1、三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,1,電子教案,數(shù)值分析實(shí)驗(yàn),第一章 Matlab簡介,杜廷松主講,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,2,第一章 Matlab簡介,Matlab是Matrix Laboratory的英文縮寫,它是由美國Mathwork公司于1967年推出的適用于不同規(guī)格計(jì)算機(jī)和各種操作系統(tǒng)的數(shù)學(xué)軟件包.現(xiàn)已發(fā)展成為一種功能強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)語言,特別適用于科學(xué)和工程計(jì)算.結(jié)合本課程的需要.本章僅對Matlab的有關(guān)內(nèi)容作簡要的介紹, 我們僅給出本課程最需要的部分,更詳細(xì)的了解Matlab可看文獻(xiàn)25-28.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,3,1.1 向量和矩陣的產(chǎn)生,一 、向量的產(chǎn)生,二 、矩陣的產(chǎn)生,三峽大

2、學(xué)理學(xué)院 杜廷松,4,一、向量的產(chǎn)生,.冒號運(yùn)算符生成向量 例 生成一個(gè)從0到 的行向量，步長為 x=0:pi/4:pi x = 0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,5,.線性等分函數(shù)等分建立向量,(1) linspace(n1,n2) 包括n1,n2元素,生成 100 維向量; (2) linspace(n1,n2,n) 包括n1,n2元素,生成 n 維向量;,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,6,二、矩陣的產(chǎn)生,1. 簡易矩陣 x=1 2 3 4 5 6 7 8;4 5 6 7 8 9 10 11 %以“;”區(qū)隔開兩行元素 x(3) %提取x的第三個(gè)元

3、素,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,7, x(1:5); %x的前五個(gè)元素 x(10:end); %x的第十個(gè)元素后的元素 x(find(x5); %x中大于5的元素 x(4)=100; %給x的第四個(gè)元素重新給值 x(3)= ; %刪除第三個(gè)元素 x(16)=1; %加入第十六個(gè)元素,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,8,2 .由多個(gè)向量生成矩陣,例2 由 x,y,z 向量生成一個(gè)矩陣 x=(0:0.2:1.0); y=exp(-x).*sin(x); z=(1:size(x); x,y,z,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,9,3 .用函數(shù)建立矩陣,在Matlab中不需要預(yù)先說明矩陣和向量的維數(shù)，但經(jīng)常要使用維數(shù).對

4、此有兩個(gè)測量矩陣大小的函數(shù)經(jīng)常用到： n=length(A) 取矩陣A的行數(shù)和列數(shù)的最大值 m,n=size(A) 取矩陣A的行數(shù)和列數(shù) 由此可見，當(dāng)x為向量時(shí)，n=length(x)為的維數(shù).,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,10,用于建立矩陣的函數(shù)有下列幾種：,(1)函數(shù)eye產(chǎn)生單位矩陣，例如 eye(n) 為階單位方陣, 是正整數(shù) eye(m,n) 為階單位矩陣 eye(size(A) 為與矩陣A同階的單位矩陣 其中的單位矩陣?yán)斫鉃閷蔷€元素是1，其他 元素0是的矩陣.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,11,(2) 函數(shù)zeros和ones分別產(chǎn)生0和1矩陣.例如 zeros(n) 為階方陣 zero

5、s(m,n) 為階矩陣 zeros(size(A) 為與矩陣A同階的矩陣 函數(shù)ones與此類同. (3) 函數(shù)rand(m,n)產(chǎn)生階隨機(jī)數(shù)矩陣. (4) 函數(shù)diag(A)，tril(A)，triu(A)分別取矩陣A的 對角、下三角、上三角部分.其中，三角矩陣包含對角部分.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,12,4. 下標(biāo)編輯、調(diào)用矩陣,例3 下標(biāo)修改矩陣元素 A=1,2,3;4,5,6;7,8,9 A(3,3)=A(1,3)+A(3,1) Matlab的一個(gè)重要特點(diǎn)是，可以用下標(biāo)的方法調(diào)用矩陣的子矩陣. 例如，設(shè)A是已知的 階矩陣，則,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,13,A(: ,3) 是A的第3列元素

