1、第九章，虛位移原理，建立平衡方程求解系統(tǒng)靜力學(xué)問(wèn)題，屬于矢量力學(xué)方法。矢量力學(xué)方法直觀、物理意義明確、計(jì)算規(guī)范，在許多問(wèn)題中得到了廣泛的應(yīng)用。但是它有一些局限性。在虛位移原理中引入虛位移的概念，通過(guò)虛位移作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的虛功關(guān)系，給出了一個(gè)普遍適用的平衡充要條件。研究任意約束粒子系統(tǒng)的平衡是一種非常有效和普遍的方法。虛位移原理和達(dá)朗貝爾原理是分析力學(xué)的兩個(gè)基本原理。分析力學(xué)是繼牛頓矢量力學(xué)之后，基于標(biāo)量分析的約束粒子系統(tǒng)的力學(xué)體系。想象一個(gè)約束允許的位移“虛位移”x(水平向右)，然后F和p對(duì)這個(gè)虛位移做“虛功”，它們的虛功之和：F xP x=，但因?yàn)樘撎撐灰苮是任意的，所以有：FP=，即

2、f=p。虛位移原理提供了求解約束質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)(非自由質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng))平衡問(wèn)題的方法。另外，虛位移原理更重要，因?yàn)樗鼮榉治隽W(xué)的形成和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。第9章，虛位移原理，9.1虛位移和虛功的約束，9.1.1約束及其分類，以及限制物體位置或運(yùn)動(dòng)的條件稱為約束。約束條件的數(shù)學(xué)方程稱為約束方程。限制粒子或粒子系統(tǒng)在空間中的幾何位置的條件稱為幾何約束。1.幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束，例如，限制粒子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件稱為運(yùn)動(dòng)約束。2.穩(wěn)態(tài)約束和非穩(wěn)態(tài)約束，約束方程中時(shí)間為t的約束稱為非穩(wěn)態(tài)約束。在約束方程中沒(méi)有明確包含時(shí)間t的約束稱為穩(wěn)定約束。3.在其他分類中，約束方程包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，不能整合成有限形式的約束稱為不

3、完全約束。約束方程是相等的，稱為雙邊約束方程不等式，稱為單邊約束，n是素?cái)?shù)，s是約束方程的個(gè)數(shù)。約束方程不包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，或者約束方程中的積分項(xiàng)可以作為一個(gè)完整的約束積分成一個(gè)有限的約束。在本章中，只討論了穩(wěn)定的雙邊、完全和幾何約束。9.1.2自由度和廣義坐標(biāo)，非自由粒子系統(tǒng)的自由度(用于確定位置的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)量)對(duì)于具有完全約束的系統(tǒng)，r=3nl，n個(gè)質(zhì)量點(diǎn)，l個(gè)完全約束數(shù)。具有廣義坐標(biāo)的非自由粒子系統(tǒng)的3n個(gè)物理坐標(biāo)是不獨(dú)立的，所以我們用r=(3nl)個(gè)獨(dú)立參數(shù)來(lái)描述粒子系統(tǒng)的位置，這些獨(dú)立參數(shù)稱為“廣義坐標(biāo)”。物理坐標(biāo)可以表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。示例：物理坐標(biāo)：x1，y1，Z1；x2

4、，y2，z2；約束方程：x12y 12=a2z 1=0z 2=0(x2x 1)2(y2 y1)2=B2，廣義坐標(biāo)：a，b坐標(biāo)變換：x1=asina，y1=acosb，x2=asinabinb，y2=acosabcsb，自由度：2，(n=2，L=4，r=3nl=2)，9.2.1虛位移，在某一時(shí)刻，粒子系統(tǒng)在約束條件下可能實(shí)現(xiàn)的任何微小位移稱為虛位移。這只是約束。真實(shí)位移是粒子系統(tǒng)的真實(shí)位移，它與約束條件、時(shí)間、驅(qū)動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)的初始條件有關(guān)。1。虛位移的概念，(1)幾何方法(虛速度法)是根據(jù)系統(tǒng)必須滿足的幾何關(guān)系或運(yùn)動(dòng)關(guān)系來(lái)計(jì)算的。對(duì)于穩(wěn)定約束，“虛擬速度”通常用于分析“虛擬位移”之間的關(guān)系。下面的

5、例子。建立虛擬位移關(guān)系的方法是：d rA=vA，d rB=vB，那么a和b的“虛擬速度”關(guān)系是：vA=vBcos60，所以有：d rA=d rB cos60，即2d rA=d rB，這就是虛擬位移關(guān)系式。(2)分析設(shè)j為廣義坐標(biāo)(系統(tǒng)是一個(gè)自由度)，用：表示各種變化；虛位移關(guān)系由以下三個(gè)公式變化后給出(dj為“自變量”):9.2.2虛功和9.2.3理想約束。如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中，所有約束力的虛功之和等于零，這種約束稱為理想約束。虛位移中力所做的功叫做虛功。光滑的固定面約束、光滑的鉸鏈、沒(méi)有沉重的剛性桿、不可伸展的柔性纜索、固定端和輪子只能滾動(dòng)而不能滑動(dòng)等約束是理想的約束。也就是說(shuō)，讓粒子

6、系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，這個(gè)方程叫做虛功方程，它的表達(dá)原理叫做虛位移原理或虛功原理。9.3虛擬位移原理及其應(yīng)用。對(duì)于具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，其平衡的充要條件是，在任何虛位移下，作用在質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)上的所有主動(dòng)力所做的虛功之和等于零。如圖所示，水平面上的力偶()作用在螺旋壓力機(jī)的手柄AB上，其扭矩和螺旋導(dǎo)程為。螺釘和螺母之間的摩擦可以忽略不計(jì)。seek:當(dāng)機(jī)構(gòu)平衡時(shí)，施加在受壓物體上的力。示例1，解決方案：1。以手柄、螺釘和壓板組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖所示。對(duì)應(yīng)于力偶m的虛擬位移和對(duì)應(yīng)于力FN，2的虛擬位移。根據(jù)虛位移原理，3 .通過(guò)對(duì)虛位移關(guān)系的分析，并代入上述公式，可知：在圖中所示的結(jié)構(gòu)中，每個(gè)桿件的自重不計(jì)算在內(nèi)，一個(gè)垂直向上的力作用在該點(diǎn)上。以及軸承的水平約束力。示例2，解決方案：解除了B端的水平約束，并將其替換為力，如圖()。彈簧中的力也被替換，如圖所示。虛位移關(guān)系分析，已知：圖中所示的機(jī)構(gòu)，不考慮各部件的自重和各處的摩擦力。當(dāng)機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時(shí)，找出主動(dòng)力偶力矩和主動(dòng)力之間的關(guān)系。例3，求解：的虛位移，代入虛功方程，得到：軸承的約束力。眾所周知，沒(méi)有圖中所示的重組合梁。示例4，解決方案：在A處釋放約束，取而代之的是給出虛位移，如圖(b)所示，將其代入虛功方