1、第八章數(shù)字濾波器的有限字長效應,第一節(jié)引言,一、有限字長效應,前置預 濾波器,A/D 變換器,數(shù)字信號 處理器,D/A 變換器,模擬 濾波器,模擬,Xa(t),PrF,ADC,DSP,DAC,PoF,模擬,Ya(t),完成DF設計后，接下來要實現(xiàn)DSP（數(shù)字信號處理）。具體實現(xiàn)時，字長總是有限的，因為存儲器是有限字長的，所以有效字長效應有DF的有效字長效應、DFT（FFT）有效字長效應、A/D變換器的量化誤差。,1.有限字長效應,有限字長意味著： 有限運算精度 有限動態(tài)范圍,2.有限字長引起誤差,表現(xiàn)在以下幾個方面： （a)A/D變換的量化誤差 即A/D變換器將模擬輸入信號變?yōu)橐唤M離散電平時產(chǎn)

2、生的量化誤差。 （b)系數(shù)的量化誤差 即把系統(tǒng)系數(shù)用有限二進制數(shù)表示時產(chǎn)生的量化誤差。 （c)算術運算的運算誤差 數(shù)字運算運程中，為限制位數(shù)而進行尾數(shù)處理，以及為防止溢出而壓縮信號電平的有效字長效應。,3.有限字長效應,在量化和運算過程中，由于有限字長必然產(chǎn)生誤差。 這些誤差給數(shù)字信號處理的實現(xiàn)精度和濾波器穩(wěn)定性帶來不良影響稱之。,二、研究有限字長效應目的,1.若字長（通用計算機）固定，進行誤差分析，可知結果的可信度，否則若置信度差，要采取改進措施。一般情況下，由于計算機字長較長，所以可以不考慮字長的影響。 2.用專用DSP芯片實現(xiàn)數(shù)字信號處理時，定點與硬件采用字長有關： (1)一般采用定點實

3、現(xiàn)，涉及硬件采用的字長。 (2)精度確定字長。因此，必須知道為達到設計要求所需精度下必須選用的最小字長。 (3)由最小字長選用專用DSP芯片類型 由于選用不同DSP芯片，價格差很大。目前TMS320C1X,C2X,C5X,C54X,C62X,C67x等價格差異很大,第二節(jié)數(shù)的定點制表示及其對量化的影響,一、數(shù)字信號中數(shù)的定點表示,用專用DSP芯片實現(xiàn)數(shù)字信號處理時，一般采用定點二進制數(shù)補碼表示方法和舍入量化方式。因此定點、補碼、舍入重點分析。,1.定點數(shù)表示三種形式,（1）原碼 （2）補碼 （3）反碼 二進制符號位：0-表示正號，1-表示負號；,例子：（1）原碼,從x10=0.75和x10=-

4、0.75看看原碼、補碼、反碼的表示方法。 解:（1）原碼為 x10=0.75=(x2)原=0.110原碼 x10=-0.75=(x2)原=1.110原碼 通用公式： 其中B0:符號位，B0=1代表負數(shù)； Bi：i=1,b,其中b代表字長位數(shù)，B1Bb代表b位字長的尾數(shù),0. 1 1 0 0,1. 1 1 0 0,0. 2-1.2-b,1. 2-1.2-b,正數(shù)： 負數(shù)：,（2）補碼和反碼,補碼通用公式：,x10=0.75=(x2)補=0.110=原碼 x10=-0.75=(x2)補=1.010=反碼+1,x10=0.75=(x2)反=0.110=原碼 x10=-0.75=(x2)反=1.001

5、=除符號位外原碼各位取反,2、定點表示產(chǎn)生誤差,（1）加法：任何加法運算不會增加字長，但可能產(chǎn)生溢出 xB1 0.110-0110 xB2 1.010-1010 xB1-xB2=1.5 11000 （2）乘法：不會溢出，但字長加倍,借位 溢出,例：b=3=0.101 0.011 101 101 0.001111,成為六位數(shù)，截尾變成0.001。產(chǎn)生誤差。,二、數(shù)的量化誤差范圍,量化對尾數(shù)處理產(chǎn)生的誤差，其量化方式可分為： 1.截尾量化：即把尾數(shù)全部截斷不要。 2.舍入量化：即把小于q/2的尾數(shù)舍去，把大于尾數(shù)“入”上來。 其中q=2-b,稱為量化步階，b為字長的位數(shù)。,1.截尾量化,截尾量化可

6、分為： （1）對于正數(shù)的截尾量化誤差 （2）對于負數(shù)的截尾量化誤差,（1）對于正數(shù)的截尾量化誤差,一個信號x(n)：,由于有限字長：,看出:b1b 所以，原碼和補碼的截尾誤差為：,發(fā)生在被截去的位數(shù)上的數(shù)都為1情況。,發(fā)生在被截去的位數(shù)上的數(shù)都為0情況。,0. 2-1 .2-b 0 0 .0,b1-b,b,最小誤差,0. 2-1 .2-b 1 1 1,最大誤差,（2）對于負數(shù)的截尾量化誤差,截尾量化誤差與負數(shù)表示方式有關。,負數(shù)原碼表示，其截尾量化誤差：,發(fā)生在被截去的位數(shù)上的數(shù)都為1情況。,發(fā)生在被截去的位數(shù)上的數(shù)都為0情況。,0. 2-1 .2-b 0 0 .0,b1-b,b,最小誤差,0