6、構(gòu)成的列向量 A(5, :) 是A的第5行元素構(gòu)成的行向量 A(1:5,3) 是A的前5行的第3列元素構(gòu)成的列向量 A(1:5,7:10) 是A的前5行、第7到10列元素構(gòu)成的子 A（1 3 5,2 4 6） 是A的第1，3，5行 第2，4，6列元素 A（: ，7:-1:3） 是A的第7，6，5，4，3列元素構(gòu)成的 如此等等.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,14,5 .稀疏矩陣生成:sparse,例4 將矩陣 變成稀疏矩陣., x=0 1 0;0 0 2;0 0 0;4 3 0;0 0 0; sp=sparse(x),三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,15,例5 構(gòu)造一個(gè)帶狀矩陣,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,16

7、, n=4; sp=sparse(1:n,1:n,-4*ones(1,n),n,n,n) % 計(jì)算主對角線各元素 spl=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n,n-1) %計(jì)算下次對角線各元素 spu=spl %轉(zhuǎn)置求上次對角線各元素 ss=sp+spl+spu % 計(jì)算三條對角線各元素 sf=full(ss),三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,17,6 帶狀稀疏矩陣生成:spdiags,例 6 構(gòu)造一個(gè)如同例5的帶狀矩陣 n=4; p=ones(n,1); sp2=spdiags(p,-4*p,p,-1,0,1,n,n); %p,-4*p,p三條對角線元素,-1,0,1三條

8、對角線元素的位置. sf=full(sp2),三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,18,1.2 運(yùn)算符及矩陣運(yùn)算,一、運(yùn)算符 二、矩陣的運(yùn)算,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,19,一、 運(yùn)算符,1.算術(shù)運(yùn)算 + 加 - 減 * 乘 / 冪 / 右除 左除 2.關(guān)系運(yùn)算 關(guān)系運(yùn)算符 小于 小于等于 大于 大于等于 等于 不等于,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,20,它們用于比較兩個(gè)元素的大小關(guān)系，結(jié)果是1表明為真，結(jié)果是0表明為假. 3.邏輯運(yùn)算符 與 | 或 非 它們用于元素或矩陣的邏輯運(yùn)算.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,21,二 矩陣運(yùn)算,1.矩陣轉(zhuǎn)置 x=1,2,3 A=1 2 3 4 5 6 7 8 9; B=A,三峽

9、大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,22,2. 矩陣相加減,同階矩陣相加減,對應(yīng)元素相加減. 任何矩陣都可以和標(biāo)量(即階矩陣)相加 減,規(guī)則是矩陣的每一個(gè)元素和標(biāo)量相 加減.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,23,3.矩陣的乘法,在Matlab中,矩陣的乘、除、乘方及各種 函數(shù)運(yùn)算等有兩種方式： (1)矩陣運(yùn)算； (2)元素運(yùn)算（.運(yùn)算） 矩陣乘(*): 兩個(gè)同維相同的矩陣相乘. 元素乘(.*): 兩個(gè)同維的矩陣相應(yīng)元素 相乘.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,24,例 1 比較矩陣的兩種乘法, A=1 2 3;4 5 6; 7 8 9 B=eye(3); C=A*B D=A.*B,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,25,4.矩陣相除

10、,1)矩陣除 有左除和右除兩種，分別用符號和/表示.例如,若A和B都是階方陣,且A非奇異,則 2) 元素除 元素左除“.”,元素右“./”: 兩個(gè)同維的矩陣相應(yīng)元素相除.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,26,5 .矩陣的乘方,1）方陣A的乘方用符號表示. 當(dāng)p是整數(shù)時(shí),Ap是A的p次冪; p=0 時(shí),A0為與A同維單位矩陣; 當(dāng)p負(fù)整數(shù)時(shí)只有A非奇異才有意義. 例2 求矩陣的整數(shù)乘方,并驗(yàn)證 A=fix(10*rand(3) AB=A2 AA=A*A %驗(yàn)證上面AB的結(jié)果,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,27,2）矩陣的元素乘方（.）相當(dāng)于矩陣中每一 個(gè)元素的次乘方.,例3 求上面例2中矩陣A的元素運(yùn)算乘方

