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1、第六章 二次型,6.1 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形,6.2 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,6.3 用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,6.4 正定二次型,第十四次課,掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩的概念,了解合同變換和合同矩陣的概念,掌握二次型的標(biāo)準(zhǔn)形式,掌握用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法,教學(xué)內(nèi)容,教學(xué)目標(biāo)及基本要求,6.1 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形,6.2 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,二次型的矩陣表示及用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,重 點,2020年7月31日星期五,3,6.1 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形,一、二次型及其矩陣表示,(P157定義6.1.1),quadratic form,2020年7月31日星期五,4,2.矩

2、陣表示形式：,令,平方項保持不變，交叉項取1/2,A為實對稱矩陣,2020年7月31日星期五,5,說明,實對稱矩陣A,Matrix of a quadratic form,Rank of a quadratic form,2020年7月31日星期五,6,例1,2020年7月31日星期五,7,二、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,給定二次型：,，怎樣化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,（關(guān)鍵是尋找一個可逆變換）：,(P159定義6.1.2),canonical form of a quadratic form,2020年7月31日星期五,8,即：,則：,2020年7月31日星期五,9,故：關(guān)鍵是尋找可逆變換,使得,(P160定義6

3、.1.3),congruence of matrices,2020年7月31日星期五,10,三、正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,(P161定理6.1.1),2020年7月31日星期五,11,正交變換法化標(biāo)準(zhǔn)形的步驟,2020年7月31日星期五,12,用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形。,例1,解,二次型的矩陣為：,為A的特征值,2020年7月31日星期五,13,兩正交的特征向量：,單位化得：,2020年7月31日星期五,14,特征向量為：,取正交矩陣,則經(jīng)正交變換,單位化得：,化為標(biāo)準(zhǔn)形：,2020年7月31日星期五,15,6.2 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,例1,2020年7月31日星期五,16,2020年7月31日星期五,17,小 結(jié),二次型：,平方項保持不變，交叉項取1/2,正交變換法化標(biāo)準(zhǔn)形的步驟,配方法化標(biāo)準(zhǔn)形,2020年7月31日星期五

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