7、. 2-1 .2-b 1 1 1,最大誤差,負數(shù)補碼表示，其截尾量化誤差：,同樣，負數(shù)截尾量化誤差，最大誤差=q,最小誤差=0.,2、舍入量化,0. 1 0 1 0 1 0 1 0 0,b,b1,舍去：0.1010-信號比原來小; 舍入：0.1011-信號比原來大; 所以，最大誤差為q/2,最小誤差為-q/2 舍入量化誤差范圍為|en|q/2 對于正數(shù)和負數(shù)補碼、負數(shù)的原碼與負數(shù)反碼的舍入誤差都為：,3.結論,由于舍入誤差是對稱分布，截尾誤差是單極性分布，所以，它們的統(tǒng)計特性是不相同的，一般來講截尾誤差舍入誤差。 e(n)量化誤差是隨機變量，所以要用統(tǒng)計方法，統(tǒng)計公式去分析。,應用比舍入少些,

8、三、量化誤差的統(tǒng)計方法,上面我們分析了量化誤差的范圍，但要精確地知道誤差究竟是多大，幾乎是不可能的。視信號具體情況而定。 所以我們只要知道量化誤差的平均效應即可。它可以作為設計的依據(jù)。例如：A/D變換器量化誤差-決定A/D所需字長。,1、量化誤差信號e(n)四個假設,為了進行統(tǒng)計分析，對e(n)的統(tǒng)計特性作以下假設： (1)e(n)是平穩(wěn)隨機序列 即它的統(tǒng)計特性不隨時間變化。即 , 均與n無關。 （2）e(n)與取樣序列x(n)是不相關的。即Ee(n)*x(n)=0(互相關函數(shù)=0）e(n)與輸入信號是統(tǒng)計獨立的。 (3)e(n)序列本身的任意兩個值之間不相關。 即e(n)本身是白噪聲序列 E

9、e(n)*e(n)=0(自相關函數(shù)=0） (4)e(n)在誤差范圍內(nèi)均勻分布（等概率分布的隨機變量）即P(e)（概率密度）下的面積=1,2、截尾誤差與舍入誤差的概率密度,截尾誤差：正數(shù)與負數(shù)補碼截尾誤差：,截尾誤差：負數(shù)原碼與負數(shù)反碼截尾誤差：,舍入誤差：,P（e),e,-2-b,2b,P（e),e,2-b,2b,0,0,P（e),e,-2-b/2,2b,2-b/2,0,3、量化誤差的定義,根據(jù)以上假設可知： 量化誤差是：一個與信號序列完全不相關的白噪聲序列，即稱量化噪聲。它與信號的關系是相加性的。,4、量化噪聲的統(tǒng)計模型,理想A/D采樣器,xa(t),x(n)=xa(nT),e(n),5、量

10、化誤差信號e(n)的均值me和方差,下面，分別對舍入誤差及截尾誤差的均值和方差進行分析。,(1)對于舍入誤差,P（e),e,2b,0,-2-b/2,2-b/2,(2)對于正數(shù)及負數(shù)補碼截尾誤差,P（e),e,2b,0,-2-b,(3)對于負數(shù)原碼及反碼的截尾誤差,P（e),e,2b,0,-2-b,(4)結論,從上看出：量化噪聲方差與字長直接有關。 字長越長，q越小，量化噪聲越小。 字長越短，q越大，量化噪聲越大。,（5）信噪比,對于舍入處理：,看出：（1）信號功率 越大，信噪比越高（但受A/D變換器動態(tài)范圍的限制。（2）隨著字長b增加，信噪比增大，字長每增加1位，則信噪比增加約6dB.(3)最

11、小信噪比：S/N=10.79+6.02b,例子,在Modem中，語音和音樂可視為一隨機過程，因此可用概率分布來表示這些信號。它們幅值在零附近，概率分布有一峰值，且隨幅度加大分布曲線急劇下降。當抽樣信號幅度信號均方根值的34倍時，P(e)-0,則如對信號進行壓縮為Ax(n),并令 , 則一般不會出現(xiàn)限幅失真。若需要信噪比70dB,至少需要多少位modem.,P(e),e,6.量化噪聲通過線性系統(tǒng),h(n)或H(z),求：量化噪聲通過線性系統(tǒng)后： 1.系統(tǒng)輸出 2輸出噪聲 3輸出噪聲均值 4輸出噪聲方差,（1）對于舍入噪聲,分析前題：（1）系統(tǒng)完全理想，無限精度的線性系統(tǒng)。 （2）e(n)舍入噪聲