11、 ABC=A.2 %注意結(jié)果與例2中的A2不同.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,28,1.3 函 數(shù) 庫,一、初等函數(shù) 二、矩陣函數(shù) 三、多項(xiàng)式和插值擬合函數(shù) 四、數(shù)值線性代數(shù) 五、數(shù)值積分和常微分方程數(shù)值解,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,29,一 、初等函數(shù),(1) 正弦sin, 反正弦asin, 雙曲正弦sinh, 反雙曲正弦asinh. (2) sqrt -開平方 log-自然對數(shù) exp-以e為底的指數(shù) log10-以10為底的對數(shù) (3) abs-絕對值或復(fù)數(shù)模 (4) sign-正負(fù)號函數(shù) max-最大分量 sum-元素和 min-最小分量 (5) ceil- 向+取整 fix- 向取整 f1

12、oor- 向取整 mod-模除求余 rem-求余數(shù) round-向靠近整數(shù)去整,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,30,二 、矩陣函數(shù),在Matlab中,對于數(shù)值分析常用的有關(guān)矩陣函數(shù)有如下幾個(gè): rank(A) 秩 norm(A,1) 1-范數(shù) norm(A) 2-范數(shù) norm(A,inf) 無窮范數(shù) norm(A,fro) Frobenius范數(shù),三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,31,condest(A) 1-條件數(shù) cond cond(A) 2-條件數(shù) cond condest(A) 無窮條件數(shù) cond 因?yàn)镸atlab中沒有求無窮條件數(shù)的函數(shù)， 所以用轉(zhuǎn)置矩陣的1-條件數(shù)計(jì)算.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷

13、松,32,三 、多項(xiàng)式和插值擬合函數(shù),roots(c) 求多項(xiàng)式 的根.輸入系數(shù) ，輸出 的根. poly(A) 求方陣A的特征多項(xiàng)式.輸入n階方陣A，輸出特征多項(xiàng)式的系數(shù) .,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,33,polyval(c,x) 求多項(xiàng)式 在點(diǎn)列x上的值,x可以是任何矩陣.輸入多項(xiàng)式的系數(shù)c和點(diǎn)列x，輸出多項(xiàng)式的值. polyfit(x,y,n) 對于離散數(shù)據(jù) ,根據(jù)最小二乘原理求次多項(xiàng)式擬合.輸入離散數(shù)據(jù) 和n,輸出擬合多項(xiàng)式 的系數(shù)c.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,34,spline(x,y,xi) 對于離散數(shù)據(jù) 進(jìn)行三次樣條插值.輸入離散數(shù)據(jù) 和插值點(diǎn)列 ,輸出點(diǎn)列 上的三次樣條函數(shù)值.

14、點(diǎn)列x單調(diào)增, 在x之中. interp1(x,y,xi,method) 對于離散數(shù)據(jù) 進(jìn)行一維插值.輸入離散數(shù)據(jù) ,點(diǎn)列 和方法選擇method，輸出點(diǎn)列 上的函數(shù)值.方法主要有兩種:linear -分段線性插值（可缺?。?spline-三次樣條插值點(diǎn)列x單調(diào)增, 在x之中.這里的三次樣條插值與函數(shù)spline等價(jià).,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,35,四 、數(shù)值線性代數(shù),det(A) 求方陣A的行列式的值. trace(A) 求矩陣A的跡，trace= . inv(A) 求非奇異方陣A的逆矩陣.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,36,lu(A) 矩陣的列主元LU三角分解. chol(A) 對稱正定矩陣A

15、的Cholesky分解 是上三角陣.R=chol(A)產(chǎn)生上三角陣R. qr(A) 求矩陣A的QR分解. eig(A) 求方陣A的特征值和特征向量.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,37,五 、數(shù)值積分和常微分方程數(shù)值解,quad 低階數(shù)值積分.用自適應(yīng)Simpson方法進(jìn)行數(shù)值積分，相對誤差 .Q=quad(f,a,b)求出 的近似值.f是被積函數(shù) 的函數(shù)名. 一般用法： Q,cnt=quad(f,a,b,tol,trace) 其中a和b可以是同長度的向量，這時(shí)的結(jié)果Q也是同長度的向量.tol是精度要求，trace 時(shí)作出被積函數(shù)的圖形，tol和trace可以缺省.cnt是區(qū)間a,b的分段數(shù).,三峽

