(huán)(例13)。但是，多項式環(huán)(Px，)不是除環(huán)：因為有一個非零多項式axPx (a0)，所以多項式乘法中沒有逆元素(否則，如果axq(x)=1，我們可以用比較系數(shù)的方法得到q(x)=0，所以axq(x)=0有矛盾)。注意：在下面的定理4中，將證明在有限包含環(huán)中不存在具有逆元素的零因子(非零元素)；23，離散數(shù)學(xué)，定理2。在環(huán)(r，)中，沒有零因子消

15、去律，即a，b，cR和a0，都有AB=ACB=C；ba=cab=c .證明。證明):a，b，CRc和a0，ab=ac (ab)-(ac)=0(兩邊都達到-(ac) a(b-c)=0(分布規(guī)律)b-c=0 (a0且無零因子)b=c):使用反證的方法。假設(shè)環(huán)中有一個零因子，因此必須有一對元素a、bR、a0和b0，因此ab=0。但是a0=0，所以我們有ab=a0，而b=0可以從a0和消去律中得到，這與已知的b0相矛盾。這個矛盾表明假設(shè)是錯誤的，環(huán)中沒有零因子。24，離散數(shù)學(xué)，定理3。分割環(huán)是一個無零因子環(huán)，包含。注：因此，分環(huán)不一定是整環(huán)，整環(huán)也不一定是分環(huán)；將環(huán)分成整環(huán)，并差乘交換定律；整個環(huán)應(yīng)該成為一個除環(huán)，差(非零元素)有乘法逆元素；證明了除環(huán)是一個不含任何東西的環(huán)，所以只需證明該環(huán)沒有零因子。假設(shè)環(huán)中有零因子a、bR、a0和b0，因此ab