12、，均值=0 （3）線性相加（加性噪聲）-到輸出端,輸出噪聲方差求解,（2）對于截尾噪聲,分析前題：（1）系統(tǒng)完全理想，無限精度的線性系統(tǒng)。 （2）e(n)截尾噪聲， （3）線性相加（加性噪聲）-到輸出端,第三節(jié)數(shù)字濾波器的系數(shù)量化誤差,一、系數(shù)量化誤差,DF的系統(tǒng)函數(shù)： 理想設計ak,bk 是無限精度 實際實現(xiàn)時，ak,bk放在存貯單元內(nèi)，必須要對ak,bk進行量化（截尾或舍入），造成DF（零點、極點）位置偏移，影響DF性能，使實際設計出DF與原設計有所不同。嚴重時，極點跑到單位園外，導致系統(tǒng)不穩(wěn)定，濾波器不能從使用，這就是系數(shù)量化效應。,二、研究濾波器系數(shù)量化誤差目的,選擇合適的字長，以滿足

13、頻率響應指標的要求，保持DF的穩(wěn)定性及系統(tǒng)的靈敏度。,例子,設H(z)=0.0373z/(z2-1.7z+0.745)，求維持系統(tǒng)穩(wěn)定性系數(shù)需要最小字長.(設濾波器作舍入處理） 解：求系統(tǒng)穩(wěn)定性是求分母=0，求出極點，且極點1. 若量化,設此時極點都在單位園上，則z=1代入： 則量化誤差：,三、IIR DF系數(shù)量化的統(tǒng)計分析,系數(shù)無限精度： 系數(shù)量化后：,系數(shù)量化誤差: 系數(shù)量化后，偏差DF的輸出：,看出系數(shù)量化后，實際：,H(z),HE(z),2.系數(shù)量化造成頻響偏差（舍入）,四、FIR DF 系數(shù)量化統(tǒng)計分析,由于線性相位FIR DF，有四種濾波器（h(n)=奇、偶；N=奇、偶）,為系數(shù)量

14、化后單位沖激響應,第四節(jié)DF定點運算中的有限字長效應,一、分析前題,設DF：在定點運算，舍入運算情況下分析相關誤差。 即：IIR DF中： (1)存在反饋環(huán)，由舍入處理在一定條件下引起非線性振蕩。 （2）分析舍入噪聲（用統(tǒng)計方法） FIR DF中 （1）不存在非線性振蕩（除頻率采樣型結構）。（因為無反饋） （2）直接用統(tǒng)計方法分析,二、IIR DF中的零輸入極限環(huán)振蕩,什么是零輸入極限環(huán)振蕩？ 因為IIR DF有一反饋，在一定條件下就可能發(fā)生振蕩。當將輸入信號去掉后，由于舍入引入的非線性作用，輸出端會停留在某一數(shù)值上，或在一數(shù)值間振蕩，這種現(xiàn)象稱為“零輸入極限環(huán)振蕩”。,例子,輸入x(n)=0

15、.87(n),系統(tǒng)差分方程：y(n)=0.5y(n-1)+x(n) 起始條件：n,limy(n)=0. 當做系數(shù)舍入量化： 起始條件n0,2.極限環(huán)現(xiàn)象的利弊,在許多實際問題中，要盡量克服極限環(huán)現(xiàn)象。 例：在通訊中，極限環(huán)現(xiàn)象會在空截線路中產(chǎn)生不需要的信號。但有趣的是：可以利用極限環(huán)現(xiàn)象，設計周期性信號發(fā)生器，產(chǎn)生各種序列振蕩器。,二、IIR DF定點運算中有效字長效應的統(tǒng)計分析（1）分析前題,對e(n)進行四個假設： （1）所有噪聲（量化誤差）都是平衡隨機序列。 （2）量化噪聲與信號不相關，且各噪聲之間也不相關。 (3)噪聲是白色的，Ee(n)*e(n)=0 (4)每個噪聲都均勻等概率分布。

16、,2.例子,一個二階IIR DF 低通，采用定點算法尾數(shù)舍入處理，分別計算：直接型，級聯(lián)型，并聯(lián)型三種結構的舍入誤差。其系統(tǒng)函數(shù)：,(1)直接型,1.7,-0.72,x(n),e1(n),e2(n),Z-1,Z-1,y(n)+ef(n),e0(n),其中，e0(n),e1(n),e2(n)分別為系數(shù)0.04，1.7，-0.72相乘后的舍入噪聲。,輸出噪聲ef(n)是由這三個噪聲通過H(z)=1/B(z)網(wǎng)絡形成的。 ef(n)=(e0(n)+e1(n)+e2(n)*h0(n),(2)級聯(lián)型,0.9,0.04,x(n),e1(n),e2(n),Z-1,Z-1,y(n)+ef(n),e0(n),0.8,(3)并聯(lián)型,0.9,0.04,x(n),e1(n),e2(n),Z-1,Z-1,y(n)+ef(n)