1、第七章 機械振動,一. 彈簧振子,1. 受力特點,線性恢復(fù)力,2. 動力學(xué)微分方程,令,牛頓第二定律,7.1 簡諧振動,解得,改寫為,4. 由初始條件求振幅和初相位,注意: 確定 的象限,初位移,初速度,x0,v 0,三.旋轉(zhuǎn)矢量法,o,x,t 時刻,t = 0 時刻,v,位置 速度 加速度,x,a, t + ,坐標(biāo) 速度 加速度,諧振動物體,圓周運動小球,x 軸投影,三.旋轉(zhuǎn)矢量法,o,x,t 時刻,t = 0 時刻,v,x,a, t + ,振幅 角頻率 加速度,諧振動物體,圓周運動小球,半徑 角速度 與x 軸夾角,例 物理擺,如圖所示, 設(shè)剛體對軸的轉(zhuǎn) 動慣量為J. 設(shè) t = 0 時擺角

2、向右最大為 0.,求,振動頻率和振動方程.,解,振動方程,當(dāng) 50 時,角頻率,t = 0 時擺角向右最大為 0 ，初相位 = 0,四.簡諧振動的能量(以水平彈簧振子為例),1. 動能,2. 勢能,3. 機械能,（簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒）,平均動能,五. 兩個同頻率振動的相位關(guān)係,相位差,兩個振動, 超前和落后,t,x,x1,x2,x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 ),O, 同相和反相, = 2k 兩振動步調(diào)相同, 稱同相, = (2k+1) 兩振動步調(diào)相反 , 稱反相,解法一,機械能守恒。以最低點為勢能零點,例,一個質(zhì)量為m 的小球在一個光滑的半徑為 R 的球形碗底作微小振動

3、，如圖所示。設(shè) t = 0 時，=0，小球的速度為 v0，向右運動。試求在振幅很小情況下，小球的振動方程。,O,N,mg,求導(dǎo)得,t = 0 時， = 0 ，向右運動, 則初相,小球速度為 v0，振幅,振動方程,7.2 簡諧振動的合成,一. 同方向同頻率的簡諧振動的合成,1. 兩個分振動,2. 合振動,例,n 個同方向、同頻率、同振幅的諧振動，它們的初相差依次為常量 . 求它們合振動的方程。, ,解 合振動,o,R,C,x,t=0 時， n 個諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖,二. 同方向不同頻率的簡諧振動的合成,1. 分振動,2. 合振動,當(dāng) A1 、 A2 方向相同時， A 有最大值,當(dāng)A1 、 A2

4、方向相反時， A 有最小值,結(jié)論：合振動 x 不再是簡諧振動,x,x2,x1,t,t,t,拍頻 : 單位時間內(nèi)合振動振幅強弱變化的次數(shù)，即,3. 拍的現(xiàn)象, = 0,(第一象限), = /2, = , = 3/2,(第二象限),(第三象限),（第四象限）,=k 時, = k + /2 時,軌跡為直線,軌跡為正橢圓,四.兩個垂直方向不同頻率簡諧振動的合成,有理數(shù),閉合曲線,周期性運動,無理數(shù),非閉合曲線,非周期性運動,頻率之比,軌跡,周期性,李薩如圖形,1.分振動,7.3 阻尼振動和受迫運動,一. 阻尼振動,阻尼力,2. 振動的微分方程(以彈簧振子為例),1. 受力特點,線性恢復(fù)力,令 ， ，上

5、式改寫為,f,F,n 阻尼常量,3. 阻尼振動的方程,(2) 過阻尼和臨界阻尼,(1) 小阻尼 ( n2 02 ),臨界阻尼:,過 阻 尼:,在臨界阻尼狀態(tài)下，物體回到并停留在平衡位置，所需時間最短,角頻率,振幅衰減隨時間按指數(shù)衰減,二. 受迫振動（在外來策動力作用下的振動）,1.受力特點,彈性力,阻尼力,周期性策動力,2. 受迫振動的微分方程,令,齊次方程通解,非齊次方程特解,解,+,=,振幅,（1）位移共振(振幅取極值),討論,位移共振曲線,共振頻率 :,共振振幅 :,受迫振動是諧振動，其角頻率與驅(qū)動力角頻率相同。,受迫振動微分方程的穩(wěn)態(tài)解為:, 驅(qū)動力角頻率,受迫振動驅(qū)動力 相位差,（2）速度共振(速度振幅 A 取極值),因此，受迫振動速度v 與策動力相位相同，一周期內(nèi)策動力總作正功（P = F v），此時向系統(tǒng)輸入的能量最大。,共振頻率 :,共振速度振幅 :,振幅共振曲線,vm,受迫振動 x驅(qū)動力 相位差,說明,7.4 非諧振動的傅氏分解 頻譜,任何一個周期性復(fù)雜振動都可分解為一系列 諧振動的疊加,例如:,方波：（基頻為v0）,由傅里葉理論，有,x(t),O,1,5,10,2000,方波振動,1,3,10,200,1000,鋸齒波振動,Mathematica,北京大鐘