16、大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,38,ode23 低階法解常微分方程(組)初值問題： 用二階和三階Runge-Kutta方法進(jìn)行積分，精度不低于 . 一般調(diào)用方法： T,Y=ode23(F,t0,tf,Y0,tol,trace) 其中，F(xiàn)是方程的右端函數(shù)(向量值函數(shù))，t0,tf是積分區(qū)間，Y0是初始值(向量).tol是精度要求，trace是結(jié)果屏幕顯示控制，它們都可缺省.T,Y是積分曲線的點(diǎn)列，可用作圖語句plot(T,Y)作它(或它們)的圖形.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,39,quad8 高階數(shù)值積分.用自適應(yīng)9點(diǎn)Newton-Cotes方法進(jìn)行數(shù)值積分.用法和參數(shù)說明同quad. ode45 高階法解

17、常微分方程(組)初值問題.用4階和5階Runge-Kutta方法進(jìn)行積分.用法和參數(shù)說明同ode23，精度控制tol缺省時(shí)為tol= .,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,40,4 Matlab 程序設(shè)計(jì)初步,一 、M文件 二 、控制語句 三 、數(shù)據(jù)的輸入和輸出 四 、繪圖功能,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,41,一 、M文件,M文件有兩種形式:命令文件和函數(shù)文件. (1)命令文件包含一系列Matlab命令,當(dāng)命令窗口調(diào)用它時(shí),自動(dòng)執(zhí)行這些命令. (2) 函數(shù)文件的第一行是以function開頭的語句,其中至少有一個(gè)輸入或輸出參數(shù),然后是一系列Matlab命令.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,42,Matlab語言

18、中最基本最重要的成分是函數(shù), 它的一般形式是 function =fun 其中fun是自定義的函數(shù)名, 只要不與庫函數(shù)名相 重，并且符合字符串的書寫規(guī)則即可.d,e,f,是輸 入變量，可以是形參，也可以是實(shí)參.a,b,c,是輸 出變量.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,43,1.只有一個(gè)返回值的函數(shù) 考慮如下函數(shù)的M文件 (4.1) 2.具有多個(gè)返回值的函數(shù) 假定一個(gè)函數(shù)需要計(jì)算均值和標(biāo)準(zhǔn)差,標(biāo)準(zhǔn)差公式為: (4.2) 快速求解方式 (4.3),三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,44,3. 在一個(gè)函數(shù)里調(diào)用另一個(gè)函數(shù) 一個(gè)函數(shù)的參數(shù)可以是另一個(gè)函數(shù)的函數(shù)名. 考慮計(jì)算某函數(shù)在三個(gè)點(diǎn)上加權(quán)平均值的函數(shù): (4.4

19、) 其中: 是一個(gè)在參數(shù)中命名的函數(shù).,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,45,二 、 控制語句,與其他計(jì)算機(jī)語言一樣，Matlab也有控制流語句，用于控制程序的流程.Matlab的控制語句比較少，但功能很強(qiáng)，主要有for循環(huán)、while循環(huán)、if和break語句三種. 1.for循環(huán) 2.while循環(huán) 3.if和break語句 條件控制語句if的常規(guī)用法是 if 條件式; 運(yùn)算式; end,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,46,或 if 條件式; 運(yùn)算式; elseif 條件式; 運(yùn)算式; end 或 if 條件式; 運(yùn)算式; else 運(yùn)算式; end 在這里,如果表達(dá)式為真,則執(zhí)行第一組命令;如果表 達(dá)

20、式為否,則執(zhí)行第二組命令.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,47,三 、數(shù)據(jù)的輸入和輸出,1 .輸入語句 1) 輸入數(shù)值 clear x=input(請輸入一個(gè)數(shù)：) 2)輸入字符串 x=input(your name please:,s) %其中第二個(gè)參數(shù)表示通過鍵盤輸入的是一 個(gè)字符串.,三峽大學(xué)理學(xué)院 杜廷松,48,2 .輸出語句 1)自由格式輸出(disp) disp(1,2,3;4,5,6;7,8,9) 2)格式化輸出 r=2; vol=(4/3)*pi*r3; sprintf(球的體積:%8.5fn,vol) 注意:輸出格式前須有%符號,這種格式與c語言類 似,n是換行符,屏幕上的光標(biāo)前進(jìn)到下一行,換行符可以 放在字符串的