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文檔簡介

1、2 無窮積分的性質與收斂判別,教學內容： 1. 無窮積分的性質 2. 無窮積分收斂的判別,教學重點：無窮積分的比較判別法與柯西判別法。,教學難點：應用狄利克雷判別法與阿貝爾判別法判別反常積分。,一. 無窮積分的性質,1. 無窮積分收斂的柯西準則,定理11.1：,2. 無窮積分的性質,性質1：,性質2：,3. 無窮積分收斂的充要條件,4. 無窮積分的絕對收斂與條件收斂,絕對收斂；,條件收斂。,性質3：,說明：性質3指出：絕對收斂的無窮積分必收斂，但反之未必。 （今后舉例說明）,二. 無窮積分斂散性的判別,1. 無窮積分收斂的充要條件,2. 無窮積分收斂的比較判別法,（1）不等式形式,定理11.2

2、：,定理指出：大收斂則小收斂；小發(fā)散則大發(fā)散。（與級數類似）,例1：,解：,（2）極限形式,推論1：,注意：1.推論中，當c=0時只能判別收斂；當c為正無窮大時,只能判別發(fā)散；,2.用此推論時要找分母的g(x)且,3.找g(x)的時候最好使極限是一個非0的常數。,3. 無窮積分收斂的柯西判別法,推論2：,推論3：,注意：1.實際應用中，常用推論3；,2.用推論3時要找p,使同時滿足p及,3.找p的時候最好使極限是一個非0的常數。,例2：,討論下列無窮積分的收斂性,解：例子中被積函數都是非負函數，所以可用推論3,三. 無窮積分斂散性的狄利克雷判別法和阿貝耳判別法,1. 無窮積分收斂的狄利克雷判別法,定理11.3：(狄利克雷判別法）,定理11.4：(阿貝耳判別法）,3. 無窮積分收斂的阿貝耳判別法,注意：1.實際中，這兩個判別法常用于判別條件收斂的無窮積分；,2.用這兩個判別法關鍵是選擇適當的f(x)及g(x)；,3.在狄利克雷判別法中，一般令f(x)為sinx或cosx；,例3：,說明：只討論前者，后者類似可得。,解題思路：由于被積函數不是非負函數，故不能直接用比較判別 法或柯西判別法，結合例1，我們可以先考慮判別它 是否絕對收斂，若不是再考慮用上述的狄利克雷判別 法或阿貝耳判別法。,解：,綜1.(2)及2.知：,利

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